B%C3%A9zout_matrix
では、数学、Bézout行列（またはBézoutianまたはBezoutiantは）特別である正方行列2つのに関連付けられている多項式によって導入され、ジェームズ・ジョセフ・シルベスター （1853）とアーサー・ケイリー （1857）との名にちなんで名付けられエティエンヌ・ベズー。Bézoutianは、この行列の行列式を参照する場合もこれは、2つの多項式の結果に等しくなります。ベズー行列は、特定の多項式の安定性をテストするために使用されることが
コンテンツ
1 意味
2 例
3 プロパティ
4 アプリケーション
5 参考文献
意味
させて （（ z ）。 {f（z）}
と （（ z ）。 {g（z）}
2つのも複雑なの多項式度を最大でnは、 （（ z
）。= ∑
I= 0 u I z I
、 （（ z
）。= ∑
I= 0 v I z
I {f（z）= sum _ {i = 0} ^ {n} u_ {i} z ^ {i}、 qquad g（z）= sum _ {i = 0} ^ {n} v_ {i} z ^ {i}。}
（任意の係数に注意してください
u I {u_ {i}}
また
v I {v_ {i}}
ゼロであってもよい。）Bézout行列順のN個の多項式に関連したF及びG IS （（ 、 ）。 = （（NS I NS）。 I 、 =
0 …
、 − 1 {B_ {n}（f、g）= left（b_ {ij} right）_ {i、j = 0、 dots、n-1}}
ここでエントリ I {b_ {ij}}
アイデンティティからの結果 （（ ）。 （（ y ）。 − （（ y
）。 （（ ）。 −y = ∑ I 、 =
0 −
1 I 私
y 。
{{ frac {f（x）g（y）-f（y）g（x）} {xy}} = sum _ {i、j = 0} ^ {n-1} b_ {ij} 、x ^ {i} 、y ^ {j}。}
これはn × nの複素行列であり、そのエントリは次のようになります。 私=
最小
{{ I 、 − 1 − }
{m_ {ij} = min {i、n-1-j }}
それぞれについて I 、 =
0 …
、 − 1 {i、j = 0、 dots、n-1}
、 それから： I = ∑ k = 0 私（（ u +k + 1 v I −k − u I − k v +k + 1
）。 {b_ {ij} = sum _ {k = 0} ^ {m_ {ij}}（u_ {j + k + 1} v_ {ik} -u_ {ik} v_ {j + k + 1}） 。}
各ベズー行列に、ベズー行列と呼ばれる次の双線形形式を関連付けることができます。
ベズ
： ×× ：（（ 、 y ）。 ↦ ベズ（（ 、 y ）。= ∗ （（ 、 ）。
y { operatorname {Bez}： mathbb {C} ^ {n} times mathbb {C} ^ {n} to mathbb {C} ：（ x、y） mapsto operatorname {Bez}（ x、y）= x ^ {*} B_ {n}（f、g）、y。}
例
以下のために、N = 3、我々は、任意の多項式を持っているF及びG（せいぜい）度3： 3（（ 、 ）。= u
1 v 0
− v 1 u 2 v 0
− v 2 u 3 v 0
− v 3 u 2 v 0
− v 2 u 2 v 1
− v 2+ u
3 v 0
− v 3 u 3 v 1
− v 3 u 3 v 0
− v 3 u 3 v 1
− v 3 u 3 v 2
− v 3
] {B_ {3}（f、g）= left [{ begin {matrix} u_ {1} v_ {0} -u_ {0} v_ {1}＆u_ {2} v_ {0} -u_ { 0} v_ {2}＆u_ {3} v_ {0} -u_ {0} v_ {3} \ u_ {2} v_ {0} -u_ {0} v_ {2}＆u_ {2} v_ {1} -u_ {1} v_ {2} + u_ {3} v_ {0} -u_ {0} v_ {3}＆u_ {3} v_ {1} -u_ {1} v_ {3} \ u_ {3} v_ {0} -u_ {0} v_ {3}＆u_ {3} v_ {1} -u_ {1} v_ {3}＆u_ {3} v_ {2} -u_ {2} v_ {3} end {行列}} right] ！。}
させて （（ ）。= 3 3
− {f（x）= 3x ^ {3} -x}
と （（ ）。= 5 2 + 1
{g（x）= 5x ^ {2} + 1}
2つの多項式になります。それで： 4（（ 、 ）。 = [ −1 0 3 0 0 8 0 0 3 10 11 12 130 0
0] {B_ {4}（f、g）= left [{ begin {matrix} -1＆0＆3＆0 \ 0＆8＆0＆0 \ 3＆0＆15＆0 \ 0＆0＆0＆0 end {matrix}} right] ！。}
fとgの次数が厳密にn（4）未満であるため、最後の行と列はすべてゼロです。他のゼロエントリは、I =
0 …
、 {i = 0、 dots、n}
、 また
u I {u_ {i}}
また
v I {v_ {i}}
はゼロです。
プロパティ編集 （（ 、 ）。
{B_ {n}（f、g）}
ある対称（行列など）; （（ 、 ）。 = − （（ 、 ）。
{B_ {n}（f、g）=-B_ {n}（g、f）}
; （（ 、 ）。= 0
{B_ {n}（f、f）= 0}
;（（ 、 ）。
↦ （（ 、 ）。
{ displaystyle（f、g） mapsto B_ {n}（f、g）}
ある双一次関数は、 （（ 、 ）。
{B_ {n}（f、g）}
fとgに実数係数がある場合、は実数行列です。 （（ 、 ）。
{B_ {n}（f、g）}
正則である =
最大（（ 度（（ ）。 度（（ ）。 ）。 {n = max（ deg（f）、 deg（g））}
fとgに共通のルートがない場合に限ります。 （（ 、 ）。
{B_ {n}（f、g）}
と =
最大（（ 度（（ ）。 度（（ ）。 ）。 {n = max（ deg（f）、 deg（g））}
有する行列式で得られるのF及びGを。
アプリケーション
ベズー行列の重要なアプリケーションは、制御理論にこれを確認するには、f（z）を次数nの複素多項式とし、qとpで、f（i y）= q（y）+ i p（y）（yは実数）となる実数多項式を示します。我々はまた表し、R用のランクとσの署名のために（（ 、 ）。
{B_ {n}（p、q）}
。次に、次のステートメントが
F（zは）は、N – Rのそのコンジュゲートと共通の根を、
f（z）の左側のrルートは、次のように配置されます。（r + σ）/ 2は、開いた左半平面にあり、（R – σ）/オープン右半平面における2位置。
fは、次の場合にのみ、フルビッツ安定 です。 （（ 、 ）。
{B_ {n}（p、q）}
ある正定。
3番目のステートメントは、安定性に関する必要十分条件を示しています。さらに、最初のステートメントはシルベスター行列に関する結果といくつかの類似点を示していますが、2番目のステートメントはラウス-フルビッツの定理に関連している可能性が
参考文献
Cayley、Arthur（1857）、「Note sur la methode d’elimination de Bezout」、J。ReineAngew 。算数。、53：366–367、doi：10.1515 / crll.1857.53.366
Kreĭn、MG; Naĭmark、MA（1981）、「代数方程式の根の分離の理論における対称およびエルミート形式の方法」、線形および多重線形代数、10（4）：265–308、doi：10.1080 / 03081088108817420、ISSN 0308-1087、MR 0638124
パン、ビクター; ビニ、ダリオ（1994）。多項式と行列の計算。スイス、バーゼル：ビルクホイザー。ISBN 0-8176-3786-9。
プリチャード、アンソニーJ。; Hinrichsen、Diederich（2005）。数学的システム理論I：モデリング、状態空間分析、安定性とロバスト性。ベルリン：スプリンガー。ISBN 3-540-44125-5。
シルベスター、ジェームズ・ジョセフ（1853）、「シュトゥルムの関数の理論への適用を含む、2つの合理的な積分関数のSyzygetic関係の理論、および最大の代数的共通測度の理論について」 （PDF）、王立の哲学的取引ロンドン協会、王立学会、143：407–548、土井：10.1098 / rstl.1853.0018、ISSN 0080-4614、JSTOR 108572″