超平面の配置

Arrangement_of_hyperplanes
幾何学と組合せ論、超平面の配置がある配列の有限集合のAの超平面における線形、アフィンまたは射影空間S。超平面配置に関する質問A一般懸念幾何学、トポロジー、または他の特性の補体、M（Aセットである）、その超平面は、全体の空間から削除されたままです。これらの特性が配置とその交差半束にどのように関連しているかを尋ねる人もいるかもしれません。NS交点semilatticeのA、書かれたL（Aは）、全ての集合である部分空間超平面の一部と交差することによって得られます。これらの部分空間の中には、S自体、すべての個々の超平面、超平面のペアのすべての交点などがあります（アフィンの場合は空集合を除く）。これらの交差部分空間のAは、とも呼ばれているの干潟 Aを。交差半束L（A）は、逆包含によって半順序になっています。
空間S全体が2次元の場合、超平面は線です。このような配置は、しばしば線の配置と呼ばれます。歴史的に、線の実際の配置が最初に調査された配置でした。Sが3次元の場合、平面の配置が
宇宙での超平面配置

コンテンツ
1 一般理論
1.1 交差半束とマトロイド 1.2 多項式 1.3 Orlik–Solomon代数
2 実際の手配
3 複雑な配置
4 技術
5 も参照してください
6 参考文献

一般理論

交差半束とマトロイド
交差半束L（A）は、ミート半束であり、より具体的には、幾何学的半束です。配置が線形または射影である場合、またはすべての超平面の交点が空でない場合、交点格子は幾何束です。（これが、半束が包含ではなく逆包含によって順序付けられる必要がある理由です。これは、より自然に見えるかもしれませんが、幾何学的（半）格子を生成しません。）
ときにL（Aは）格子であるマトロイドのA書き込まれ、M（A）を有し、Aをその基底セットおよびランク機能有しているR（Sの）：= codim（I）ここで、Sは任意のサブセットであり、AおよびIはSの超平面の交点です。一般に、L（A）が半束である場合、半マトロイドと呼ばれる類似のマトロイドのような構造がこれは、マトロイドの一般化です（そして、交差する半束との関係は、マトロイドと格子の格子との関係と同じです。格子の場合）が、L（A）が格子でない場合はマトロイドではありません。

多項式
サブセットのためにBのA、我々は定義でき、F（B）=において超平面の交点Bを、Bが空の場合、これはSです。p A（y）と書かれたAの特性多項式は、次の式で定義できます。 （（ y ）。 ：=
∑ （（ − 1 ）。
|| y 薄暗い （（ ）。 {p_ {A}（y）：= sum _ {B}（-1）^ {| B |} y ^ { dim f（B）}、}
  すべてのサブセットにわたって合計BのAアフィン場合以外、その交差部分集合は空です。（空集合の次元は-1と定義されています。）この多項式は、いくつかの基本的な質問を解決するのに役立ちます。下記参照。Aに関連付けられた別の多項式は、ホイットニー数多項式 w A（x、y）であり、次の式で定義されます。
w （（ 、 y ）。 ：= ∑−
薄暗い （（ ）。
∑ （（ − 1 ）。
| −| y 薄暗い （（ ）。 {w_ {A}（x、y）：= sum _ {B} x ^ {n- dim f（B）} sum _ {C}（-1）^ {| CB |} y ^ { dim f（C）}、}
  合計B ⊆ C ⊆ Aように、F（Bで）空です。
幾何束または半束であるため、L（A）は特性多項式p L（A）（y）を持ち、これには広範な理論があります（マトロイドを参照）。したがって、p A（y）= y i p L（A）（y）であることを知っておくとよいでしょう。ここで、iは任意のフラットの最小次元です。ただし、射影の場合はy i + 1 p L（A）（y）。Aのホイットニー数多項式は、L（A）の多項式と同様に関連しています。（これらの関係が有効になるように、特にアフィンの場合、空のセットは半束から除外されます。）

Orlik–Solomon代数
交差半束は、配置の別の組み合わせ不変量であるOrlik–Solomon代数を決定します。それを定義するには、ベースフィールドの可換部分環Kを固定し、ベクトル空間の外積代数Eを形成します。
⨁ ∈ K
e { bigoplus _ {H in A} Ke_ {H}}
  超平面によって生成されます。鎖複合構造体は上に定義されているE通常の境界オペレータと ∂ { partial}

 。Orlik–Solomon代数は、次の形式の要素によって生成された理想によるEの商になります。e1 ∧ ⋯ ∧
e{e_ {H_ {1}} wedge cdots wedge e_ {H_ {p}}}

  そのために 1 …
、 {H_ {1}、 dots、H_ {p}}

  空の交差があり、同じ形式の要素の境界によって 1
∩ ⋯ ∩ {H_ {1} cap cdots cap H_ {p}}

 持っ余次元未満のp。

実際の手配
実 アフィン空間、補体を切断する：それが呼び出さ別個の部品で構成されているセルまたは領域またはチャンバである有界領域のいずれかであり、その各々は、凸 多面体、又は凸状である非有界領域多面体移行領域無限にオフ。Aの各フラットも、フラットを含まない超平面によって断片に分割されます。これらの作品は、と呼ばれている顔のA。空間全体がフラットであるため、領域は面です。余次元1の面は、Aのファセットと呼ばれることがアレンジメントの面半束は、包含順に並べられたすべての面のセットです。面の半束に追加の上部要素を追加すると、面の格子が作成されます。
2次元（つまり、実際のアフィン平面）では、各領域は凸多角形（境界がある場合）または無限に広がる凸多角形領域です。
例として、配置が3本の平行線で構成されている場合、交差半束は平面と3本の線で構成されますが、空のセットでは構成されません。4つの地域があり、いずれも境界がありません。
3つの平行線を横切る線を追加すると、交点半束は平面、4本の線、および3つの交点で構成されます。8つの地域がありますが、いずれも境界がありません。
最後の線と平行にもう1本の線を追加すると、12の領域があり、そのうち2つは有界平行四辺形です。
n次元の実空間での配置に関する一般的な問題は、領域がいくつあるか、次元4の面がいくつあるか、または境界領域がいくつあるかを言うことです。これらの質問は、交差点の半束から答えることができます。たとえば、Zaslavsky（1975）の2つの基本的な定理は、アフィン配置の領域の数が（-1）n p A（-1）に等しく、有界領域の数が（-1）n p A（-1）に等しいというものです。1）。同様に、k次元の面または有界面の数は、（-1）n w A（-x、-1）または（-1）n w A（-x）のx n – kの係数として読み取ることができます。、1）。
Meiser（1993）は、入力点を含む超平面の配置の面を決定するための高速アルゴリズムを設計しました。
実空間での配置に関するもう1つの質問は、シンプレックスである領域の数を決定することです（三角形と四面体のn次元の一般化）。これは、交差点の半束だけに基づいて答えることはできません。マクマレンの問題は、一般の位置にある特定のディメンションの最小の配置を要求し、実際の射影空間のすべての超平面で触れた細胞が存在しないため。
実際の線形配置には、その面の半束に加えて、領域のポセットがあり、領域ごとに異なります。この半順序集合は、任意の基本領域B 0を選択し、RをBから分離する超平面からなる集合S（R）を各領域Rに関連付けることによって形成されます。領域は、部分的にそう順序付けされるR 1 ≥ R 2であればS（R 1、R）を含むS（R 2、R）。超平面がルート系から発生する特殊なケースでは、結果の半順序集合は、ブリュア順序が弱い対応するワイル群になります。一般に、領域の半順序集合は分離超平面の数によってランク付けされ、そのメビウス関数が計算されています（Edelman 1984）。
VadimSchechtmanとAlexanderVarchenkoは、地域によってインデックス付けされたマトリックスを導入しました。領域のマトリックス要素 私
{R_ {i}}

  と {R_ {j}}

  不定変数の積によって与えられます {a_ {H}}

 これら2つの領域を分離するすべての超平面Hに対して。これらの変数がすべて値qになるように特殊化されている場合、これはq行列と呼ばれます（ユークリッド領域上）
{ mathbb {Q} }

 ）配置については、多くの情報がスミス標準形に含まれています。

複雑な配置
複雑な（複雑なアフィン平面は、4つの実際の寸法を有するため、可視化しにくい）アフィン空間、補体は、超平面が除去された穴に（すべてを1ピース）に接続されています。
複雑な空間での配置に関する典型的な問題は、穴を記述することです。
複雑な配置に関する基本的な定理は、補集合M（A）のコホモロジーが交差半束によって完全に決定されるというものです。正確には、M（A）（整数係数を持つ）のコホモロジー環は、Z上のOrlik–Solomon代数と同型です。
同型写像は明示的に記述でき、ジェネレーターと関係の観点からコホモロジーの表現を提供します。ここで、ジェネレーターは（ドラームコホモロジーで）対数微分形式として表されます。1 π I α
α {{ frac {1} {2 pi i}} { frac {d alpha} { alpha}}。}

 と α
{ alpha}

  配置の一般的な超平面を定義する任意の線形形式。

技術
空間S全体である縮退した超平面を配置に所属させると便利な場合がAに縮退した超平面が含まれている場合、補集合が空であるため、領域はありません。ただし、それでもフラット、交差半束、および面が前述の説明は、縮退した超平面が配置されていないことを前提としています。
場合によっては、配置内で超平面を繰り返し使用できるようにしたいことが前の説明ではこの可能性については考慮しませんでしたが、重要な違いはありません。

も参照してください
超可解配置
有向マトロイド

参考文献
「超平面の配置」、数学百科事典、EMS Press、2001
Edelman、Paul H.（1984）、「NS
{ mathbb {R} ^ {n}}

 超平面によって解剖された」、アメリカ数学会のトランザクション、283（2）：617–631、doi：10.2307 / 1999150、JSTOR  1999150、MR  0737888。
Meiser、Stefan（1993）、「超平面の配置における点の位置」、Information and Computation、106（2）：286–303、doi：10.1006 / inco.1993.1057、MR  1241314。
Orlik、Peter ; 寺尾宏明（1992）、超平面の配置、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 、300、ベルリン：Springer-Verlag、doi：10.1007 / 978-3-662-02772-1、ISBN 978-3-642-08137-8、MR  1217488。
スタンリー、リチャード（2011）。「3.11超平面配置」。数え上げ数学。1（第2版）。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-1107602625。
Zaslavsky、Thomas（1975）、「配置に直面する：ハイパープレーンによる空間の分割のための面数式」、アメリカ数学会の回顧録、ロードアイランド州プロビデンス：アメリカ数学会、1（154）、doi：10.1090 / memo / 0154、MR  0357135。”