Balance_puzzle
数字の付い
た世界パズル選手権のパズルについては
、バランス（パズル）を参照してください
「バランスパズル」
バランスパズル又はパズルを計量があるロジックパズルバランススケールを限られた回数を使用して、異なる値を保持するかを決定するためにコイン・アイテム-しばしばをバランス約。これらは、これらのアイテムの相対質量のみが関係するという点で、アイテムに重みを割り当てるパズルとは異なります。
10枚のコインが関係する偽のコインの問題の解決策のアニメーション。この例では、偽のコインは他のコインよりも軽いです。
既知 ゴール n個の計量の最大コイン
cコインの計量数
ターゲットコインが他のコインより軽いか重いか コインを特定する
3{3 ^ {n}} ⌈ ログ 3 （（ ）。 ⌉ { lceil log _ {3}（c） rceil}
対象コインが他と違う コインを特定する
3−1 2
{{ frac {3 ^ {n} -1} {2}}} ⌈ ログ 3 （（ 2 + 1 ）。 ⌉ { lceil log _ {3}（2c + 1） rceil}
対象のコインが他のコインと異なる、またはすべてのコインが同じ ユニークなコインが存在するかどうか、そしてそれが軽いか重いかを特定します
3−1 2 1
{{ frac {3 ^ {n} -1} {2}}-1} ⌈ ログ 3 （（ 2 + 3 ）。 ⌉ { lceil log _ {3}（2c + 3） rceil}
たとえば、3つの計量（n = 3）で異なるコインを検出する場合、分析できるコインの最大数は次のとおりです。 3 3 − 1/2= 13. 3つの重さと13のコインでは、最後のコインのID（他のコインより重いか軽いか）を常に判断できるとは限りませんが、単にコインが異なることに注意して一般に、nの重さで、あなたが持っている場合、あなたはコインのアイデンティティを決定することができます
3 n − 1/2-1枚以下のコイン。n = 3の場合、12枚のコインの中から別のコインの正体を本当に見つけることができます。
コンテンツ
1 ナインコインの問題
1.1 解決
2 12コインの問題
2.1 解決
3 バリエーション
3.1 参照コイン付き 3.2 参照コインなし
4 一般化
5 オリジナルの平行計量パズル
6 文学では
7 テレビで
8 参考文献
9 外部リンク
ナインコインの問題
2回の計量で9枚のコインのバランスパズルの解決策。奇数のコインが他のコインよりも軽い場合–奇数のコインが他のコインよりも重い場合、各計量決定の上位2つのブランチが交換されます。
よく知られている例では、最大9つのアイテム、たとえばコイン（またはボール）がこれらのアイテムは、他のアイテムよりも軽い1つ（偽造品（奇数ボール））を除いて同じ重量です。違いのみでそれらを秤量することによって知覚スケール-ブタ自体が計量することができる唯一のコイン。たった2回の計量で偽造コインをどのように分離できますか？
解決
解決策を見つけるために、最初に、1回の計量で軽いものを見つけることができるアイテムの最大数を検討します。可能な最大数は3つです。軽い方を見つけるために、3枚目を除いて任意の2枚のコインを比較できます。2つのコインの重さが同じである場合、軽いコインはバランスが取れていないコインの1つである必要がそれ以外の場合は、天びんによって軽いと示されているものです。
ここで、それぞれ3枚のコインの3つのスタックにある9枚のコインを想像してみて1回の移動で、3つのスタックのどれが軽いか（つまり、軽いコインが含まれているスタック）を見つけることができます。次に、その軽いスタック内から軽いコインを識別するために、あと1回の移動が必要です。したがって、2回の計量で、3×3 = 9のセットから1つのライトコインを見つけることができます。
ひいては、27枚のコインの中から奇数の軽いコインを見つけるのに3回の計量が必要であり、81枚のコインからそれを見つけるのに4回の計量が必要です。
12コインの問題
より複雑なバージョンには12枚のコインがあり、そのうち11枚または12枚は同一です。一つ違うと、他より重いのか軽いのかわかりません。今回は、天びんを3回使用して、固有のコインがあるかどうかを判断し、ある場合は、それを分離して、他のコインとの相対的な重量を判断します。（このパズルとその解決策は、1945年の記事に最初に登場しました。）この問題には、2回の計量で3枚のコインを使用する単純な変形と、4回の計量で39枚の硬貨を使用するより複雑な変形が
解決
この問題には複数の解決策が一つは、使用してコインのより高い数に容易に拡張可能であるベース三番号：ベース3に3桁数の異なる各コインを標識し、そしてで位置決めN番目の秤量で標識されているすべての硬貨のn番目プレートのラベルと同じ数字（3つのプレートがあり、1つはスケールの両側にあり、もう1つはスケールから外れています）。その他のステップバイステップの手順は、次のとおりです。この問題はそれほど単純ではなく、2番目と3番目の重み付けは、以前に何が起こったかによって異なりますが、そうである必要はありません（以下を参照）。
両面に4枚のコインが置かれています。2つの可能性があります：
1.片方がもう片方より重い。この場合、重い側から3枚のコインを取り除き、軽い側から重い側に3枚のコインを移動し、最初に計量しなかった3枚のコインを軽い側に置きます。（どのコインがどれであるかを覚えておいて）3つの可能性があります：
1.a）最初に重かった同じ側はまだ重いです。これは、そこにとどまったコインが重いか、明るい側にとどまったコインが軽いことを意味します。これらの1つを他の10枚のコインのいずれかとバランスをとると、これらのどれが正しいかが明らかになり、パズルが解かれます。
1.b）1回目が重かった側が、2回目は軽くなります。これは、軽い側から重い側に移動した3つのコインの1つが軽いコインであることを意味します。3回目の試行では、これらのコインのうち2つを互いに計量します。1つが軽い場合、それは固有のコインです。バランスが取れていれば、3枚目のコインは軽いコインです。
1.c）両側が均一です。これは、重い側から取り出された3つのコインの1つが重いコインであることを意味します。3回目の試行では、これらのコインのうち2つを互いに計量します。1つが重い場合、それは固有のコインです。それらのバランスが取れている場合、3番目のコインは重いものです。
2.両側が均一です。この場合、8枚のコインはすべて同一であり、取っておくこともできます。残りの4枚のコインを取り、天びんの片側に3枚置きます。8枚の同じコインのうち3枚を反対側に置きます。3つの可能性があります：
2.a）残りの3枚のコインは軽いです。この場合、これら3つのコインの1つが奇数であり、より軽いことがわかります。それらの3つのコインのうちの2つを取り、それらを互いに計量します。バランスが崩れると、軽いコインは奇妙なものになります。2つのコインのバランスが取れている場合、バランスが取れていない3番目のコインは奇数であり、より軽いです。
2.b）残りの3枚のコインは重いです。この場合、これら3つのコインの1つが奇数であり、より重いことがわかります。それらの3つのコインのうちの2つを取り、それらを互いに計量します。バランスが崩れると、重いコインは奇妙なものになります。2つのコインのバランスが取れている場合、バランスが取れていない3番目のコインは奇数であり、重くなります。
2.c）残りの3枚のコインのバランス。この場合、残りのコインを他の11枚のコインと比較するだけで、重いか軽いか、同じかがわかります。
バリエーション
13枚のコインのうち1枚が残りのコインとは異なる（質量）ことがわかっている13枚のコインの母集団を考えると、次のようにバランスと3つのテストでどのコインであるかを簡単に判断できます。
1）コインを4枚のコインからなる2つのグループと、残りの5枚のコインからなる3番目のグループに分割します。
2）テスト1、4枚のコインの2つのグループを互いにテストします。
NS。コインのバランスが取れている場合、奇数のコインは5の母集団にあり、テスト2aに進みます。
NS。奇数コインは8コインの人口の中にあり、12コインの問題と同じように進みます。
3）8コインの母集団からの任意の3コインに対して、5コインのグループからのコインのテスト2a、テスト3：
NS。3枚のコインのバランスが取れている場合、奇数のコインは残りの2枚のコインの中に2つのコインのうちの1つを他のコインに対してテストします。バランスが取れている場合、奇数コインは最後のテストされていないコインであり、バランスが取れていない場合、奇数コインは現在のテストコインです。
NS。3枚のコインのバランスが取れていない場合、奇数のコインはこの3枚のコインの母集団からのものです。バランススイングの方向に注意してください（上は奇数のコインが軽いことを意味し、下は重いことを意味します）。3枚のコインの1つを取り除き、もう1枚を天びんの反対側に移動します（他のすべてのコインを天びんから取り除きます）。残高が均等になった場合、奇数のコインは取り外されたコインです。天びんが方向を変えた場合、奇数コインは反対側に移動したコインです。それ以外の場合、奇数コインは所定の位置に残ったコインです。
参照コイン付き
参照用の本物のコインが1つある場合、疑わしいコインは13になる可能性が1から13までのコインと本物のコイン番号0に番号を付け、これらの計量を任意の順序で実行します。
0、1、4、5、6対7、10、11、12、13
0、2、4、10、11対5、8、9、12、13
6、7、9、11、13に対して0、3、8、10、12
スケールのバランスが1回だけずれている場合は、コイン1、2、3のいずれかである必要がこれは1回の計量でのみ表示されます。バランスが取れていない場合は、すべての計量に表示されるコイン10〜13のいずれかである必要がすべての計量のバランスが取れている場合を除いて、27の結果のそれぞれに対応する1つの偽造コインを選ぶことは常に可能です（13のコインが重すぎるか軽すぎるのは26の可能性です）。正しい）。コイン0と13がこれらの計量から削除された場合、それらは12コインの問題に対する1つの一般的な解決策を提供します。
2つのコインが偽造品である場合、この手順では、一般に、これらのいずれかを選択するのではなく、本物のコインを選択します。たとえば、コイン1と2の両方が偽造品である場合、コイン4または5のいずれかが誤って選択されます。
参照コインなし
このパズルのリラックスしたバリエーションでは、偽造コインを見つけるだけでよく、必ずしも他のコインとの相対的な重さを知ることはできません。この場合、明らかに、以前にある時点ですべてのコインの重さを量ったソリューションは、1つの余分なコインを処理するように適合させることができます。このコインは決してはかりに載せられませんが、すべての計量のバランスが取れていれば、偽造コインとして選ばれます。ある時点ではかりに置かれ、偽造コインとして選ばれたコインは、常に他のコインと比較して重みを割り当てることができるため、これ以上のことはできません。
結果に関係なく同じコインのセットを計量する方法では、どちらかが可能になります（12枚のコインALの中で）それらがすべて同じ重さであるかどうかを結論付けるか、奇数のコインを見つけてそれが軽いか重いかを判断します。（午前13枚のコインの中から）奇数のコインを見つけ、そのうちの12枚について、それが軽いか重いかを判断します。
各計量の3つの可能な結果は、左側が軽い場合は「」、右側が軽い場合は「/」、同じ重量の両側が「-」で表すことができます。計量の記号は順番に記載されています。たとえば、「//-」は、1回目と2回目の計量で右側が軽くなり、3回目の計量で両側が同じ重量になることを意味します。3つの計量により、次の3 3 = 27の結果が得られます。「—」を除いて、セットは、右側の各セットに「/」があり、左側のセットに「」があるように分割されています。その逆も同様です。
/// \\ // / \/ / / // \ / /-/ — /-/ /- -/\-//–\-//- /-//—/—/—-
左側のコインの数が右側のコインの数と等しい場合にのみ、各計量で意味のある結果が得られるため、最初の行は無視して、各列の「」記号と「/」記号の数を同じにします。 （それぞれ4つ）。行にはラベルが付けられており、コインの順序は関係ありません。
//軽い/ \重い/ / B軽い / B重い// Cライト\ / Cヘビー /-Dライト/ -Dヘビー- / E軽い-/ E重い/- F軽い-/ F重い\-Gライト//-Gヘビー-\ Hライト-// Hヘビー-私は軽い/-/私は重い/ -Jライト -Jヘビー-/-Kライト–Kヘビー-/ Lライト- Lヘビー— Mは軽いか重いか（13コインの場合）、 またはすべてのコインの重さは同じです（12コインの場合）
上記の結果のパターンを使用して、各計量のコインの構成を決定できます。たとえば、「 / -Dライト」のセットは、コインDが最初の計量では左側にあり（その側を軽くするため）、2番目の計量では右側にあり、3番目の計量では未使用でなければならないことを意味します。
1回目の計量：左側：ADGI、右側：BCFJ2回目の計量：左側：BEGH、右側：ACDK3回目の計量：左側：CFHI、右側：ABEL
次に、結果がテーブルから読み取られます。たとえば、最初の2つの計量で右側が軽く、3番目の計量で両側が同じである場合、対応するコード「//-G重い」は、コインGが奇数であり、他のコインよりも重いことを意味します。 。
一般化
この問題の一般化については、Chudnovで説明されています。
させて { mathbb {R} ^ {n}}
である {n}
-次元ユークリッド空間、
[ e1 e 2]
{[ mathrm {e} ^ {1}、 mathrm {e} ^ {2}]}
なるベクトルの内積e 1
{ mathrm {e} ^ {1}}
とe 2
{ mathrm {e} ^ {2}}
から、
{ mathbb {R} ^ {n}、}