B%C3%A9zier_surface
ベジエ曲面は、コンピューターグラフィックス、コンピューター支援設計、および有限要素モデリングで使用される数学スプラインの一種です。同様にベジェ曲線、ベジェ面は以下のように定義されたセットの制御点。多くの点で補間と同様に、重要な違いは、一般に、サーフェスが中央の制御点を通過しないことです。むしろ、それぞれが魅力的な力であるかのように、彼らに向かって「引き伸ばされ」ます。それらは視覚的に直感的であり、多くのアプリケーションにとって数学的に便利です。
コンテンツ
1 歴史
2 方程式
3 コンピュータグラフィックスのベジエ曲面
4 も参照してください
5 外部リンク
6 参考文献
歴史
ベジェ曲面は、1962年にフランスのエンジニアであるピエールベジェによって最初に記述されました。ピエールベジェは、それらを使用して自動車のボディを設計しました。ベジエ曲面はどの程度でもかまいませんが、バイキュービックベジエ曲面は一般にほとんどのアプリケーションに十分な自由度を提供します。
方程式
ベジエ曲面のサンプル。赤–コントロールポイント、青–コントロールグリッド、黒–表面近似
次数（n、 m）の特定のベジエ曲面は、（n + 1）（m + 1）制御点 k i、jのセットによって定義されます。ここでi = 0、…、nおよびj = 0、.。 。、m。単位正方形を、k i、j sを含む空間内に埋め込まれた滑らかで連続的な表面にマッピングします。たとえば、k i、j sがすべて4次元空間内の点である場合、表面はa内に 4次元空間。
2次元ベジエ曲面は、パラメトリック座標u、 vの関数としての点pの位置が次の式で与えられるパラメトリック曲面として定義できます。（（ u v
）。= ∑
I = 0 ∑ =
0 I （（ u
）。（（ v
）。k I
、 { mathbf {p}（u、v）= sum _ {i = 0} ^ {n} sum _ {j = 0} ^ {m} B_ {i} ^ {n}（u） 、B_ {j} ^ {m}（v）、 mathbf {k} _ {i、j}}
単位正方形で評価されます。 I （（ u
）。 = （（NS
私）。u I（（ 1− u
）。 − I {B_ {i} ^ {n}（u）= {n choice i} u ^ {i}（1-u）^ {ni}}
はバーンスタイン多項式の基底であり、（（NS 私）。 = ！
I ！ （（ − I ）。 ！ {{n choice i} = { frac {n！} {i！（ni）！}}}
ある二項係数。
ベジエ曲面のいくつかのプロパティ：
ベジエ曲面は、すべての線形変換および平行移動の下で、その制御点と同じ方法で変換されます。
（u、 v）空間内のすべてのu =定数およびv =定数線、特に–変形した（u、 v）単位正方形の4つのエッジすべてがベジェ曲線です。
ベジエ曲面は、その制御点の凸包内に完全に存在します。したがって、任意のデカルト座標系の制御点の境界ボックス内にも完全に存在します。
変形した単位正方形の角に対応するパッチ内の点は、4つの制御点と一致します。
ただし、ベジエ曲面は通常、他の制御点を通過しません。
一般に、ベジエ曲面の最も一般的な用途は、バイキュービックパッチのネットとしてです（m = n = 3）。したがって、単一のバイキュービックパッチのジオメトリは、16個のコントロールポイントのセットによって完全に定義されます。これらは通常、ベジェ曲線がリンクされてBスプライン曲線を形成するのと同様の方法でリンクされてBスプラインサーフェスを形成します。
より単純なベジエ曲面は、双二次パッチ（m = n = 2）またはベジエ三角形から形成されます。
コンピュータグラフィックスのベジエ曲面
パッチから構成されたエド・キャットマルの「ガンボ」モデル
ベジエパッチメッシュは、滑らかな表面の表現として三角形メッシュよりも優れています。それらは、曲面を表すために必要なポイントが少なく（したがってメモリが少なく）、操作が簡単で、連続性がはるかに優れています。さらに、球や円柱などの他の一般的なパラメトリック曲面は、比較的少数の立方ベジェパッチで十分に近似できます。
ただし、ベジエパッチメッシュを直接レンダリングすることは困難です。ベジェパッチの問題の1つは、線との交点の計算が難しく、細分割や逐次近似手法を使用しない純粋なレイトレーシングやその他の直接的な幾何学的手法では扱いにくいことです。また、透視投影アルゴリズムと直接組み合わせるのも困難です。
このため、ベジエパッチメッシュは一般に、3Dレンダリングパイプラインによって最終的に平らな三角形のメッシュに分解されます。高品質のレンダリングでは、個々の三角形の境界が見えないように細分割が調整されます。「ぼろぼろ」の外観を避けるために、通常、この段階で、テクスチャマップ、バンプマップ、およびその他のピクセルシェーダー手法を使用して、ベジェサーフェスに細かいディテールが適用されます。
程度のAベジェパッチ（M、Nは）は、2つのから構成されてもよいベジエ三角形度のM + N、または程度の単一ベジエ三角形のうちM + Nとして入力ドメインと、正方形の代わりに三角形。
次数mのベジエ三角形は、次数（m、m）のベジエ曲面から、1つのエッジが点に押しつぶされるように制御点を使用して、または入力ドメインを正方形ではなく三角形として作成することもできます。
も参照してください NURBS 計算幾何学
バイキュービック補間
ベジェ曲線
ベジエ三角形
外部リンク
コードによるベジェ曲面の視覚化
参考文献
^ ファリン、ジェラルド。CAGDの曲線と表面（第5版）。アカデミックプレス。ISBN 1-55860-737-4。”