ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式

Baker%E2%80%93Campbell%E2%80%93Hausdorff_formula

数学、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフ式のためのソリューションであります Z {Z}
方程式にe e Y = e Z
{e ^ {X} e ^ {Y} = e ^ {Z}}
おそらくのため非可換 XとYにおけるリー代数のリー群。式を書くにはさまざまな方法がありますが、最終的には次の式が得られます。 Z {Z}
リー代数の用語で、つまり、形式的級数（必ずしも収束ではない）として {X}と Y {Y} そしてその交換子を繰り返した。このシリーズの最初のいくつかの用語は次のとおりです。 Z = + Y +1 2
[ 、Y ]+1 12
[ 、
[ 、Y ] ]
−1 12
[ Y [ 、Y ] ] +
⋯ {Z = X + Y + { frac {1} {2}} + { frac {1} {12}} [X、]-{ frac {1} {12}} [Y、] + cdots ，，}
どこ ” ⋯ { cdots}
“は、 {X}と Y {Y} 。もしも {X}と Y {Y} リー代数の十分に小さい要素です {{ mathfrak {g}}}
リー群の {G}
、級数は収束しています。一方、すべての要素 {g}
のアイデンティティに十分に近い {G}
次のように表すことができます =
e {g = e ^ {X}}
小さいため {X}
の {{ mathfrak {g}}}
。したがって、アイデンティティの近くで、群の乗算は {G}-次のように書かれています e Y=e Z
{e ^ {X} e ^ {Y} = e ^ {Z}}—純粋にリー代数の用語で表現できます。ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式を使用して、リー群とリー代数の対応における深い結果の比較的単純な証明を与えることができます。
もしも {X}と Y {Y} 十分に小さい ×× {n times n}
行列、次に Z {Z}
の対数として計算できます e Y
{e ^ {X} e ^ {Y}}
、ここで、指数と対数はべき級数として計算できます。ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式の要点は、非常に明白ではないという主張です。 Z ：=
ログ（（ e e Y ）。
{Z：= log left（e ^ {X} e ^ {Y} right）}
の繰り返し交換子のシリーズとして表現することができます {X}と Y
{Y} 公式の現代的な解説は、他の場所の中でも、ロスマンとホールの本で見つけることができます。

コンテンツ
1 歴史
2 明示的なフォーム
2.1 ディンキンの公式 2.2 積分式 2.3 マトリックスリー群イラスト 2.4 収束の質問
3 特殊なケース
4 存在結果
5 Zassenhausの公式
6 重要な補題とベイカー・キャンベル・ハウスドルフ式の特別な場合へのその応用
6.1 アイデンティティ 6.2 アイデンティティの適用
7 微小な場合
8 量子力学への応用
9 も参照してください
10 ノート
11 参考文献
12 参考文献
13 外部リンク

歴史
式は、にちなんで命名されたヘンリー・フレデリック・ベイカー、ジョン・エドワード・キャンベル、そしてフェリックスハウスドルフその定性的な形、すなわちのみと述べ整流子と整流子の整流子、際限が、解決策を表現するために必要とされているが。フォームの以前のステートメントは、1890年にフリードリヒシューアによって発表されました。ここでは、再帰的に定義された用語を使用して、収束べき級数が与えられます。この定性的な形式は、リー群とリー環の対応の比較的アクセス可能な証明や場の量子論など、最も重要なアプリケーションで使用されるものです。Schurに続いて、Campbell （1897）によって印刷されたことが記されています。精緻アンリ・ポアンカレ（1899）及びベーカー（1902）。幾何学的に体系化され、ハウスドルフ（1906）によってヤコビ恒等式にリンクされています。すべての数値係数を含む最初の実際の明示的な公式は、Eugene Dynkin（1947）によるものです。公式の歴史は、アキレスとボンフィグリオーリの記事とボンフィグリオーリとフルチの本に詳しく説明されています。

明示的なフォーム
多くの目的のために、 Z {Z}

  の反復交換子の観点から {X}

  と Y {Y}

 存在します。多くの場合、正確な係数は無関係です。（たとえば、Hallの本のセクション5.2 のリー群とリー代数準同型の関係の説明を参照してここでは、正確な係数は議論に影響を与えません。）非常に直接的な存在証明がMartinEichlerによって与えられました。、以下の「存在結果」セクションも参照して
他の場合には、についての詳細な情報が必要になる場合があります Z {Z}

  したがって、計算することが望ましい Z {Z}

 可能な限り明示的に。多数の公式が存在します。このセクションでは、2つの主要なもの（ディンキンの公式とポアンカレの積分公式）について説明します。

ディンキンの公式
してみましょうGは、リー代数とリー群も {{ mathfrak {g}}}

 。させて exp ： { exp：{ mathfrak {g}} to G}
  こと指数マップ。次の一般的な組み合わせ式は、Eugene Dynkin（1947）によって導入されました
ログ（（ exp exp Y ）。 = ∑ =1 ∞（（ − 1 ）。 −
1 ∑ 1+ 1
>> 0 ⋮ + >> 0 [ 1
Y 1 2 Y 2 ⋯Y NS]（（ ∑ =
1（（ NS+ NS）。
）。⋅ ∏
I = 1 私
！ 私
！ { log（ exp X exp Y）= sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {（-1）^ {n-1}} {n}} sum _ { begin {smallmatrix} r_ {1} + s_ {1}> 0 \ vdots \ r_ {n} + s_ {n}> 0 end {smallmatrix}} { frac {[X ^ {r_ {1 }} Y ^ {s_ {1}} X ^ {r_ {2}} Y ^ {s_ {2}} dotsm X ^ {r_ {n}} Y ^ {s_ {n}}]} { left（ sum _ {j = 1} ^ {n}（r_ {j} + s_ {j}） right） cdot prod _ {i = 1} ^ {n} r_ {i}！s_ {i}！ }}、}
0\vdots \r_{n}+s_{n}>0end{smallmatrix}}{frac {[X^{r_{1}}Y^{s_{1}}X^{r_{2}}Y^{s_{2}}dotsm X^{r_{n}}Y^{s_{n}}]}{left(sum _{j=1}^{n}(r_{j}+s_{j})right)cdot prod _{i=1}^{n}r_{i}!s_{i}!}}，}””>   ここで、合計はのすべての非負の値に対して実行されます 私
{s_ {i}}

  と 私
{r_ {i}}

 、および次の表記が使用されています。
[ 1 Y 1 ⋯Y NS] = [ 、
[ 、 ⋯ [ ⏟ 1 [ Y [ Y ⋯ [ Y ⏟ 1 ⋯
[ 、
[ 、 ⋯ [ ⏟、
[ Y [ Y ⋯ Y ⏟ NS]] ⋯ ]
] {[X ^ {r_ {1}} Y ^ {s_ {1}} dotsm X ^ {r_ {n}} Y ^ {s_ {n}}] = [ underbrace {X、[X、 dotm [X} _ {r_ {1}}、[ underbrace {Y、[Y、 dotsm [Y} _ {s_ {1}}、、 dotsm 、[ underbrace {X、[X、 dotm [X} _ {r_ {n}}、[ underbrace {Y、[Y、 dotsm Y} _ {s_ {n}}]] dotsm]]。}
  級数は一般に収束しそれはすべての十分に小さいものに対して収束します（そして述べられた式は有効です） {X}

  と Y {Y}

 。ので = 0、この用語はゼロであるなら>> 1 {s_ {n}> 1}
1″”>
  または= 0 {s_ {n} = 0}

  と>> 1 {r_ {n}> 1}
1″”>
 。
最初のいくつかの項はよく知られており、すべての高階項にはとその整流子の入れ子が含まれます（したがって、リー代数）。 Z （（ 、 Y ）。 = ログ（（ exp exp Y ）。= + Y +1 2
[ 、Y ]+1 12（（ [ 、
[ 、Y ] ] +
[ Y [ Y 、 ] ]）。
−1 24
[ Y [ 、
[ 、Y ] ] ]
−1 720（（ [ Y [ Y [ Y [ Y
、 ]] ] ] + [ 、 [ 、 [ 、
[ 、Y ] ] ]
]）。+1 360（（ [ 、
[ Y [ Y [ Y
、 ]] ] ] +
[ Y [ 、
[ 、
[ 、Y ] ] ]
]）。+1 120（（ [ Y [ 、
[ Y [ 、Y ] ] ] ] +
[ 、
[ Y [ 、 [ Y 、 ]] ]
]）。+ ⋯
{{ begin {aligned} Z（X、Y）＆= log（ exp X exp Y）\＆{} = X + Y + { frac {1} {2}} + { frac {1} {12}} left（ right）\＆{} quad-{ frac {1 } {24}} ] \＆{} quad-{ frac {1} {720}} left（[Y、]] + [X、[X、 right）\＆{} quad + { frac {1} {360}} left（[X 、[Y、 + [Y、[X、 right）\＆{} quad + { frac {1} {120}} left（[Y、[X、 + [X、[Y、 right）+ cdots end {整列}}}

上記は、5次以下のすべての被加数（つまり、5つ以下のXとYを含む被加数）を示しています。X ↔ Y（抗- ）展開の次数を交互に/対称性は、以下からZ（Y、X – ）= Z（ – X – Y）。この公式の完全な初等的証明はここに

積分式
他にもたくさんの表現があります Z {Z}

 、その多くは物理学の文献で使用されています。 一般的な積分公式は です。
ログ（（ e e Y ）。= +（（ ∫0 1 （（ e
広告 e 広告 Y ）。 ）。
Y { log left（e ^ {X} e ^ {Y} right）= X + left（ int _ {0} ^ {1} psi left（e ^ { operatorname {ad} _ {X}} 〜e ^ {t operatorname {ad} _ {Y}} right）dt right）Y、}
  ベルヌーイ数の母関数を含む、 ψ （（ ）。= def
  ログ−1 = 1 −
∑ =1 ∞（（ 1
− ）。（（ + 1 ）。 { psi（x）〜{ stackrel { text {def}} {=}}〜{ frac {x log x} {x-1}} = 1- sum _ {n = 1} ^ { infty} {（1-x）^ {n} over n（n + 1）}〜、}
  ポアンカレとハウスドルフによって利用されました。

マトリックスリー群イラスト
行列リー群の場合 ⊂ GL （（ 、 ）。
{G subset { mbox {GL}}（n、 mathbb {R}）}

 リー代数は、接線空間同一のI、及び整流子は単純である = XY  –  YX。指数写像は、行列の標準的な指数写像です。
exp =
e =
∑ = 0 ∞！ { exp X = e ^ {X} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {X ^ {n}} {n！}}。}
  でZを解くときe Z = e e
Y {e ^ {Z} = e ^ {X} e ^ {Y}、}
  expとlogの級数展開を使用すると、より簡単な式が得られます。Z =
∑ >> 0 （（ − 1 ）。 − 1 ∑ 1≤ I ≤ 私+ 私
0 1 Y 1 Y1
！ 1 ！ ⋯ ！ ！ ‖ ‖+ ‖ Y ‖ ログ
2 ‖Z ‖ ログ
2.2。
{Z = sum _ {n> 0} { frac {（-1）^ {n-1}} {n}} sum _ { stackrel {r_ {i} + s_ {i}> 0 } {1 leq i leq n}} { frac {X ^ {r_ {1}} Y ^ {s_ {1}} cdots X ^ {r_ {n}} Y ^ {s_ {n}}} {r_ {1}！s_ {1}！ cdots r_ {n}！s_ {n}！}}、 quad | X | + | Y | 0}{frac {(-1)^{n-1}}{n}}sum _{stackrel {r_{i}+s_{i}>0}{1leq ileq n}}{frac {X^{r_{1}}Y^{s_{1}}cdots X^{r_{n}}Y^{s_{n}}}{r_{1}!s_{1}!cdots r_{n}!s_{n}!}}，quad |X|+|Y|   1次、2次、3次、および4次の用語は次のとおりです。z 1= + Y {z_ {1} = X + Y}

 z 2=1 2（（ Y − Y ）。
{z_ {2} = { frac {1} {2}}（XY-YX）}

 z 3=1 12（（ 2 Y +Y2
2 Y + Y 2 +
Y 2 2 Y Y ）。
{z_ {3} = { frac {1} {12}} left（X ^ {2} Y + XY ^ {2} -2XYX + Y ^ {2} X + YX ^ {2} -2YXY 右）}

 z 4=1 24（（ 2 Y2 2 Y Y− Y
2 2 2
Y Y ）。 {z_ {4} = { frac {1} {24}} left（X ^ {2} Y ^ {2} -2XYXY-Y ^ {2} X ^ {2} + 2YXYX right）。 }
  さまざまな式
z {z_ {j}}

 はベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式ではありません。むしろ、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式は、次のさまざまな表現の1つです。
z {z_ {j}}

 の繰り返し交換子の観点から {X}

  と Y {Y}

 。ポイントは、それぞれを表現できることは明らかではないということです
z {z_ {j}}

 交換子の観点から。（たとえば、読者は直接計算によって次のことを確認するように求められます。z 3
{z_ {3}}

  の2つの自明でない3次交換子の線形結合として表現できます。 {X}

  と Y {Y}

 、すなわち
[ 、
[ 、Y ] ]
{[X、]}

  と
[ Y [ 、Y ] ]
{[Y、]}

 。）それぞれの一般的な結果
z {z_ {j}}

 交換子の組み合わせがアイヒラーによってエレガントで再帰的な方法で示されたので、は表現可能です。
Baker–Campbell–Hausdorffの式の結果は、トレースに関する次の結果です。 tr ログ（（ e e Y ）。 = tr + tr Y { operatorname {tr} log left（e ^ {X} e ^ {Y} right）= operatorname {tr} X + operatorname {tr} Y.}
  つまり、それぞれが
z {z_ {j}}

  と ≥ 2 {j geq 2}

  は交換子の線形結合として表現でき、そのような各項のトレースはゼロです。

収束の質問
仮定する {X}

  と Y {Y}

  リー代数の次の行列は l （ 2 ; ）。
{{ mathfrak {sl}}（2; mathbb {C}）}

  （のスペース 2 ×× 2 {2 times 2}

  トレースゼロの行列）： =（（ 0 − π
）。; Y =（（ 01 0 0 ）。 {X = { begin {pmatrix} 0＆- pi \ pi＆0 end {pmatrix}}; quad Y = { begin {pmatrix} 0＆1 \ 0＆0 end {pmatrix}}}

 。
それでe e Y =（（ −1 0 0− 1 ）。 （（ 11 0 1
）。 = （（ − 1 −1 0− 1
）。 {e ^ {X} e ^ {Y} = { begin {pmatrix} -1＆0 \ 0＆-1 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} 1＆1 \ 0＆1 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1＆-1 \ 0＆-1 end {pmatrix}}。}
  その場合、行列が存在しないことを示すことは難しくありません Z {Z}

  の sl （（ 2
; ）。
{ operatorname {sl}（2; mathbb {C}）}

  と e Y=e Z
{e ^ {X} e ^ {Y} = e ^ {Z}}

 。（同様の例がWeiの記事に）
この簡単な例は、XとYの反復リーブラケットの観点からZの式を与えるベイカー-キャンベル-ハウスドルフ式のさまざまなバージョンが、収束が保証されていない形式的べき級数を記述していることを示しています。したがって、Zを（形式的べき級数ではなく）XとYを含むリー代数の実際の要素にしたい場合は、XとYが小さいと想定する必要がしたがって、リー群での積演算がリー代数によって決定されるという結論は、ローカルステートメントにすぎません。実際、結果をグローバルにすることはできません。グローバルに、同型リー代数を持つ非同型リー群を持つことができるからです。
具体的には、行列リー代数と‖ ⋅ ‖
{ | cdot |}

 与えられsubmultiplicative行列ノルムを、収束が保証されている もし
‖ ‖ + ‖ Y ‖ 2 { | X | + | Y |
 

特殊なケース
もしも {X}

  と Y {Y}

  通勤、つまり
[ 、Y ] = 0
{ = 0}

 、ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの式は次のようになります。 e Y = e + Y {e ^ {X} e ^ {Y} = e ^ {X + Y}}

 。
別のケースでは、
[ 、Y ] {}
  両方で通勤 {X}

  と Y {Y}

 、冪零 ハイゼンベルク群については。次に、式は最初の3つの項になります。
定理：もし {X}

  と Y {Y}

  彼らの整流子と通勤し、
[ 、
[ 、Y ] ] =
[ Y [ 、Y ] ] = 0
{ = 0}

 、 それから e Y = e + Y +1 2
[ 、Y ]
{e ^ {X} e ^ {Y} = e ^ {X + Y + { frac {1} {2}} }}

 。
これは、以下に示すように、量子力学で日常的に使用される縮退したケースです。この場合、小ささの制限はありません {X}

  と Y {Y}

 。この結果は、ストーン・フォン・ノイマンの定理に入る「指数交換関係」の背後にこのアイデンティティの簡単な証拠を以下に示します。
一般式のもう1つの便利な形式は、Yに関する展開を強調し、随伴写像表記を使用します。
広告 （（ Y
）。 = [ 、Y ]
{ operatorname {ad} _ {X}（Y）= }
 ： ログ（（ exp exp Y ）。= +
広告 1− e −
広告 Y + O（（ Y 2 ）。= +
広告/ 2 （（ 1 + コス
広告/ 2 ）。Y + O（（ Y 2 ）。 { log（ exp X exp Y）= X + { frac { operatorname {ad} _ {X}} {1-e ^ {- operatorname {ad} _ {X}}}} 〜Y + O left（Y ^ {2} right）= X + operatorname {ad} _ {X / 2}（1+ coth operatorname {ad} _ {X / 2}）〜Y + O left（ Y ^ {2} right）、}
  これは、上記の積分式から明らかです。（単一のネストされた交換子の係数 Y {Y}

  正規化されたベルヌーイ数です。）
ここで、整流子がの倍数であると仮定します Y {Y}

 、 となることによって
[ 、Y ]= Y
{ = sY}

 。その後、すべての反復交換子はの倍数になります Y {Y}

 、および2次以上の項はありません Y {Y}

 現れる。したがって、 O （（ Y 2 ）。
{O left（Y ^ {2} right）}

  上記の用語が消えて、次のようになります。
定理：もし
[ 、Y ]= Y
{ = sY}

 、 どこ {s}

  との複素数です ≠2 π
I {s neq 2 pi in}

  すべての整数に対して {n}

 、それから私達は持っていますe e Y = exp（（ + 1− e
− Y
）。 {e ^ {X} e ^ {Y} = exp left（X + { frac {s} {1-e ^ {-s}}} Y right）}
  繰り返しますが、この場合、小ささの制限はありません {X}

  と Y {Y}

 。の制限 {s}

 右側の式が理にかなっていることを保証します。（いつ = 0 {s = 0}

  私たちは解釈するかもしれませんリム 0 /（（ 1− e −
NS）。= 1
{ textstyle lim _ {s to 0} s /（1-e ^ {-s}）= 1}

 。）単純な「編組アイデンティティ」も取得します。e e Y = e exp（（ ）。 Y e 、
{e ^ {X} e ^ {Y} = e ^ { exp（s）Y} e ^ {X}、}
  これは随伴膨張として書くことができます：e e Y e
− =e exp（（ ）。
Y {e ^ {X} e ^ {Y} e ^ {-X} = e ^ { exp（s）、Y}。}

 

存在結果
もしも {X}

  と Y {Y}

  行列であり、計算することができます Z ：=
ログ（（ e e Y ）。
{Z：= log left（e ^ {X} e ^ {Y} right）}

  指数と対数にべき級数を使用し、次の場合に級数を収束します。 {X}

  と Y {Y}

 十分に小さいです。総学位が {X}

  と Y {Y}

  固定数に等しい k {k}

 、表現を与える
z k {z_ {k}}

 。（最初のいくつかの式については、上記の「行列リー群の図」のセクションを参照してz k
{z_ {k}}

 ‘s。）非常に直接的で簡潔な、それぞれが
z k {z_ {k}}

  の繰り返し交換子の観点から表現可能です {X}

  と Y {Y}

 マルティンアイヒラーによって与えられました。
あるいは、次のように存在引数を与えることができます。ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの公式は、XとYがいくつかのリー代数にある場合を意味します、
{{ mathfrak {g}}、}