Arithmetic_group
数学、算術基は整数の点のようにして得られた基である代数基、例えば、 L 2 （（ Z
）。 { mathrm {SL} _ {2}（ mathbb {Z}）。}
それらは、二次形式の算術特性や数論の他の古典的なトピックの研究で自然に発生します。それらはまた、リーマン多様体の非常に興味深い例を生み出し、したがって微分幾何学とトポロジーの関心の対象です。最後に、これら2つ、現代の数論の基本である保型形式の理論に加わります。
コンテンツ
1 歴史
2 定義と構築
2.1 算術的部分群 2.2 数値フィールドの使用
3 例
4 半単純リー群の算術格子
4.1 ボレル-ハリシュ-チャンドラの定理 4.2 マルグリス算術定理 4.3 算術フックス群とクライン群 4.4 分類 4.5 合同部分群の問題
5 S-算術的グループ
5.1 意味 5.2 局所体上のリー群の格子
6 一部のアプリケーション
6.1 明示的な拡張グラフ 6.2 極限面とグラフ 6.3 等スペクトル多様体 6.4 偽射影平面
7 参考文献
歴史
算術群の数学的理論の起源の1つは、代数的整数論です。シャルル・エルミート、ヘルマン・ミンコフスキーなどによる二次形式とエルミート形式の古典的な縮小理論は、関連する対称空間での特定の算術的部分群の作用の基本領域を計算するものと見なすことができます。 こ、ミンコフスキーの数の幾何学と、判別式などの数体の算術不変量の研究の初期の開発に関連していました。算術的部分群は、数体の単位群を非可換設定に広範に一般化したものと考えることができます。
同じグループは、古典的なモジュラー形式とその一般化の研究が発展するにつれて、解析的整数論にも登場しました。もちろん、2つ関連しており、たとえば、分析手法を使用した特定の基本領域の体積のラングランズの計算に見られます。この古典的な理論は、多くの場合、基本領域の体積の有限性を示したSiegelの研究で最高潮に達しました。
現代の理論が基礎的な仕事を始めるために必要であり、代数群に関するアルマン・ボレル、アンドレ・ヴェイユ、ジャック・ティッツなどの仕事によって提供されました。 その後まもなく、コボリュームの有限性は、ボレルとハリシュチャンドラによって完全に一般的に証明されました。その間、Atle Selberg、Grigori Margulis、David Kazhdan、MSRaghunathanなどによるリー群の格子の一般理論に進展があった。この期間の後の最新技術は、1972年に出版されたラグナサンの論文で本質的に修正されました。
70年代に、Margulisは、「ほとんどの」場合、算術構造が特定のリー群のすべての格子を占めることを証明することにより、トピックに革命をもたらしました。この方向でのいくつかの限られた結果はセルバーグによって以前に得られたが、マルグリスの方法（等質空間での行動のためのエルゴード理論ツールの使用）はこの文脈では完全に新しく、後の開発に非常に影響を与えるはずだった。数の幾何学の古い主題を効果的に更新し、マルグリス自身がオッペンハイム予想を証明できるようにする。より強力な結果（ラトナーの定理）は、後にマリナ・ラトナーによって得られました。
別の方向では、モジュラー形式の古典的なトピックが保型形式の現代理論に花開いています。この取り組みの背後にある原動力は、主にロバート・ラングランズによって開始されたラングランズプログラムです。そこで使用される主なツールの1つは、セルバーグの研究に由来し、ジェームズ・アーサーによって最も一般的な設定で開発されたトレース式です。
最後に、算術的部分群は、局所的に対称なリーマン多様体の興味深い例を構築するためによく使用されます。特に活発な研究トピックは、数論的双曲3次元多様体であり、ウィリアム・サーストンが書いたように、「…しばしば特別な美しさを持っているようです」。
定義と構築
算術的部分群
もしも { mathrm {G}}
の代数部分群です L（（ ）。
{ mathrm {GL} _ {n}（ mathbb {Q}）}
いくつかのための {n}
次に、の算術サブグループを定義できます。 （（ ）。
{ mathrm {G}（ mathbb {Q}）}
整数点のグループとして Γ = L（（ Z ）。 ∩ （（ ）。 { Gamma = mathrm {GL} _ {n}（ mathbb {Z}） cap mathrm {G}（ mathbb {Q}）。}
一般に、「整数点」の概念を正確に理解する方法はそれほど明白ではありません。 { mathbb {Q}}
-グループ、および上記で定義されたサブグループは、異なる埋め込みを行うと変更される可能性があります L（（ ）。 { mathrm {G} to mathrm {GL} _ {n}（ mathbb {Q}）。}
したがって、より良い概念は、の算術サブグループの定義を取ることです。 （（ ）。
{ mathrm {G}（ mathbb {Q}）}
任意のグループ Λ { Lambda}
これは通約可能です（これは両方がΓ /（（ Γ∩ Λ ）。 { Gamma /（ Gamma cap Lambda）}
とΛ /（（ Γ∩ Λ ）。 { Lambda /（ Gamma cap Lambda）}
グループを持つ有限集合です） Γ { Gamma}
上記のように定義されています（への埋め込みに関して L { mathrm {GL} _ {n}}
）。この定義で、代数群に { mathrm {G}}
は、すべて相互に通約可能な「離散」サブグループのコレクションに関連付けられています。
数値フィールドの使用
上記の構造の自然な一般化は次のとおりです。 {F}
なる数値フィールドを整数環と O {O}
と { mathrm {G}}
代数群 {F}
。埋め込みが与えられた場合 ρ ： L { rho： mathrm {G} to mathrm {GL} _ {n}}
定義された {F}
次にサブグループ
ρ − 1（（ L（（ O ）。 ）。
⊂ （（ ）。
{ rho ^ {-1}（ mathrm {GL} _ {n}（O）） subset mathrm {G}（F）}
合法的に算術的部分群と呼ぶことができます。
他方、こうして得られた群のクラスは、上で定義された算術的グループのクラスより大きくはない。確かに、代数群を考えると′
{ mathrm {G} ‘}
以上 { mathbb {Q}}
からスカラーを制限することによって得られます {F}
に { mathbb {Q}}
そしてその { mathbb {Q}}
-埋め込み
ρ ′ ：′
L { rho ‘： mathrm {G}’ to mathrm {GL} _ {dn}}
によって誘発される ρ { rho}
（どこ =
{d = [F： mathbb {Q}]}
）次に、上記で作成されたグループは次のようになります。（（ ρ
′）。 − 1（（ L（（ Z ）。 ）。
{ displaystyle（ rho ‘）^ {-1}（ mathrm {GL} _ {nd}（ mathbb {Z}））}
。 例 算術的部分群の古典的な例は次のとおりです。 L（（ Z ）。 { mathrm {SL} _ {n}（ mathbb {Z}）}
、または密接に関連するグループ L（（ Z ）。 { mathrm {PSL} _ {n}（ mathbb {Z}）}
、 L（（ Z ）。 { mathrm {GL} _ {n}（ mathbb {Z}）}
と L（（ Z ）。 { mathrm {PGL} _ {n}（ mathbb {Z}）}
。にとって = 2 {n = 2}
グループ L 2 （（ Z ）。 { mathrm {PSL} _ {2}（ mathbb {Z}）}
、または時々 L 2 （（ Z ）。 { mathrm {SL} _ {2}（ mathbb {Z}）}
は、モジュラー曲線に関連しているため、モジュラー群と呼ばれます。同様の例はジーゲルモジュラー群です 2（（ Z ）。 { mathrm {Sp} _ {2g}（ mathbb {Z}）}
。
他のよく知られて研究された例には、ビアンキ群が含まれます L 2 （（ O − NS）。 { mathrm {SL} _ {2}（O _ {-m}）、}
どこ >> 0 {m> 0}
0″”>
は平方フリー整数であり、 O − {O _ {-m}}
フィールド内の整数のリングです （（ −
NS）。 { mathbb {Q}（{ sqrt {-m}}）、}
およびHilbert–Blumenthalモジュラー群 L 2 （（ O
NS）。
{ mathrm {SL} _ {2}（O_ {m}）}
。
別の古典的な例は、たとえば、数体上で定義された二次形式の直交群の積分要素によって与えられます。 O（（ 、 1 ）。（（ Z ）。 { mathrm {SO}（n、1）（ mathbb {Z}）}
。関連する構成は、ユニット群取ることである受注に四元数環（例えば数フィールド上フルビッツの四元順）。同様の構築は、エルミート形式のユニタリ群で実行できます。よく知られている例は、ピカールモジュラー群です。
半単純リー群の算術格子
いつ {G}
で算術格子を定義できるリー群です {G}
次のように：任意の代数群の場合 { mathrm {G}}
定義された { mathbb {Q}}
射があるように （（ ）。
{ mathrm {G}（ mathbb {R}） to G}
コンパクトカーネルでは、算術サブグループのイメージ （（ ）。
{ mathrm {G}（ mathbb {Q}）}
の算術格子です {G}
。したがって、たとえば、 = （（ ）。
{G = mathrm {G}（ mathbb {R}）}
と {G}
のサブグループです L { mathrm {GL} _ {n}}
それから ∩ L（（ Z ）。 {G cap mathrm {GL} _ {n}（ mathbb {Z}）}
の算術格子です {G}
（しかし、他の埋め込みに対応して、もっとたくさんあります）; 例えば、 L（（ Z ）。 { mathrm {SL} _ {n}（ mathbb {Z}）}
の算術格子です L（（ ）。
{ mathrm {SL} _ {n}（ mathbb {R}）}
。
ボレル-ハリシュ-チャンドラの定理
格子リー群には、通常、有限covolumeと別個のサブグループとして定義されます。BorelとHarish-Chandraによる定理は、半単純リー群の算術的部分群は有限の共体積であると述べているため、上記で紹介した用語はこれと一致しています（離散性は明らかです）。
定理はより正確です。算術格子は、の「形式」が {G}
それを定義するために使用されます（つまり、 { mathbb {Q}}
-グループ { mathrm {G}}
）は異方性です。たとえば、の二次形式に関連付けられた算術格子 {n}
以上の変数 { mathbb {Q}}
二次形式がのどの時点でも消えない場合に限り、関連する直交群で余コンパクトになります∖
{{0 }
{ mathbb {Q} ^ {n} setminus {0 }}
。
マルグリス算術定理
マルグリスが得た壮大な結果は、ボレル-ハリッシュ-チャンドラの定理と部分的に逆です。特定のリー群では、どの格子も算術です。この結果は、2より大きい実ランクの半単純リー群のすべての還元不可能な格子に当てはまります。 たとえば、 L（（ ）。
{ mathrm {SL} _ {n}（ mathbb {R}）}
算術演算の場合 ≥ 3 {n geq 3}
。マルグリスが彼の定理を証明するために使用した主な新しい成分は、彼がこの目的のために証明した上位グループの格子の超剛性でした。
還元不可能性が役割を果たすのは、 {G}
は実際のランク1の係数を持ち（そうでない場合は定理が常に成り立ちます）、単純ではありません。つまり、任意の製品分解に対して = 1 × 2 {G = G_ {1} times G_ {2}}
格子は、各要因の格子の積に通約可能ではありません 私
{G_ {i}}
。たとえば、格子 L 2 （（ Z ）。 { mathrm {SL} _ {2}（ mathbb {Z} [{ sqrt {2}}]）}
の L 2 （（ ）。
×× L 2 （（ ）。
{ mathrm {SL} _ {2}（ mathbb {R}） times mathrm {SL} _ {2}（ mathbb {R}）}
既約ですが、 L 2 （（ Z ）。 ×× L 2 （（ Z ）。 { mathrm {SL} _ {2}（ mathbb {Z}） times mathrm {SL} _ {2}（ mathbb {Z}）}
ではありません。
マルグリスの算術性（および超剛性）の定理は、特定のランク1のリー群、つまり （（ 、 1 ）。
{ mathrm {Sp}（n、1）}
にとって ⩾ 1 {n geqslant 1}
と例外的なグループ 4− 0
{F_ {4} ^ {-20}}
。 すべてのグループに当てはまるわけではないことが知られています O（（ 、 1 ）。
{ mathrm {SO}（n、1）}
にとって ⩾ 2 {n geqslant 2}
（GPSを参照）および U（（ 、 1 ）。
{ mathrm {SU}（n、1）}
いつ =
1 2 3
{n = 1，2，3}
。グループ内に既知の非算術格子はありません U（（ 、 1 ）。
{ mathrm {SU}（n、1）}
いつ ⩾ 4 {n geqslant 4}
。
算術フックス群とクライン群
算術フックス群 数 論的双曲3次元多様体
算術フックス群は、次のデータから構成されます。総実体 {F}
、クォータニオン代数 {A}
以上 {F}
と注文 O {{ mathcal {O}}}
の {A}
。1回の埋め込みでお願いします σ ： { sigma：F to mathbb {R}}
代数 σ
⊗ {A ^ { sigma} otimes _ {F} mathbb {R}}
行列代数と同型である 2（（ ）。
{M_ {2}（ mathbb {R}）}
ハミルトンクォータニオンへの他のすべてのために。次に、ユニットのグループO 1
{{ mathcal {O}} ^ {1}}
の格子です（（ σ
⊗ NS）。 1 { displaystyle（A ^ { sigma} otimes _ {F} mathbb {R}）^ {1}}
これは同型です L 2 （（ ）。 { mathrm {SL} _ {2}（ mathbb {R}）、}
そしてそれは時を除いてすべての場合で余コンパクトです {A}
上の行列代数です 。
{ mathbb {Q}。}
のすべての算術格子 L 2 （（ ）。
{ mathrm {SL} _ {2}（ mathbb {R}）}
この方法で取得されます（通約可能性まで）。
算術クライン群は、次の点を除いて同様に構成されます。 {F}
複雑な場所が1つだけ必要であり、 {A}
すべての実際の場所でハミルトンクォータニオンになること。彼らはすべての算術通約可能性クラスを使い果たします L 2 （（ ）。 { mathrm {SL} _ {2}（ mathbb {C}）。}
分類
半単純リー群ごとに {G}
理論的には、すべての算術格子を（通約可能性まで）分類することが可能です。 {G}
、ケースと同様の方法で = L 2 （（ ）。
、 L 2 （（ ）。
{G = mathrm {SL} _ {2}（ mathbb {R}）、 mathrm {SL} _ {2}（ mathbb {C}）}
上で説明した。これは、実数点が同型である代数群をコンパクトファクターまで分類することになります。 {G}
。
合同部分群の問題
合同部分群
合同サブグループは、それぞれ1と合同（0（略）（それぞれ、非対角）対角を有する特定の式を満たすすべての行列を取ることによって定義された算術グループのサブグループは、2つの整数行列によって、例えば、2のグループを整数を法の係数であります）正の整数を法として。これらは常に有限インデックスのサブグループであり、合同サブグループの問題は、すべてのサブグループがこの方法で取得されるかどうかを大まかに尋ねます。推測（通常はJean-Pierre Serreに起因する）は、これは上位グループの（既約）算術格子に当てはまり、ランク1グループでは誤りであるというものです。この一般性ではまだオープンですが、特定のラティスに対してそれを確立する多くの結果があります（正と負の両方の場合）。
S-算術的グループ
算術格子の定義で整数点を取る代わりに、有限数の素数から離れてのみ積分である点を取ることができます。これは、 {S}
-算術格子（ここで {S}
反転した素数のセットを表します）。代表的な例は L 2 （（ Z ）。 { mathrm {SL} _ {2} left（ mathbb {Z} left [{ tfrac {1} {p}} right] right）}
。それらはまた、例えば、特定の位相群の自然な格子です。 L 2 （（ Z ）。 { mathrm {SL} _ {2} left（ mathbb {Z} left [{ tfrac {1} {p}} right] right）}
の格子です L 2 （（ ）。
×× L 2 （（ NS）。 { mathrm {SL} _ {2}（ mathbb {R}） times mathrm {SL} _ {2}（ mathbb {Q} _ {p}）。}
意味
の正式な定義 {S}
-算術グループ {S}
素数の有限集合は、次の算術的群の場合と同じです。 L（（ Z ）。 { mathrm {GL} _ {n}（ mathbb {Z}）}
と取り換える L （（ Z ）。 { mathrm {GL} _ {n} left（ mathbb {Z} left [{ tfrac {1} {N}} right] right）}
どこ {N}
の素数の積です {S}
。
局所体上のリー群の格子
Borel–Harish-Chandraの定理は次のように一般化されます。 {S}
-次のような算術的グループ：if Γ { Gamma}
は {S}
-算術グループ { mathbb {Q}}
-代数群 { mathrm {G}}
それから Γ { Gamma}
局所コンパクト群の格子です =（（ NS）。 ×× ∏ ∈（（）。
{G = mathrm {G}（ mathbb {R}） times prod _ {p in S} mathrm {G}（ mathbb {Q} _ {p}）}
。
一部のアプリケーション編集
明示的な拡張グラフ
カジュダンの性質（T）またはより弱い性質（T）を持つ算術的部分群 τ { tau}
）のLubotzkyとZimmerを使用して、拡張グラフ（Margulis）、またはラマヌジャングラフ（Lubotzky-Phillips-Sarnak ）を作成できます。このようなグラフは、確率的な結果によって豊富に存在することが知られていますが、これらの構造の明示的な性質により、興味深いものになっています。
極限面とグラフ
算術面の合同カバーは、大きな単射半径を持つ面を生じさせることが知られています。同様に、ルボツキー-フィリップス-サルナックによって作成されたラマヌジャングラフは、大きな周囲を持っています。実際、ラマヌジャンの性質自体が、グラフの局所的な胴回りがほとんど常に大きいことを意味していることが知られています。
等スペクトル多様体
算術的部分群は、等スペクトル多様体を構築するために使用できます。これはMarie-FranceVignéras によって最初に実現され、それ以来、彼女の構造にさまざまなバリエーションが登場しています。等スペクトル性の問題は、実際、算術多様体の制限された設定で研究するのに特に適しています。
偽射影平面
偽射影平面は、射影平面と同じベッチ数を持つ複素数の表面です。 2（（ ）。
{ mathbb {P} ^ {2}（ mathbb {C}）}
しかし、それに双正則ではありません。最初の例はMumfordによって発見されました。クリングラーの仕事（これもヨンによって独立して証明された）によって、そのようなものはすべて、算術格子による2ボールの商です。 U（（ 2 1 ）。 { mathrm {PU}（2，1）}
。可能な格子はPrasadとYeungによって分類され、分類はCartwrightとStegerによって完了されました。CartwrightとStegerは、それらが実際に偽射影平面に対応していることを確認しました。
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