B%C3%A9zout’s_theorem
は、平面曲線と、より一般的には代数超曲面の交点の数についてです。2つの数とそれらの最大公約数に関連するアイデンティティについては、ベズーのアイデンティティを参照してください
。剰余の定理については、LittleBézoutの定理を参照してください ベズーの定理は、n個の不定元におけるn個の多項式の共通の零点の数に関する代数幾何学のステートメントです。元の形式で定理は、と述べている一般的に共通のゼロの数の積に等しい度多項式のを。エティエンヌベゾーにちなんで名付けられました。
いくつかの基本的なテキストでは、ベズーの定理は、2つの変数のみの場合を指し、それを主張する、2かの平面代数曲線度の 1
{d_ {1}}
と 2
{d_ {2}}
共通のコンポーネントはありません、彼らは持っています 1 2
{d_ {1} d_ {2}}
交差点。多重度でカウントされ、無限遠点と複素座標の点が含まれます。
その近代的製剤中に、場合に、定理状態Nは、上の共通点の数であり、代数的閉体のN 射影超曲面によって定義された均質な多項式におけるN + 1つの不定元は、その後、Nはいずれかの無限大、または度の積に等しいです。多項式の。さらに、有限の場合はほとんど常に発生します。
2つの変数の場合、およびアフィン超曲面の場合、無限遠点の多重度と点がカウントされない場合、この定理は点数の上限のみを提供し、ほとんどの場合に到達します。この境界は、しばしばベズー境界と呼ばれます。
ベズーの定理は、中の基本であるコンピュータ代数と効果的な代数幾何学ほとんどの問題が持っていることを示すことによって、計算の複雑少なくとも変数の数が指数関数的です。したがって、これらの領域では、ベズーの境界で多項式である複雑さを持つアルゴリズムで、期待できる最高の複雑さが発生します。
コンテンツ
1 歴史
2 声明
2.1 平面曲線 2.2 一般的なケース
3 例（平面曲線）
3.1 2行 3.2 直線と曲線 3.3 2つの円錐曲線
4 多重度
5 証明
5.1 結果の（平面曲線）を使用する 5.2 U -resultantを使用する 5.3 理想の程度を使用して
6 も参照してください
7 ノート
8 参考文献
9 外部リンク
歴史
平面曲線の場合、ベズーの定理は、1687年に彼のプリンシピアの第1巻の補題28の証明で、アイザックニュートンによって本質的に述べられました。彼は、2つの曲線には、それらの次数の積によって与えられるいくつかの交点があると主張しています。
一般的な定理は、後に1779年に出版されたエティエンヌ・ベズーのThéorieジェネラルデ方程式algébriques。彼は方程式が「完全」であると仮定しました。これは現代の用語ではジェネリックに変換されます。生成的多項式では無限遠点がなく、すべての乗数が1に等しいため、ベズーの定式化は正しいですが、彼の証明は現代の厳密な要件に準拠し
これと交差点の多様性の概念が彼の時代の知識の外にあったという事実は、彼の証明が正しくなく、最初に与えられた証明でもないという一部の著者によって表明された感情につながりました。
多重性を含むステートメントの証明は、抽象代数と代数幾何学の導入により、20世紀以前には不可能でした。
声明
平面曲線
XとYが、共通成分を持たない体F上で定義された2つの平面射影曲線であると仮定します（この条件は、XとYが、共通の非定数多項式の倍数ではない多項式によって定義されることを意味します。特に、 「一般的な」曲線のペアに当てはまります）。次に、Fを含む代数的閉体Eの座標を持つXとYの交点の総数は、それらの多重度で数えられ、XとYの次数の積に等しくなります。
一般的なケース
高次元での一般化は次のように述べることができます。
ましょN 射影超曲面は、で与えられる射影空間の次元のNによって定義される代数的閉体、上にN 均質多項式におけるN度、+ 1つの変数 1 … 、。 {d_ {1}、 ldots、d_ {n}。}
次に、交点の数が無限であるか、多重度でカウントされた交点の数が積に等しくなります。 1
⋯。
{d_ {1} cdots d_ {n}。}
超曲面が既約であり、比較的一般的な位置にある場合、 1
⋯ {d_ {1} cdots d_ {n}}
交点、すべて多重度1。
この定理にはさまざまな証明があり、純粋に代数的な用語で表現されるか、言語または代数幾何学を使用します。3つの代数的証明を以下にスケッチします。
ベズーの定理は、いわゆるマルチホモジニアスベズーの定理として一般化されています。
例（平面曲線）編集
2行
方程式ラインにおけるユークリッド平面である線形それがゼロに等しい、すなわち、多項式の次数一方のを。したがって、2本の線のベズー境界は1です。これは、2本の線が1点で交差するか、交差しないことを意味します。後者の場合、線は平行で、無限遠点で交わります。
これは方程式で検証できます。最初の行の方程式は、傾き切片の形式で書くことができます y = + {y = sx + m}
または、射影座標で y = + {y = sx + mt}
（線が垂直の場合、xとyを交換できます）。2番目の線の方程式が（射影座標で）である場合 + y+ =
0 {ax + by + ct = 0、}
代用することにより + {sx + mt}
その中のyに（（ + ）。 +（（ + ）。 = 0。 { displaystyle（a + bs）x +（c + bm）t = 0。}
もしも + ≠
0 {a + bs neq 0、}
後者の方程式をxで解き、t = 1とすると、交点のx座標が得られます。
もしも + =
0 {a + bs = 0、}
あれは =
− / 、
{s = -a / b、}
2本の線は同じ傾きを持つように平行です。もしも ≠
− / 、
{m neq -c / b、}
それらは別個のものであり、置換された方程式はt = 0を与えます。これにより、射影座標（1、s、0）の無限遠点が得られます。
直線と曲線
上記のように、射影座標で直線の方程式を次のように書くことができます。 y = + 。
{y = sx + mt。}
曲線が同次多項式によって射影座標で定義されている場合 （（ 、 y 、 ）。
{p（x、y、t）}
次数nの場合、yを代入すると、xとtの次数nの同次多項式が得られます。代数の基本定理は、線形因子で因数分解できることを意味します。各係数は交点のx座標とt座標の比率を示し、係数の多重度は交点の多重度です。
場合tはと見られている無限大の座標、に等しい係数Tが無限遠交点を表します。
多項式pの少なくとも1つの部分導関数が交点でゼロでない場合、この点での曲線の接線が定義され（代数曲線§点での接線を参照）、交点の多重度は次の場合に1より大きくなります。線が曲線に接している場合のみ。すべての偏導関数がゼロの場合、交点は特異点であり、交点の多重度は少なくとも2です。
2つの円錐曲線
2つの円錐曲線は一般に4つの点で交差し、そのうちのいくつかは一致する場合がすべての交点を適切に説明するには、複素座標を許可し、射影平面の無限線上の点を含める必要がある場合が例えば：
ベズーの定理は4つを予測しますが、2つの円が平面内の2つ以上の点で交差することはありません。不一致は、すべての円が無限遠直線上の同じ2つの複素点を通過するという事実に起因します。サークルを書く（（ −
NS）。2 （（ y − NS）。2 2
{ displaystyle（xa）^ {2} +（yb）^ {2} = r ^ {2}}
同次座標、我々が得ます（（ − z）。2 （（ y
− z）。2 2 z2
0 { displaystyle（x-az）^ {2} +（y-bz）^ {2} -r ^ {2} z ^ {2} = 0、}