バランスの取れた3進数 – 日本語百科事典辞書

Balanced_ternary

バランスのとれた三元は、ある三元数字システム（3とともに即ちベース3桁使用）バランスが署名された桁表現の整数桁の値を有するには-1、0、および1。これは、数字の値が0、1、および2である標準の（不平衡）3進システムとは対照的です。平衡3進システムは、個別のマイナス記号を使用せずにすべての整数を表すことができます。数値の先頭のゼロ以外の桁の値には、数値自体の符号が一方、0と1の数字を持つ2進数は、自然数の最も単純な位取り記数法を提供します（または、1と2を数字として使用する場合は正の整数の場合）、平衡3進法は、整数に対して最も単純な自己完結型の位取り記数法を提供します。平衡三元法は、非標準の位置記数法の一例です。これは、初期のコンピューターや、バランスパズルのいくつかのソリューションで使用されていました。
ソースが異なれば、バランスの取れた3進数で3桁を表すために使用される異なるグリフが使用されます。、T（マイナス記号と1の結紮に似ています）は-1を表し、0と1はそれ自体を表します。他の規則には、それぞれ-1と1を表すために「-」と「+」を使用すること、または-1を表すために円のマイナス記号に似たギリシャ文字のシータ（Θ）を使用することが含まれます。Setunコンピュータに関する出版物では、-1は転覆1として表されます： “1”。
バランスの取れた3進法は、MichaelStifelの著書ArithmeticaIntegra（1544）に早くから登場しています。ヨハネス・ケプラーとレオン・ラレンの作品にも見られます。他の拠点での関連する符号付き桁スキームは、ジョンコルソン、ジョンレスリー、オーギュスタンルイコーシー、そしておそらく古代インドのヴェーダによってさえ議論されてきました。

コンテンツ
1 意味
1.1 3次整数評価
2 10進数への変換
3 分数への変換と分数からの変換
4 無理数
5 三元からの変換
6 任意の整数基数からバランスの取れた3進数への変換
7 足し算、引き算、掛け算、割り算
7.1 マルチトリットの加算と減算 7.2 マルチトリット乗算 7.3 マルチトリット分割
8 平方根と立方根
9 アプリケーション
9.1 コンピュータ設計において 9.2 その他のアプリケーション
10 も参照してください
11 参考文献
12 外部リンク

意味
参照：
符号付き桁表現
させて 3
{{ mathcal {D}} _ {3}}
${$
記号のセット（グリフまたは文字とも呼ばれます）を示します 3 = {{ 、0 1 }
{{ mathcal {D}} _ {3} = lbrace operatorname {T}、0，1 rbrace}

、ここでシンボル1 ¯
{{ bar {1}}}

の代わりに使用されることもあります。
{ operatorname {T}。}

整数値関数を定義する = 3
： 3 Z {f = f _ {{ mathcal {D}} _ {3}}：{ mathcal {D}} _ {3} to mathbb {Z}}

に（（）。= −
1 {f _ {}（ operatorname {T}）=-1、}

（（ 0
）。 = 0 {f _ {}（0）= 0、}
と（（ 1
）。= 1
{f _ {}（1）= 1}
ここで、右側は通常の（10進数の）値を持つ整数です。この機能は、、
{f_ {}、}

整数値がの記号/グリフにどのように割り当てられるかを厳密かつ正式に確立するものです。 3 {{ mathcal {D}} _ {3}。}

この形式の利点の1つは、「整数」の定義（ただし、定義されている場合もあります）が、それらを記述/表現するための特定のシステムと混同されないことです。このようにして、これら2つの異なる（密接に関連しているとはいえ）概念は別々に保たれます。
セット 3
{{ mathcal {D}} _ {3}}

機能と一緒に {f_ {}}

平衡三元システムと呼ばれる平衡符号付き桁表現を形成します。整数と実数を表すために使用できます。

3次整数評価
させて 3 + {{ mathcal {D}} _ {3} ^ {+}}

ことクリーネプラスの 3
{{ mathcal {D}} _ {3}}

、これはすべての有限長の連結文字列のセットです… 0
{d_ {n} ldots d_ {0}}

1つまたは複数の記号（数字と呼ばれる）の {n}

は非負の整数であり、すべて + 1 {n + 1}

数字、 … 、 0
{d_ {n}、 ldots、d_ {0}}

から取られます 3 = {{ 、 0 1 } {{ mathcal {D}} _ {3} = lbrace operatorname {T}、0，1 rbrace。}

スタートの… 0
{d_ {n} ldots d_ {0}}

はシンボルです 0
{d_ {0}}

（右側）、その終わりは {d_ {n}}

（左側）、その長さは + 1 {n + 1}

。三元評価は機能ですv = v3
： 3+ Z
{v = v_ {3}〜：〜{ mathcal {D}} _ {3} ^ {+} to mathbb {Z}}

すべての文字列に割り当てることによって定義されます… 0 3 +
{d_ {n} ldots d_ {0} in { mathcal {D}} _ {3} ^ {+}}

整数 v （（ NS… 0 ）。 = ∑
I = 0 （（私
）。 3 I {v left（d_ {n} ldots d_ {0} right）〜=〜 sum _ {i = 0} ^ {n} f _ {} left（d_ {i} right）3 ^ {私}。}
文字列… 0
{d_ {n} ldots d_ {0}}

を表す（に関して v {v}

）整数 v （（…0
）。 {v left（d_ {n} ldots d_ {0} right）。}

値 v （（…0 ）。 {v left（d_ {n} ldots d_ {0} right）}

あるいは、次のように表すこともできます。…0
バル
3 {{d_ {n} ldots d_ {0}} _ { operatorname {bal} 3}。}

地図 v ： 3+ Z
{v：{ mathcal {D}} _ {3} ^ {+} to mathbb {Z}}

たとえば、全射ですが単射ではありません。0 = v（（ 0
）。= v（（ 00
）。= v（（ 000
）。 = ⋯ {0 = v（0）= v（00）= v（000）= cdots。}

ただし、すべての整数には、 v {v}

記号で終わらない（左側）
0 {0、}

NS= 0。 {d_ {n} = 0。}

もしも… 0 3 +
{d_ {n} ldots d_ {0} in { mathcal {D}} _ {3} ^ {+}}

と >> 0 {n> 0}
0″”>
それから v {v}

満たす： v （（NS − 1 … 0
）。 = （（）。
3 + v （（− 1 … 0 ）。 {v left（d_ {n} d_ {n-1} ldots d_ {0} right）〜= 〜f _ {} left（d_ {n} right）3 ^ {n} + v left（d_ {n-1} ldots d_ {0} right）}
それはそれを示しています v {v}

ある種の漸化式を満たします。この漸化式には、3つの初期条件が ∈ 3 {d in { mathcal {D}} _ {3}、}

どこ v （（）。= （（）。3 0= （（）。 {v left（d right）= f _ {} left（d right）、3 ^ {0} = f _ {} left（d right）。}

明らかに、彼らは v （（）。= −
1 {v left（ operatorname {T} right）=-1、}
v （（ 0
）。 = 0 {v left（0 right）= 0、}

と v （（ 1
）。 = 1.1。
{v left（1 right）= 1。}

これは、すべての文字列に対して… 0
∈ 3+ {d_ {n} ldots d_ {0} in { mathcal {D}} _ {3} ^ {+}、}
v （（ 0… 0 ）。 = v （（ NS… 0 ）。 {v left（0d_ {n} ldots d_ {0} right）= v left（d_ {n} ldots d_ {0} right）}
言葉でいると述べている大手は、 0 {0}

記号（2つ以上の記号を含む文字列の左側）は、結果の値に影響を与えません。
次の例は、 v {v}

計算できます。ここで、（以前と同様に）すべての整数は10進数（基数10）で記述され、 3 + {{ mathcal {D}} _ {3} ^ {+}}

単なるシンボルです。 v （（）。= （（）。3 1+ （（）。3 0 = （（ − 1 ）。3 +（（ − 1 ）。1
− （（ 1 ）。 = （（）。3 1+ （（ 1
）。3 0 = （（ − 1 ）。3 +（（ 1
）。1
− （（ 1 ）。= （（ 1
）。3 1+ （（）。3 0 = （（ 1
）。3 +（（ − 1 ）。1 2 （（ 11 ）。 = （（ 1
）。3 1+ （（ 1
）。3 0 = （（ 1
）。3 +（（ 1
）。1 4 （（ 1 0 ）。 = （（ 1
）。3 2+ （（）。3 1+ （（ 0
）。3 0 = （（ 1
）。9 （（ − 1 ）。3 +（（ 0
）。1 6 （（ 10 ）。= （（ 1
）。3 2+ （（ 0
）。3 1+ （（）。3 0 = （（ 1
）。9 （（ 0
）。3 +（（ − 1 ）。1 8
{{ begin {alignedat} {10} v left（ operatorname {T} operatorname {T} right）＆= ＆＆ f _ {} left（ operatorname {T} right）3 ^ {1} + && f _ {} left（ operatorname {T} right）3 ^ {0} && = ＆＆（-1）&& 3 && 、+ 、&&（-1）&& 1 && = -4 \ v left（ operatorname {T} 1 right）＆= ＆＆ f _ {} left（ operatorname {T} right）3 ^ {1} + && f _ {} left（1 right）3 ^ {0} && = ＆＆（-1 ）&& 3 && 、+ 、&&（1）&& 1 && = -2 \ v left（1 operatorname {T} right）＆= ＆＆ f _ {} left（1 right）3 ^ {1} + && f_ { } left（ operatorname {T} right）3 ^ {0} && =＆=＆（1）&& 3 && 、+ 、&&（-1）&& 1 && = 2 \ v left（11 right）＆=＆f_ {} left（1 right）3 ^ {1} + && f _ {} left（1 right）3 ^ {0} && = ＆＆（1）&& 3 && 、+ 、&&（1）&& 1 && = 4 v left（1 operatorname {T} 0 right）＆= f _ {} left（1 right）3 ^ {2} + && f _ {} left（ operatorname {T} right）3 ^ { 1} + && f _ {} left（0 right）3 ^ {0} && =（1）9 、+ 、&&（-1）&& 3 && 、+ 、&&（0）&& 1 && = 6 \ v left（10 operatorname {T} right）＆= f _ {} left（1 right）3 ^ {2} + && f _ {} left（0 right）3 ^ {1} + && f _ {} left（ operatorname {T} right）3 ^ {0} && =（1）9 、+ 、&&（0）&& 3 && 、+ 、&&（-1）&& 1 && = 8 \ end {alignedat }}}
上記の漸化式を使用します v （（ 101 ）。= （（ 1
）。3 3+ v（（ 01 ）。 = （（ 1
）。27 + v（（ 1 ）。 27+ 2 = 29。
{v left（101 operatorname {T} right）= f _ {} left（1 right）3 ^ {3} + v left（01 operatorname {T} right）=（1） 27 + v left（1 operatorname {T} right）= 27 + 2 = 29。}

10進数への変換
バランスのとれた三成分系の数字の値Nの左場所基数点は、桁及び3の生成物であるN。これは、10進数とバランスの取れた3進数の間で変換するときに役立ちます。以下では、バランスの取れた3進数を示す文字列に、接尾辞bal3が付いています。例えば、 10 bal3 = 1×3
1 + 0×3
0 = 30 10ᴛ
bal3 = 1×3
2 + 0×3
1 +（-1）×3
0 = 80 -9
10 = -1×3
2 + 0×3
1 + 0×3
0 =ᴛ00al3 8
10 = 1×3
2 + 0×3
1 +（-1）×3
0 =10ᴛ bal3 同様に、基数点の右側の最初の場所は3 −1 =を保持します。1/3、2番目の場所は3 −2 =を
保持します1/9、等々。例えば、− 2/3
10 = −1 +
1/3= -1×3
0 + 1×3-1 =ᴛ.1al3。 12月 al3 張 2月 al3
拡張0 1 1 1 1 00 1ᴛ + 3-12 1
−3 + 13 0 3 3 0 3 4 1+ 3 + 14 ᴛ 3-1 5
1ᴛᴛ+ 9−3-15 11
−9 + 3 + 16 ᴛ0+ 9−36 10
−9 + 37 ᴛ1+ 9−3 + 17 1ᴛ
−9 + 3-18 0ᴛ+ 9-18 01
−9 + 19 00 9 9 00 9 10 01+ 9 + 110 0ᴛ 9-1 11 1ᴛ+ 9 + 3-111 ᴛ1
−9−3 + 112 10+ 9 + 312 ᴛ0
−9−313 11+ 9 + 3 + 1 −13 ᴛᴛᴛ
−9−3−1
整数は、単位の桁がゼロの場合にのみ3で割り切れます。
我々はチェックして、パリティすべての和のパリティチェックでバランス三整数のをトリットを。この合計は、整数自体と同じパリティを持ちます。
バランスの取れた3進数は、基数の右側に10進数を書き込むのと同様に、小数に拡張することもできます。
10進数 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.30.2 0.1 0 バランスの取れた3進数
ᴛ。010ᴛ
ᴛ。1ᴛᴛ1 。10ᴛ0 ᴛ。11ᴛᴛ
0 ᴛまたはᴛ。1
0 ᴛᴛ11
0 ᴛ010
0 ᴛ11ᴛ
0 0ᴛ01 0 10進数.9 .8 .7
0.6 0.6.5 .4 .3 .2 .1 0 バランスの取れた3進数
1. 0ᴛ01
1. ᴛ11ᴛ
1. ᴛ010
1. ᴛᴛ11
0. 1または1 ᴛ
0 11ᴛᴛ
0 10ᴛ0
0 1ᴛᴛ1
0 010ᴛ 0 10進数または2進数では、整数値と終了分数には複数の表現が例えば、
1/10= 0.1 = 0.1 0 = 0.0 9。と、
1/2= 0.1 2 = 0.1 0 2 = 0.0 1 2。一部のバランスの取れた3進分数にも、複数の表現が例えば、
1/6= 0.1 ᴛ bal3 = 0.0 1 bal3。確かに、10進数と2進数では、基数点の後の右端の無限0を省略して、整数または終了分数の表現を取得できます。ただし、バランスの取れた3進数では、整数または終了分数の表現を取得するために、基数ポイントの後の右端の無限-1を省略できません。
Donald Knuth は、切り捨てと丸めはバランスの取れた3進法では同じ操作であり、まったく同じ結果（他のバランスのとれた記数法と共有されるプロパティ）を生成することを指摘しています。番号
1/2例外ではありません。0：これは、2つの等しく有効な表現、および2つの等しく有効な切断有する1（0~0のラウンド、およびTRUNCATE）と1 ᴛ（1ラウンド1、及び切り捨てを）。基数が奇数の場合、基数が偶数の場合とは異なり、二重丸めは最終精度に直接丸めることと同等です。
基本的な演算（加算、減算、乗算、除算）は、通常の3値法と同じように実行されます。2の乗算は、それ自体に数値を加算するか、a-trit-left-shiftingの後にそれ自体を減算することによって実行できます。
平衡三元数の左の算術シフトは、3の（正の整数）累乗による乗算に相当します。バランスの取れた3進数の算術右シフトは、（正の整数の）3乗による除算に相当します。

分数への変換と分数からの変換
分数
バランスの取れた3進数
分数
バランスの取れた3進数1 1/11 0 01ᴛ11 1/2 0. 1
1. ᴛ 1/12 0.0 1ᴛ1/3 .1 /13
0 01ᴛ 1/4 0 1ᴛ 1/14 0 01ᴛ0ᴛ1 1/5 0 1ᴛᴛ1 1/15 0.0 1ᴛᴛ1 1/6 0.0 1
0.1 ᴛ 1/16 0 01ᴛᴛ 1/7 0 0110ᴛᴛ 1/17 0 01ᴛᴛᴛ10ᴛ0ᴛ111ᴛ01 1/8 0. 01 1/18 0.00 1
0.01 ᴛ1/9 .01 /19
0 00111ᴛ10100ᴛᴛᴛ1ᴛ0ᴛ 1/10 0 010ᴛ 1/20 0. 0011
循環小数の変換は、循環小数の変換に似ています。たとえば（111111 bal3 =（ 3 6 − 1/3 − 1）10）：0.1 110 0 ¯ = 1110 0
− 111111 ×× 1 ××0 1110111111 ×× 1 0 111
×× 1000 111 ×× 1001 ××
1 0 1111
×× 1 1001 ××
1 0 1111 10010 = 1 1 10 101 1 10 {0.1 { overline { mathrm {110TT0}}} = { tfrac { mathrm {1110TT0-1}} { mathrm {111111 times 1T times 10}}} = { tfrac { mathrm { 1110TTT}} { mathrm {111111 times 1T0}}} = { tfrac { mathrm {111 times 1000T}} { mathrm {111 times 1001 times 1T0}}} = { tfrac { mathrm { 1111 times 1T}} { mathrm {1001 times 1T0}}} = { tfrac {1111} {10010}} = { tfrac { mathrm {1T1T}} { mathrm {1TTT0}}} = { tfrac {101} { mathrm {1T10}}}}

無理数
他の整数基数と同様に、代数的無理数と超越数は終了したり繰り返されたりしません。例えば：
10進数
バランスの取れた3進数2 = 1.4142135623731 …
{{ sqrt {2}} = 1.4142135623731 ldots}

1 =
1.11 1 00 00 01 0 00 00 01 …
{{ sqrt { mathrm {1T}}} = mathrm {1.11T1TT00T00T01T0T00T00T01TT ldots}}
3 = 1.7320508075689 …
{{ sqrt {3}} = 1.7320508075689 ldots}
10 =
1 。 1 10 0000 1100 0011 0 … {{ sqrt { mathrm {10}}} = mathrm {1T.T1TT10T0000TT1100T0TTT011T0 ldots}}
5 = 2.2360679774998 …
{{ sqrt {5}} = 2.2360679774998 ldots}

1 =
1 .1 01010101 1101001 1 … {{ sqrt { mathrm {1TT}}} = mathrm {1T.1T0101010TTT1TT11010TTT01T1 ldots}}

φφ 1+5 2= 1.6180339887499 …
{ textstyle varphi = { frac {1+ { sqrt {5}}} {2}} = 1.6180339887499 ldots}

φφ 1 + 1 1 =
1 。 0 01 0 10 11 0011 10011 … { textstyle varphi = { frac {1+ { sqrt { mathrm {1TT}}}} { mathrm {1T}}} = mathrm {1T.T0TT01TT0T10TT11T0011T10011 ldots}}
6.28318530717959 …
{ tau = 6.28318530717959 ldots}
τ =
1 0.10 0 1100 110 0 1 000001 … { tau = mathrm {1T0.10TT0T1100T110TT0T1TT000001} ldots}
3.14159265358979 …
{ pi = 3.14159265358979 ldots}
π =
10.011 111 000 011 1101 111111 … { pi = mathrm {10.011T111T000T011T1101T111111} ldots}

e= 2.71828182845905 …
{e = 2.71828182845905 ldots}
e =
10.10。 0111 0 0 111 0111 000 11 …
{e = mathrm {10.T0111TT0T0T111T0111T000T11T} ldots}

のバランスの取れた3進展開 π { pi}

OEISではA331313として与えられています。 e {e}

中A331990。

三元からの変換
不均衡な3進法は、次の2つの方法でバランスの取れた3進法に変換できます。
キャリーのある最初のゼロ以外のトリットから1トリットごとに加算し、次にボローなしの同じトリットから1トリットごとに減算します。例えば、
021 3 + 11 3 = 102 3、102 3 – 11 3 = 1T1 bal3 = 7 10。
三元に2が存在する場合は、1Tに変換します。例えば、
0212 3 = 0010 bal3 + 1T00 bal3 + 001T bal3 = 10TT bal3 = 23 10
バランスの取れた
論理
署名なし1 2 0
わからない 1 0 三進論理の3つの値が偽、不明、真であり、これらがT、0、1として平衡三進にマッピングされ、0、1、2として従来の符号なし三進値にマッピングされる場合、平衡三進は偏った数値と見なすことができます。オフセットバイナリシステムに類似したシステム。3進数にnトリットがある場合、バイアスbは次のようになります。 =⌊ 3 2 ⌋
{b = left lfloor { frac {3 ^ {n}} {2}} right rfloor}
これは、従来の形式または偏った形式のいずれかですべてのものとして表されます。
その結果、これら2つの表現が平衡および符号なしの3進数に使用される場合、符号なしのn- tritの正の3進値は、バイアスbを加算することによって平衡形式に変換でき、正の平衡数は、バイアスb。場合さらに、XおよびYはバランスのとれた数である、それらのバランス和であるX + Y – B従来の符号なしの三元演算を用いて計算します。同様に、xとyが従来の符号なし3進数である場合、バランスの取れた3進数を使用して計算すると、それらの合計はx + y + bになります。

任意の整数基数からバランスの取れた3進数への変換
次の式を使用して、バランスの取れた3進数に変換できます。（（NS − 1 ⋯ 1 0
。 1 2 3 ⋯ ）。 = ∑ k = 0 k k+ ∑ = 1 ∞ k −
k { left（a_ {n} a_ {n-1} cdots a_ {1} a_ {0} .c_ {1} c_ {2} c_ {3} cdots right）_ {b} = 合計_ {k = 0} ^ {n} a_ {k} b ^ {k} + sum _ {k = 1} ^ { infty} c_ {k} b ^ {-k}。}
どこ、 n個のn -1 …
1 0。
c 1 c 2 c 3 …は、元の記数法での元の表現です。
bは元の基数です。
10進数から変換する場合、bは10です。 Kと C 、Kの数字である
k個のそれぞれ左、小数点の右側にある場所。
例えば、-25.4 10 = – （1T×101 1 + 1TT×101 0 + 11×101 -1）= −（1T×101 + 1TT + 11÷101）= −10T1。11TT= T01T。TT11
1010.1 2 = 1T 10 + 1T 1 + 1T -1= 10T + 1T + 0 1= 101 1

足し算、引き算、掛け算、割り算
シングルトリットの加算、減算、乗算、除算の表を以下に示します。可換ではない減算と除算の場合、最初のオペランドはテーブルの左側にあり、2番目のオペランドは上部にたとえば、1 − T = 1Tの答えは、減算テーブルの左下隅に加 +0
1 T1000 1 0 1T 減算 −0 1 0T10 1 1 1T
乗算
××0 1 1 0 00 10
分割
÷1 1 00
11

マルチトリットの加算と減算
マルチトリットの加算と減算は、2進数と10進数の加算と減算に類似しています。トリットごとにトリットを加算および減算し、キャリーを適切に加算します。例えば：
1TT1TT.1TT1 1TT1TT.1TT1 1TT1TT.1TT1 1TT1TT.1TT1+ 11T1.T − 11T1.T −11T1.T+ TT1T.1
______________ ______________ _______________
1T0T10.0TT1 1T1001.TTT1 1T1001.TTT1+ 1T + T T1 + TT
______________ ________________ ________________
1T1110.0TT1 1110TT.TTT1 1110TT.TTT1+ T + T 1 + T 1
______________ ________________ ________________
1T0110.0TT1 1100T.TTT1 1100T.TTT1

マルチトリット乗算
マルチトリット乗算は、2進数および10進数の乗算に類似しています。
1TT1.TT ×T11T.1 _____________
1TT.1TT乗算1
T11T.11乗算T
1TT1T.T乗算1 1TT1TT乗算1 T11T11乗算T _____________ 0T0000T.10T

マルチトリット分割
バランスの取れた3進除算は、2進および10進の除算に類似しています。
ただし、0.5 10 = 0.1111 … bal3または1.TTTT … bal3。プラスまたはマイナスの半分の除数を超える被除数の場合、商のトリットは1またはTである必要が被除数が除数の半分のプラスとマイナスの間にある場合、商のトリットは0である必要が商トリットを設定する前に、除数の半分の値と比較して例えば、
1TT1.TT商0.5×除数T01.0 _____________
除数T11T.1）T0000T.10T被除数
T11T1 T000 1TT1T 1T1T0> 10T0、Tを設定_______ 111T
1TT1T 111T> 10T0、Tを設定_______ T00.1
T11T.1 T001 1TT.1T 1T100> 10T0、セットT________ T.T1T
1T.T1T 1TT1T> 10T0、Tを設定________ 0
もう一つの例、 1TTT 0.5×除数1T_______
除数11）1T01T 1T = 1T、ただし1T.01> 1T、セット111 _____
T10 T10 T11 T11 TT TT 101.TTTTTTTTT..。
または100.111111111..。
0.5×除数1T_________________
除数11）111T 11> 1T、セット111 _____
1 T1 <1 <1T、セット0 ___ 1T 1T = 1T、トリット終了、セット1.TTTTTTTTT ...または0.111111111 .. ..

平方根と立方根
バランスの取れた3進数で平方根を抽出するプロセスは、10進数または2進数の場合と類似しています。（（ 10
⋅ + y ）。
1 − 100 ⋅ 1 = 1 0 ⋅ ⋅y + y
1 =
{{ 10
⋅ + 1 y = 0 y= 0 1 0
⋅ +1 y = 1
{ displaystyle（10 cdot x + y）^ { mathrm {1T}}-100 cdot x ^ { mathrm {1T}} = mathrm {1T0} cdot x cdot y + y ^ { mathrm {1T}} = { begin {cases} mathrm {T10} cdot x + 1、＆y = mathrm {T} \ 0、＆y = 0 \ mathrm {1T0} cdot x + 1、＆y = 1 end {cases}}}
除算の場合と同様に、最初に除数の半分の値を確認する必要が例えば、
1. 1 1 T 1 TT 0 0..。 _________________________ √1T1<1T <11、セット1 1 _____
1×10 = 101.0T 1.0T> 0.10、セット1
1T0 -1.T0 ________ 11×10 = 110 1T0T 1T0T> 110、セット1
10T0 −10T0 ________ 111×10 = 1110T1T0T T1T0T 100T0 −T0010 _________ 111T×10 = 111T0 1TTT0T 1TTT0T> 111T0、セット1
10T110 -10T110 __________ 111T1×10 = 111T10 TT1TT0T TT1TT0T 100TTT0 −T001110
___________ 111T1T×10 = 111T1T0 T001TT0T T001TT0T 10T11110 −T01TTTT0 ____________ 111T1TT×10 = 111T1TT0 T001T0T TTT1T110 −Tリターン1 ___________ 111T1TT0×10 = 111T1TT00 T001T000T TTT1T1100 −Tリターン1 _____________ 111T1TT00 * 10 = 111T1TT000 T001T00000T .。バランスの取れた3進数での立方根の抽出は、10進数または2進数での抽出と同様に類似しています。（（ 10
⋅ + y ）。10 − 1000
⋅ 10= y 10 + 1000
⋅ 1 ⋅y + 100
⋅ ⋅ y 1 =
{{ + 000
⋅ 1 + 100 ⋅ 、 y = 0 y=0 1+ 1000
⋅ 1 + 100 ⋅ 、y = 1
{ displaystyle（10 cdot x + y）^ {10} -1000 cdot x ^ {10} = y ^ {10} +1000 cdot x ^ { mathrm {1T}} cdot y + 100 cdot x cdot y ^ { mathrm {1T}} = { begin {cases} mathrm {T} + mathrm {T000} cdot x ^ { mathrm {1T}} +100 cdot x、＆y = mathrm {T} \ 0、＆y = 0 \ 1 + 1000 cdot x ^ { mathrm {1T}} + 100 cdot x、＆y = 1 end {cases}}}
除算と同様に、除数の半分の値も最初に確認する必要が例えば：
1. 1 T 1 0..。 _____________________ ³√1T
− 1 1 <1T <10T、セット1 _______ 1.000 1×100 = 100 −0.100 100×を借り、除算を行う _______ 1TT 1.T00 1T00> 1TT、セット1
1×1×1000 + 1 = 1001 −1.001__________ T0T000
11×100− 1100 100×を借り、除算を行う _________ 10T000 TT1T00 TT1T00 11×11×1000 + 1 = 1TT1001 −T11T00T___________ 1TTT01000
11T×100− 11T00 100×借り、除算 ___________ 1T1T01TT 1TTTT0100 1TTTT0100> 1T1T01TT、セット1 11T×11T×1000 + 1 = 11111001 − 11111001______________ T10T000
11T1×100− 11T100借用100×、除算 __________ 10T0T01TT 1T0T0T00 T01010T11 <1T0T0T00 <10T0T01TT、セット0 11T1×11T1×1000 + 1 = 1TT1T11001 −TT1T00リターン100×_____________ T10T000000
..。
したがって3 √ 2 = 1.259921 10 = 1.1T1 000 111 001 T01 00T 1T1 T10 111 bal3。

アプリケーション

コンピュータ設計において

手術台
コンピューティングの黎明期には、いくつかの実験的なソ連のコンピュータは最も有名であること、バランスの取れた三元代わりのバイナリを使用して構築されたSetunによって建てられ、ニコレイ・ブラセンツオーブとセルゲイソボレフ。この表記には、従来の2進および3進に比べて多くの計算上の利点が特に、プラスマイナスの一貫性により、複数桁の乗算でのキャリーレートが低下し、丸めと切り捨ての等価性により、小数部での丸めでのキャリーレートが低下します。バランスの取れた3進数では、1桁の掛け算の九九は1桁のままでキャリーがなく、加算テーブルには9つのエントリのうち2つのキャリーしかありません。これに対して、アンバランスの九九はそれぞれ1と3です。
「バランスの取れた3進演算の算術回路の複雑さは、2進法の場合よりもそれほど大きくはなく、与えられた数だけが必要です。
ログ3 2≈ 63 ％
{ log _ {3} 2 約63 ％}

その表現のための同じ数の桁位置。」「おそらく、この記数法の対称性と単純な算術は、いつか非常に重要になるでしょう。」

その他のアプリケーション
すべての整数がバランスの取れた3進法で一意の表現を持つという定理は、形式的べき級数の同一性を正当化するためにレオンハルトオイラーによって使用されました。
∏ =0 ∞（（ −
3 + 1 + 3 ）。 = ∑ =− ∞
∞ 。
{ prod _ {n = 0} ^ { infty} left（x ^ {-3 ^ {n}} + 1 + x ^ {3 ^ {n}} right）= sum _ {n =- infty} ^ { infty} x ^ {n}。}
バランスの取れた3進法には、コンピューティング以外のアプリケーションがたとえば、3の累乗ごとに1つのウェイトを持つ従来の2つのパンの天びんは、2つのパンとテーブルの間でウェイトを移動することにより、比較的重いオブジェクトを少数のウェイトで正確に計量できます。たとえば、3〜81の各累乗の重みを使用すると、60グラムのオブジェクト（60 10 = 1T1T0 bal3）は、他のパンの81グラムの重み、それ自体のパンの27グラムの重み、9と完全にバランスが取れます。もう一方の鍋の重さは3グラム、もう一方の鍋の重さは3グラム、そして1グラムの重さは取っておきます。
同様に、1¤、3¤、9¤、27¤、81¤の価値のあるコインを使用する通貨システムについて考えてみます。買い手と売り手がそれぞれ各種類のコインを1つしか持っていない場合、121¤までの取引が可能です。たとえば、価格が7¤（7 10 = 1T1 bal3）の場合、購入者は1¤+9¤を支払い、3¤を交換で受け取ります。
それらはまた、キュートリットとそれを使用するシステムのより自然な表現を提供するかもしれません。

も参照してください
平方根の計算方法
記数法
キュートリット
サラミスタブレット
三元コンピュータ
Setun、3進コンピューター
3値論理

参考文献
^ N.A. Krinitsky; ガミロノフ; GDFrolov（1963）。「第10章プログラム制御マシンセトゥン」。MRShura-Bura（ed。）プログラミング（ロシア語）。モスクワ。
^ Hayes、Brian（2001）、””Third base”” （PDF）、American Scientist、89（6）：490–494、doi：10.1511 / 2001.40.3268
。で転載
・ヘイズ、ブライアン（2008）、ベッドルームで群論、およびその他の数学転換、ファーラー、ストラウスとジルー、頁179から200、ISBN 9781429938570 ^ Stifel、Michael（1544）、Arithmetica integra（ラテン語）、p。38 。
^ Bhattacharjee、Abhijit「バランスのとれた三進法」。
^ Knuth、ドナルド（1997）。コンピュータプログラミングの芸術。2。アディソン-ウェスリー。pp。195–213。ISBN 0-201-89684-2。
^ Douglas W. Jones、 Ternary Number Systems、2013年10月15日。
^ Andrews、George E.（2007）。「オイラーの「DePartitionumerorum 」」。アメリカ数学会紀要。新シリーズ。44（4）：561–573。土井：10.1090 / S0273-0979-07-01180-9。MR 2338365。
^ シンボル 0 {0}

平等に2回現れる（（ 0
）。= 0
{f _ {}（0）= 0}

しかし、これらのインスタンスは同じことを表すものではありません。右側 0 {0}

整数ゼロを意味しますが、 0 {0}

中身 {f}

の括弧（に属する 3
{{ mathcal {D}} _ {3}}

）は、（意味のない）記号にすぎないと考える必要がこの理由は、がたまたま選択したにもかかわらず 3 = {{ 、0 1 }
{{ mathcal {D}} _ {3} = lbrace operatorname {T}、0，1 rbrace}

（これはあいまいさをもたらしたこの選択です）、このセットは、たとえば、代わりに記号で構成されるように選択された可能性があります 3 = {{ 、 U V } {{ mathcal {D}} _ {3} = lbrace operatorname {T}、 operatorname {U}、 operatorname {V} rbrace。}

このあいまいさは、「（（ 0
）。= 0
{f（0）= 0}

「文で」（（ 0 ）。 {f（0）}

整数ゼロ””または””と等しい（（ 0 ）。 =0 10
{f（0）= 0_ {10}}

“”ここでシンボル0 10
{0_ {10}}

10を底とする通常の整数値を示します。同じことがシンボルにも当てはまります 1 {1}

平等に（（ 1
）。 = 1.1。
{f _ {}（1）= 1。}

外部リンク
コモンズには、バランスの取れた3進法に関連するメディアが
モスクワ州立大学での三元コンピュータの開発
バランスの取れた3進数での分数の表現
「三塁」、三元およびバランスのとれた三元数システム
バランス三元番号システム（平衡三元コンバータ10進整数を含みます）
OEIS シーケンスA182929（二項三角形がバランスの取れた3進リストに縮小されました）
Brian J. Shelburneによるバランスのとれた（署名された）3進表記（PDFファイル）
マーク・グルスカーによるトーマス・ファウラーの三元計算機
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