Balanced_set
で線形代数との関連分野数学均衡集合、丸セットまたはディスクにおけるベクトル空間上（フィールド K { mathbb {K}}
絶対値関数| ⋅ |
{| cdot |}
）はセットです {S}
そのような ⊆ {aS subseteq S}
すべてのスカラーに対して {a}
満足
| | ≤ 1.1。
{| a | leq 1.}
セットのバランスの取れた船体またはバランスの取れたエンベロープ {S}
を含む最小の均衡セットです 。
{S.}
サブセットのバランスの取れたコア {S}
に含まれる最大のバランスセットです 。
{S.}
コンテンツ
1 意味
2 例と十分な条件
3 プロパティ
4 も参照してください
5 参考文献
意味
仮定 {X}
以上のベクトル空間であるフィールド K { mathbb {K}}
実数または複素数の数字。の要素 K { mathbb {K}}
スカラーと呼ばれます。
表記：もし {S}
セットです、 {a}
はスカラーであり、 ⊆ K {B subseteq mathbb {K}}
その後、 ：=
{{ ： ∈ }
{aS：= left {as：s in S right }}
と
：=
{{ ： ∈ 、 ∈ } {BS：= left {bs：b in B、s in S right }。}
そしてどんなためにも 0 ≤ ≤
∞ {0 leq r leq infty、}
させて¯ ：= {{ ∈K ： |
≤ }
{{ overline {B_ {r}}}：= left {a in mathbb {K}：| a | leq r right }}
と
：=
{{ ∈K ： |
< }
{B_ {r}：= left {a in mathbb {K}：| a | 半径の閉じた球（それぞれ開いた球）を示します {r}
の K { mathbb {K}}
を中心に 0 {0}
どこ 0 = ∅ {B_ {0} = varnothing、}
0¯ =
{{ 0 } {{ overline {B_ {0}}} = {0 }、}
と ∞
：=∞¯ =
K {B _ { infty}：= { overline {B _ { infty}}} = mathbb {K}。}
フィールドのすべてのバランスの取れたサブセット K { mathbb {K}}
の形式です¯
{{ overline {B_ {r}}}}
また {B_ {r}}
いくつかのための 0 ≤ ≤
∞ {0 leq r leq infty。}
サブセット {S}
の {X}
次の同等の条件を満たす場合、バランスと呼ばれます。
定義： ⊆ {aS subseteq S}
すべてのスカラーに対して {a}
満足
| | 1
{| a | leq 1}
; 1¯ ⊆ 、
{{ overline {B_ {1}}} S subseteq S、}
どこ 1 ¯ ：=
{{ ∈K ： | ≤ 1 }
{{ overline {B_ {1}}}：= left {a in mathbb {K}：| a | leq 1 right }}
; = 1¯ {S = { overline {B_ {1}}} S}
; すべてのための ∈ 、
{s in S、}
∩K 1 ¯ （（ ∩
K ）。
{S cap mathbb {K} = { overline {B_ {1}}} left（S cap mathbb {K} s right）}
;
もしも ：= ∩
K {R：= S cap mathbb {K} s}
次に、上記の等式は次のようになります = 1¯ 、
{R = { overline {B_ {1}}} R、}
これは、セットのバランスを取るためのまさに前の条件です。したがって、 {S}
すべての場合にのみバランスが取れている ∈ 、
{s in S、}
∩
K {A cap mathbb {K} s}
バランスの取れたセットです（前述の定義条件のいずれかによる）。
すべての1次元ベクトル部分空間に対して Y {Y}
の
スパン 、
{ operatorname {span} S、}
∩ Y {S cap Y}
はバランスの取れたセットです（これ以外の定義条件による）。
すべてのための ∈ 、
{s in S、}
いくつか存在します 0 ≤ ≤ ∞ {0 leq r leq infty}
そのような ∩
K ={S cap mathbb {K} s = B_ {r} s}
また ∩
K =¯ {S cap mathbb {K} s = { overline {B_ {r}}} s}
;
もしも {S}
が凸集合である場合、このリストは次のものを含むように拡張できます。 ⊆ {aS subseteq S}
すべてのスカラーに対して {a}
満足
| | = 1.1。
{| a | = 1。}
もしも K = { mathbb {K} = mathbb {R}}
次に、このリストを拡張して次のものを含めることができます。 {S}
ある対称性（意味は
− = {-S = S}
） と
[ 0 1
）。 ⊆ 。
{[0，1）S subseteq S.}
サブセットのバランスの取れた船体 {S}
の 、
{X、}
