(B，_N)_pair
数学では、( B ， N ) ペアはリー型の群の構造であり、ケースバイケースで多数の証明を与える代わりに、多くの結果を一様に証明することができます。大雑把に言えば、そのようなグループはすべて、フィールド上の一般線形グループに類似していることを示しています。これらは数学者のジャック・ティッツによって導入され、ティッツ・システムとしても知られています。
コンテンツ
1 意味
2 例
3 BN ペアを持つグループのプロパティ
4 アプリケーション
5 参考文献
意味( B ， N )ペアは、次の公理が成り立つ群GのサブグループBとNのペアです。
GはBとNによって生成されます。
BとNの交点Hは、Nの正規部分群です。
グループW = N/Hは、次数 2の要素w iの集合Sによって生成されます。iは、空でない集合I に
w iがSの要素であり、wがWの任意の要素である場合、w i BwはBw i wBとBwBの和集合に含まれます。
Bを正規化するジェネレータw iはありません。
この定義の考え方は、Bは一般線形群GL n ( K ) の上三角行列の類似物であり、Hは対角行列の類似物であり、NはHの正規化行列の類似物であるということです。
部分群Bはボレル部分群と呼ばれることもあり、Hはカルタン部分群と呼ばれることもあり、Wはワイル群と呼ばれます。ペア ( W ， S ) はCoxeter システムです。
ジェネレーターの数はランクと呼ばれます。
例
Gが、2つ以上の要素を持つ集合 X 上の任意の二重推移置換群であるとします。Bを点xを固定するGの部分群とし、Nを 2 つの点xとyを固定または交換する部分群とします。部分群Hはxとyの両方を固定する要素の集合であり、Wは次数 2 を持ち、その非自明な要素はxとyを交換するもので表されます。
逆に、Gがランク 1 の (B， N) ペアを持つ場合、 Bの剰余類に対するGのアクションは二重推移的です。したがって、ランク 1 の BN ペアは、2 つ以上の要素を持つセットに対する二重推移アクションとほぼ同じです。
Gが体K上の一般線型群GL n ( K ) であるとします。Bを上三角行列、Hを対角行列、Nを単項行列、つまり各行と列にゼロ以外の要素が 1 つだけある行列とします。n − 1 個の生成元w iがあり、対角行列の 2 つの隣接する行を交換することによって得られる行列によって表されます。
より一般的には、リー型のグループはすべてBN ペアの構造を持っています。
局所体上の簡約代数群は、 Bが岩堀部分群である BN ペアを持ちます。
BN ペアを持つグループのプロパティ
wをBwBに取る写像は、 Wの元の集合からBの二重剰余類の集合への同型です。これがブルハット分解 G = BWBです。
TがSの部分集合である場合、W ( T ) をTによって生成されるWの部分群とします。G ( T ) = BW ( T ) Bを T の標準放物型部分群と定義します。Bの共役を含むGの部分群は放物型部分群です。Bの共役はボレル部分群(または最小放物型部分群)と呼ばれます。これらはまさに標準的な放物線部分群です。
アプリケーション
BN ペアを使用して、リー型の多くの群がそれらの中心を法とする単純であることを証明できます。より正確には、 Bが可解群であるようなBN対をGが持つ場合、 Bのすべての共役の交点は自明であり、Wの生成元の集合を 2 つの空でない交換集合に分解できない場合、Gは単純です。いつでも完璧なグループです。実際には、 Gが完全であることを除いて、これらの条件はすべて簡単に確認できます。Gが完全であることを確認するには、少し厄介な計算が必要です (実際、完全ではないリー タイプの小さなグループがいくつかあります)。しかし、グループが完全であることを示すことは、通常、単純であることを示すよりもはるかに簡単です。
参考文献
ブルバキ、ニコラス（2002)。リー群とリー代数: 第 4 章から第 6 章。数学の要素。スプリンガー。ISBN 3-540-42650-7. Zbl 0983.17001 .BN ペアの標準リファレンス。
Serre、Jean-Pierre（2003）。木。スプリンガー。ISBN 3-540-44237-5. Zbl 1013.20001 .