Balanced_polygamma_function
数学では、一般ポリガンマ関数または平衡negapolygamma機能はオリビエエスピノサAldunateによって導入関数であるビクターH. Mollの。
ポリガンマ関数を負の次数と分数の次数に一般化しますが、整数の正の次数の場合は同じままです。
コンテンツ
1 意味
2 関係
3 特別な値
4 参考文献
意味
一般化されたポリガンマ関数は次のように定義されます。 ψ （（ z
、 ）。= ζ ′ （（ z+ 1
、 ）。 + （（ ψ（（ − z ）。+ γ
）。 ζ （（ z+ 1
、 ）。 Γ （（ − z ）。
{ psi（z、q）= { frac { zeta ‘（z + 1、q）+ { bigl（} psi（-z）+ gamma { bigr）} zeta（z + 1、q）} {ガンマ（-z）}}}
または代わりに、 ψ （（ z
、 ）。 = e − γ z ∂ ∂ z （（ e
γ （（ z+ 1
、 ）。 Γ （（ − z ）。
）。 { psi（z、q）= e ^ {- gamma z} { frac { partial} { partial z}} left（e ^ { gamma z} { frac { zeta（z + 1、q）} {ガンマ（-z）}} right）、}
ここで、ψ（z）はポリガンマ関数であり、ζ（z、q）はフルヴィッツのゼータ関数です。
機能はバランスが取れており、条件を満たすという点で （（ 0 ）。 = （（ 1
）。と ∫ 0 1 （（ ）。 = 0 {f（0）= f（1） quad { text {and}} quad int _ {0} ^ {1} f（x）、dx = 0}
。
または代わりに、 ψ （（ z 関係
いくつかの特別な関数は、一般化されたポリガンマ関数の観点から表現できます。 ψ （（ ）。= ψ （ 0 、 ）。 ψ （（ ）。（（ ）。= ψ（（ 、 ）。 ∈ Γ（（ ）。= exp（（ ψ（（ − 1 、 ）。+1 2ln 2 π
）。 ζ （（ z
、 ）。= Γ（（ 1− z
）。ln 2（（ 2− z ψ（（ z− 1
、 +1 2
）。 2− z ψ（（ z− 1
、 2 ）。 − ψ （（ z− 1
、 ）。
）。ζ ′（（ − 1 、 ）。= ψ（（ − 2 、 ）。+ 2 2 − 2+ 1
12 （（ ）。= − Γ （（ + 1 ）。ln 2（（ 2 −1 ψ（（ − 、 +1 2
）。 + 2 −1 ψ（（ − 、 2 ）。 − ψ （（ − 、 ）。 ）。 {{ begin {aligned} psi（x）＆= psi（0、x）\ psi ^ {（n）}（x）＆= psi（n、x） qquad n in mathbb {N} \ガンマ（x）＆= exp left（ psi（-1、x）+ { tfrac {1} {2}} ln 2 pi right）\ zeta （z、q）＆= { frac { Gamma（1-z）} { ln 2}} left（2 ^ {-z} psi left（z-1、{ frac {q + 1 } {2}} right）+ 2 ^ {-z} psi left（z-1、{ frac {q} {2}} right）- psi（z-1、q） right） \ zeta ‘（-1、x）＆= psi（-2、x）+ { frac {x ^ {2}} {2}}-{ frac {x} {2}} + { frac {1} {12}} \ B_ {n}（q）＆=-{ frac { Gamma（n + 1）} { ln 2}} left（2 ^ {n-1} psi left（-n、{ frac {q + 1} {2}} right）+ 2 ^ {n-1} psi left（-n、{ frac {q} {2}} right） – psi（-n、q） right） end {aligned}}}
ここで、B n（q）はベルヌーイ多項式です。 K （（ z ）。 = exp（（ ψ（（ − 2 z ）。+ z2 z 2 ）。 {K（z）= A exp left（ psi（-2、z）+ { frac {z ^ {2} -z} {2}} right）}
ここで、K（z）はK関数、Aはグレイシャー定数です。
特別な値
バランスの取れたポリガンマ関数は、特定の点で閉じた形で表すことができます（Aはグレイシャー定数、Gはカタラン定数）。 ψ （（ −2 1 4 ）。 =1 8ln 2
π 9 8
ln + 4π ψ（（ −2 1 2 ）。 =1 4 ln π 3 2
ln +5 24ln 2 ψ（（ −3 1 2 ）。 =1 16ln 2
π 1 2
ln +7 ζ（（ 3
）。32 π 2 ψ（（ − 2 1 ）。=1 2ln 2 π ψ（（ − 3 1 ）。=1 4ln 2 π+ lnψ （（ − 2 2 ）。= ln 2
π ψ （（ − 3 2 ）。= ln 2
π 2
ln − 4
{{ begin {aligned} psi left（-2、{ tfrac {1} {4}} right）＆= { tfrac {1} {8}} ln 2 pi + { tfrac {9} {8}} ln A + { frac {G} {4 pi}} && \ psi left（-2、{ tfrac {1} {2}} right）＆= { tfrac {1} {4}} ln pi + { tfrac {3} {2}} ln A + { tfrac {5} {24}} ln 2＆\ psi left（-3、 { tfrac {1} {2}} right）＆= { tfrac {1} {16}} ln 2 pi + { tfrac {1} {2}} ln A + { frac {7 zeta（3）} {32 pi ^ {2}}} \ psi（-2，1）＆= { tfrac {1} {2}} ln 2 pi＆\ psi（-3 、1）＆= { tfrac {1} {4}} ln 2 pi + ln A \ psi（-2，2）＆= ln 2 pi -1＆\ psi（-3 、2）＆= ln 2 pi +2 ln A-{ tfrac {3} {4}} \ end {aligned}}}
参考文献
^ エスピノサ、オリヴィエ; モール、ビクターH.。「一般化されたポリガンマ関数」 （PDF）。積分変換と特殊関数。15（2）：101–115。
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