Balanced_matrix
数学、平衡行列は0-1であるマトリックス任意含まれていない（すべてのエントリは、ゼロまたは1である行列）正方部分行列のすべての行の合計とすべての列の合計が2に等しい有する奇数次のを。
均衡行列は線形計画法で研究されます。均衡行列の重要性は、係数行列が均衡であり、その右辺またはその目的ベクトルがすべて1のベクトルである場合、線形計画問題の解が積分であるという事実に由来します。 特に、この種の線形計画法の積分解を検索する場合、整数線形計画法を明示的に解く必要はありませんが、線形計画法自体の最適な頂点解を見つけるだけで十分です。。
例として、次の行列は平衡行列です。
[ 11 1 1 1 1 0 0 1 0 10 11 12 130 1 ] {{ begin {bmatrix} 1＆1＆1＆1 \ 1＆1＆0＆0 \ 1＆0＆1＆0 \ 1＆0＆0＆1 \ end {bmatrix}}}
禁止された部分行列による特性評価
定義と同等に、0-1行列は、奇数サイクル（奇数次のサイクルグラフ）の接続行列である部分行列が含まれていない場合にのみバランスが取られます。
したがって、バランスが取れていない3 x 3の0-1行列は、（行と列の順列まで）次の3次の閉路グラフの接続行列だけです。 3 = [ 10 1 1 1 0 0 1 1 ] {C_ {3} = { begin {bmatrix} 1＆0＆1 \ 1＆1＆0 \ 0＆1＆1 \ end {bmatrix}}}
次の行列は、5次の閉路グラフの接続行列です。 5 = [ 10 0 0 1 1 1 0 0 0 00 01 02 030 0 0 1 1 0 0 0 0 00 01 ] {C_ {5} = { begin {bmatrix} 1＆0＆0＆0＆1 \ 1＆1＆0＆0＆0 \ 0＆1＆1＆0＆0 \ 0＆0＆1＆1＆0 \ 0＆0＆0＆1＆1 \ end {bmatrix}}}
上記の特性は、 3
{C_ {3}}
また 5
{C_ {5}}
（または他の奇数サイクルの接続行列）は、部分行列として、バランスが取れ
次の行列は、5次の閉路グラフの接続行列です。 5 = [ 10 0 0 1 1 1 0 0 0 00 01 02 030 0 0 1 1 0 0 0 0 00 01 ] {C_ {5} = { begin {bmatrix} 1＆0＆0＆0＆1 \ 1＆1＆0＆0＆0 \ 0＆1＆1＆0＆0 \ 0＆0＆1＆1＆0 \ 0＆0＆0＆1＆1 \ end {bmatrix}}}他のマトリックスクラスへの接続
すべての均衡行列は完全な行列です。
均衡行列の概念よりも制限的なのは、完全均衡行列の概念です。0-1行列は、繰り返し列がなく、すべての行の合計とすべての列の合計が2に等しい正方形の部分行列が含まれていない場合、完全平衡と呼ばれます。同様に、行列に完全平衡が含まれているのは、部分行列が含まれていない場合のみです。これは、任意のサイクルの発生率行列です（奇数または偶数の順序に関係なく）。この特性は、完全にバランスの取れたマトリックスがバランスされていることを即座に意味します。
さらに、完全にユニモジュラである0-1行列もバランスが取れています。次の行列は、奇数サイクルの接続行列である部分行列を含まないため、平衡行列です。
[ 11 1 1 1 1 0 0 1 0 10 11 12 130 1 ] {{ begin {bmatrix} 1＆1＆1＆1 \ 1＆1＆0＆0 \ 1＆0＆1＆0 \ 1＆0＆0＆1 \ end {bmatrix}}}
この行列は完全にユニモジュラではないため（行列式は-2）、0-1の完全ユニモジュラ行列は均衡行列の適切なサブセットです。
たとえば、均衡行列は、集合の分割問題の特別な場合の係数行列として発生します。
いくつかのバランスの取れた行列を識別する別の方法は、サブシーケンスカウントを使用することです。ここで、マトリックスAの任意の行のサブシーケンスカウントSCは次のとおりです。
SC = | {
t | [a
sj = 1、 a ij = 0 for
s <
i < 、 a
tj = 1]、
j = 1、…、
n } |
0-1行列Aがすべての行s = 1、…、mに対してSC（s）≤1で ある場合、Aは一意のサブシーケンスを持ち、完全にユニモジュラであるため、バランスも取れています。この条件は十分ですが、Aのバランスを取るために必要ではないことに注意して言い換えると、すべての行s = 1、…、 mに対してSC（s）≤1の0-1行列は、均衡行列のセットの適切なサブセットです。
より一般的な概念として、すべてのエントリが0、1、または-1のいずれかである行列は、行と列ごとに2つの非ゼロエントリを持つすべてのサブマトリックスで、エントリの合計が4の倍数である場合に平衡と呼ばれます。
参考文献
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^ ライアン、DM; フォークナー、JC（1988）。「集合の分割モデルのスケジューリングの整数特性について」。オペレーションズリサーチのヨーロッパジャーナル。35（3）：442–456。土井：10.1016 / 0377-2217（88）90233-0。
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ふりかえりとチュートリアル。
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