ベズーのアイデンティティ

B%C3%A9zout’s_identity

は、算術におけるベズーの定理についてです。代数幾何学のベズーの定理は、以下を参照してください
ベズーの定理を。
基本的には数論、ベズーの等式（とも呼ばれるBézoutの補題にちなんで名付けられた）、エティエンヌ・ベズーは、次のようである定理：
ベズーの等式 – しようとbがあること整数との最大公約数D。次に、ax + by = dとなる整数xとyが存在します。より一般的には、ax + byの形式の整数は、正確にdの倍数です。
ここで、0と0の最大公約数は0と見なされます。整数xとyは、（a、b）のベズー係数と呼ばれます。それらは一意ではありません。ベズー係数のペアは、拡張ユークリッドアルゴリズムによって計算できます。このペアは、次のような2つのペアの1つです。
| | ≤ | / |
{| x | leq | b / d |} と |y | ≤
| / |
{| y | leq | a / d |}
。以下の場合にのみ等価が発生し、AとBは、他の倍数です。
例として、15と69の最大公約数は3であり、3は15と69の組み合わせとして3 = 15×（-9）+ 69×2、ベズー係数-9と2と書くことができます。
ユークリッドの補題や中国の剰余定理など、初等整数論の他の多くの定理は、ベズーのアイデンティティに起因します。
ベズー整域である一体型ドメインベズーの等式が成立するには。特に、ベズーのアイデンティティは主イデアル領域に当てはまります。したがって、ベズーのアイデンティティから生じるすべての定理は、すべての主イデアル領域に当てはまります。

コンテンツ
1 ソリューションの構造
1.1 例
2 証拠
3 一般化
3.1 3つ以上の整数の場合 3.2 多項式の場合 3.3 主イデアルドメインの場合
4 歴史
5 も参照してください
6 ノート
7 外部リンク

ソリューションの構造
場合及びbはないともにゼロとBézout係数の一組（X、Y）に計算されている（例えば、使用して拡張ユークリッドアルゴリズム）、全ての対が形式で表すことができます。（（ −k、 y +
k ）。 { left（xk { frac {b} {d}}、 y + k { frac {a} {d}} right）、}
  ここで、kは任意の整数、dはaとbの最大公約数であり、分数は整数に単純化されます。
aとbの両方がゼロ以外の場合、ベズー係数のペアのこれらのペアのうち2つだけが
| | ≤ | |と |
y | ≤
| | {| x | leq left | { frac {b} {d}} right | quad { text {and}} quad | y | leq left | { frac {a} { d}} right |、}
  平等は、aとbの一方が他方を分割する場合にのみ発生する可能性が
これは、除法の特性に依存します。2つの非ゼロ整数cとdが与えられた場合、dがcを除算しない場合、c = dq + rおよび0 < r <|となるようなペア（q、r）が1つだけ存在します。d | 、およびc = dq + rおよび-|のような別の1つ d | < r <0。
小さなベズーの係数の2つのペアは、上記の式でkを選択することにより、指定されたもの（x、y）から取得されます。/ {{ frac {x} {b / d}}}

 。
拡張ユークリッドアルゴリズムは、常にこれら2つの最小ペアの1つを生成します。

例
ましょう= 12及びB = 42、次いでGCD（12、42）= 6。次に、次のベズーのアイデンティティが得られます。ベズー係数は、最小ペアの場合は赤で、その他のペアの場合は青で書かれています。⋮ 12 ×× （（ − 10 ）。+ 42
×× 3 =6 2 ×× （（ − 3 ）。+ 42
×× 1 =6 2
××4 + 42 ×× （（ − 1 ）。=6 2
××11 + 42 ×× （（ − 3 ）。=6 2
××18 + 42 ×× （（ − 5 ）。=6
{{ begin {aligned} vdots \ 12＆ times（{ color {blue} {-10}}）＆+ ; ; 42＆ times color {blue} {3}＆= 6 12＆ times（{ color {red} {-3}}）＆+ ; ; 42＆ times color {red} {1}＆= 6 \ 12＆ times color {red} {4} ＆+ ; ; 42＆ times（{ color {red} {-1}}）＆= 6 \ 12＆ times color {blue} {11}＆+ ; ; 42＆ times（{ color {blue} {-3}}）＆= 6 \ 12＆ times color {blue} {18}＆+ ; ; 42＆ times（{ color {blue} {-5}}）＆= 6 \ vdots end {aligned}}}
  もし（X、Y）=（18、-5）次に、Bézout係数の元の対です18 42 6 ∈ [ 2 3 ] {{ frac {18} {42/6}} in }

 k = 2、それぞれk = 3を介して最小ペアを生成します。つまり、（18-2⋅7、-5 +2⋅2）=（4、-1）、および（18-3⋅7、-5 +3⋅2）=（-3、1）です。

証拠
ゼロ以外の整数aとbが与えられた場合、 =
{{ + y
∣ 、y ∈ Z
 と  + y
>> 0 } {S = {ax + by mid x、y in mathbb {Z} { text {and}} ax + by> 0 }。}
0}.}””>
 セットSは、aまたは– a（x =±1およびy = 0）のいずれかを含むため、空ではありません。Sは空でない正の整数のセットであるため、最小要素が = + {d = as + bt}

 、秩序の原則による。ことを証明するために、dはの最大公約数であるとB、いることを証明しなければならないdはの公約数であるとB、およびその他の公約数のためにすることをC、1が持っているC ≤ dは。
ユークリッド除算のによりdを書き込むことができます = + と 0 ≤ < 。
{a = dq + r quad { text {with}} quad 0 leq r   残りのrは ∪
{{0 }
{S cup {0 }}

 、 なぜなら = − = − （（+ ）。= （（ 1
− ）。
−。
{{ begin {aligned} r＆= a-qd \＆= aq（as + bt）\＆= a（1-qs）-bqt。 end {aligned}}}
  したがって、rは次の形式になります。 + y
{ax + by}

 、 それゆえ ∈ ∪
{{0 }
{r in S cup {0 }}

 。ただし、0≤ R < D、およびDはで最小の正の整数であるS：剰余rは従ってにすることはできませんS作り、Rこれはその意味必ずしも0 dはの除数です。同様に、dもbの約数であり、dはaとbの公約数です。
ここで、cをaとbの任意の公約数とします。つまり、存在UとVはそのようなことは、A =銅及びB = CV。したがって、1つは = + = u + v = （（ u +
v ）。 {{ begin {aligned} d＆= as + bt \＆= cus + cvt \＆= c（us + vt）。 end {aligned}}}
  つまりcはの除数Dしたがって、、およびcは≤ D。

一般化

3つ以上の整数の場合
ベズーのアイデンティティは、3つ以上の整数に拡張できます。 gcd （（ 1
、 2 …
、 ）。= { gcd（a_ {1}、a_ {2}、 ldots、a_ {n}）= d}
  次に整数があります 1
、 2 …
、 {x_ {1}、x_ {2}、 ldots、x_ {n}}

  そのような = 1 1+ 2 2+ ⋯+{d = a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + cdots + a_ {n} x_ {n}}
  次のプロパティが
dは、この形式の最小の正の整数です
このフォームのすべての数はdの倍数です

多項式の場合
多項式最大公約数§ベズーのアイデンティティと拡張GCDアルゴリズム
ベズーの等式は、整数の場合とまったく同じ方法で、体上の単変量多項式に対して機能します。特に、ベズーの係数と最大公約数は、拡張ユークリッドアルゴリズムを使用して計算できます。
2つの多項式の共通の根は、それらの最大公約数の根であるため、ベズーのアイデンティティと代数の基本定理は、次の結果を意味します。
体に係数を持つ
単変量多項式 fと gの場合、fと
gが代数的閉体（通常は
複素数の体）に共通の根を持たない
場合に限り、
af +
bg = 1
となる多項式aと
bが存在し この結果を任意の数の多項式と不定元に一般化するのがヒルベルトの零点です。

主イデアルドメインの場合
冒頭で述べたように、ベズーのアイデンティティは整数環だけでなく、他の主イデアル領域（PID）でも機能します。つまり、RがPIDであり、aとbがRの要素であり、dがaとbの最大公約数である場合、ax + by = dとなるような要素xとyがRにその理由は、理想的なRa + Rbが主であり、Rdに等しいためです。
ベズーのアイデンティティが保持する整域は、ベズードメインと呼ばれます。

歴史
フランスの 数学者 エティエンヌベズー（1730–1783）は、多項式のこのアイデンティティを証明しました。しかし、整数に関するこの声明は、初期のフランスの数学者、クロード・ガスパール・バシェ・ド・メジリアック（1581–1638）の研究にすでに見られます。

も参照してください
AF + BGの定理、3つの不定元の同次多項式に対するベズーのアイデンティティの類似物
算術の基本定理
ユークリッドの補題

ノート
^ ベズー、É。（1779）。Théoriegénéraledeséquationsalgébriques。フランス、パリ：Ph.-D。ピエール。
^ Tignol、Jean-Pierre（2001）。ガロアの代数方程式の理論。シンガポール：世界科学。ISBN
 981-02-4541-6。
^ クロード・ガスパール・バシェ（sieurdeMéziriac）（1624）。Problèmesplaisants＆délectablesquisefont par les nombres（2nd ed。）フランス、リヨン：Pierre Rigaud＆Associates。pp。18–33。
これらのページで、バシェは（方程式なしで）「命題XVIII。Deuxnombresは、複数のde chascun d’iceux、複数のde l’unité、複数のde l’autreを超えて、互いに素である」と証明しています。（互いに素な2つの数が与えられた場合、それぞれの最小の倍数を見つけます。一方の倍数が他方を1倍上回ります（1）。）この問題（つまり、ax-by = 1）は特殊なケースです。ベズーの方程式を解き、199ページ以降に現れる問題を解決するためにバシェによって使用されました。
^ 参照：
Maarten Bullynck。「CFガウスの前のモジュラー算術：18世紀のドイツの剰余問題に関する体系化と議論」（PDF）。ヒストリア数学。36（1）：48–72。土井：10.1016 /j.hm.2008.08.009。

外部リンク
ベズーのアイデンティティのためのオンライン計算機。
ワイスタイン、エリックW. 「ベズーのアイデンティティ」。MathWorld。”