B%C3%A9zout_domain
では、数学、ベズー整域での一形態であるプリューファー整域。これは、2つの主イデアルの合計が再び主イデアルである整域です。これは、要素のすべてのペアについてベズーのアイデンティティが保持され、有限生成されたすべての理想が主であることを意味します。任意の主要理想ドメイン（PID）がベズー整域であるが、ベズー整域の必要性があることではないネーター環が（明らかに除外がPIDである）非有限生成理想を有することができるので、。もしそうなら、それは一意の因数分解ドメイン（UFD）ではありませんが、それでもGCDドメインです。ベズー整域の理論は、ネーター環の特性を必要とせずに、PIDの特性の多くを保持しています。ベズー整域は、フランスの 数学者 エティエンヌベズーにちなんで名付けられました。
コンテンツ
1 例
2 プロパティ
3 ベズー整域上のモジュール
4 も参照してください
5 参考文献
例
すべてのPIDはベズー整域です。
PIDではないベズー整域の例には、整関数の環（複素平面全体で正則な関数）とすべての代数整数の環が含まれます。整関数の場合、既約元は1次の多項式関数に関連付けられた関数のみであるため、要素の因数分解は、ゼロが有限個ある場合にのみ行われます。代数的整数の場合、その平方根（たとえば）も代数的整数であるため、還元不可能な要素はまったくありません。これは、どちらの場合も、リングがUFDではなく、したがってPIDでもないことを示しています。
付値環はベズー整域です。非ネーター環の付値環は、非ネーター環のベズードメインの例です。
次の一般的な構成では、フィールドではないベズードメインRから、たとえばPIDから、UFDではないベズードメインSが生成されます。R = Zの場合は、覚えておくべき基本的な例です。LET Fは、である商体のR、及び入れS = R + XF 、の多項式のサブリングFをで定数項とR。このリングはネーター環ではありません。定数項がゼロのXのような要素は、Rの非可逆要素によって無期限に分割できますが、Sではまだ非可逆であり、これらすべての商によって生成される理想は有限生成ではありません（したがって、XはSには因数分解はありません）。Sがベズー整域であることを次のように示します。
これは、すべてのペアのためにことを証明するのに十分で、A、BにおけるSが存在するSは、TにおけるSようによう+ BT分割両方とB。
場合とbは公約数を持たdは、それがためにこれを証明するのに十分/ DおよびB / Dと同じことから、S、Tが行います。
多項式aとbをゼロ以外と仮定することができます。ゼロ定数項を持っている両方の場合には、聞かせて、N、それらの少なくとも一つが、非ゼロの係数を有するような最小の指数であるX nは、fX nがaとbの公約数であり、それで除算されるようなfをFで見つけることができます。
我々はそれゆえの少なくとも一つと仮定することができる、bがゼロでない定数項を有します。場合及びBの要素として見F が互いに素ではない、の最大公約数があるとBに定数項1、及び従って嘘を有し、このUFDにおけるSは、この係数で割ることができます。
したがって、我々はまた、と仮定することができるとbはで互いに素であるF [ Xので、すなわち1つのにあるAF + BF 、およびいくつかの定数多項式RにおけるRの内にあるaSに+ bSの。また、以来、Rはベズー整域、GCDのあるDにおけるR定数項の0及びB 0にある0 R + B 0 R。定数項なしで任意の要素は、同様に以来- 0又はB – B 0、任意のゼロでない定数で割り切れる、定数Dはで公約数であり、SのとB。それがaS + bSにあることを示すことにより、それが実際に最大公約数であることを示します。乗算及びbのためBézout係数によってそれぞれDに対して0およびB 0は多項式与えるPにおけるaSに+ Bsを定数項とD。その場合、p − dは定数項がゼロであり、定数多項式rのSの倍数であるため、aS + bSにしかし、dも同様に行い、これで証明が完成します。
プロパティ
リングは、任意の2つの要素がそれらの線形結合である最大公約数を持つ整域である場合に限り、ベズー整域です。これは、2つの要素によって生成されるイデアルも単一の要素によって生成され、誘導は、有限に生成されたすべてのイデアルが主要であることを示しています。線形結合としてのPIDの2つの要素の最大公約数の表現は、ベズーのアイデンティティと呼ばれることが多く、その用語が使われています。
上記のgcd条件は、単なるgcdの存在よりも強いことに注意して任意の2つの要素に対してgcdが存在する整域は、GCDドメインと呼ばれるため、ベズードメインはGCDドメインです。特に、ベズー整域では、既約元が素数です（ただし、代数的整数の例が示すように、既約元は存在する必要はありません）。
ベズー整域Rの場合、次の条件はすべて同等です。
Rは主イデアルドメインです。
Rはネーターです。
Rは、一意の因数分解ドメイン（UFD）です。
Rは、主イデアル（ACCP）の昇鎖条件を満たします。
Rのすべての非ゼロ非単位は、既約元の積に因数分解されます（Rは分解整域です）。（1）と（2）の同等性は上記のとおりです。ベズー整域はGCD整域であるため、（3）、（4）、（5）は同等であることがすぐにわかります。最後に、Rがネーター環でない場合、有限生成イデアルの無限昇鎖が存在するため、ベズー整域では主イデアルの無限昇鎖が存在します。したがって、（4）と（2）は同等です。
ベズー整域はプリューファー整域です。つまり、有限生成加群のそれぞれが可逆であるか、言い換えれば可換半遺伝的領域です。）
したがって、同等性の「ベズードメインiffプリューファードメインとGCDドメイン」は、より馴染みのある「PIDiffデデキントドメインとUFD」に類似していると見なすことができます。
プリューファードメインは、すべての素数（同等に、すべての最大）イデアルでの局所化が評価ドメインである整域として特徴付けることができます。したがって、素イデアルでのベズードメインのローカリゼーションは評価ドメインです。ローカルリングの可逆イデアルがプリンシパルであるため、ローカルリングは、評価ドメインである場合はベズードメインです。さらに、非周期的（同等に非離散的）な値グループを持つ評価ドメインはネーター環ではなく、完全に順序付けられたすべてのアーベル群は、ある評価ドメインの値グループです。これは、非ネーターベズードメインの多くの例を示しています。
非可換代数では、右ベズー整域は、有限生成された右理想が主要な右理想であるドメインです。つまり、R内のいくつかのxに対してxRの形式です。注目すべき結果の1つは、適切なベズー整域が適切な鉱石領域であるということです。すべての可換ドメインはOreドメインであるため、この事実は可換の場合には興味深いものではありません。右ベズー整域も右半遺伝的環です。
ベズー整域上のモジュール
PIDを介したモジュールに関するいくつかの事実は、ベズードメインを介したモジュールにまで及びます。ましょRはベズー整域となるMを超える有限生成加群R。その場合、ねじれなしである場合に限り、Mはフラットになります。
も参照してください
セミファー（可換セミファーは正確にベズー整域です。）
ベズーリング
参考文献
^ コーン ^ ブルバキ1989年、第1章、§2、第4号、命題3
コーン、PM（1968）、「ベズーリングとそのサブリング」 （PDF）、Proc。ケンブリッジフィロス。Soc。、64：251–264、doi：10.1017 / s0305004100042791、MR 0222065
ヘルマー、オラフ（1940）、「積分関数の分割可能性」、デューク数学。J.、6：345–356、doi：10.1215 / s0012-7094-40-00626-3、ISSN 0012-7094、MR 0001851
カプランスキー、アーヴィング（1970）、可換環、マサチューセッツ州ボストン：Allyn and Bacon Inc.、pp。x + 180、MR 0254021
ブルバキ、ニコラ（1989）、可換環論
「ベズーリング」、数学百科事典、EMSプレス、2001年