Bapat%E2%80%93Beg_theorem
確率論、Bapatベグ定理が得られる同時確率分布の順序統計量の独立したが、必ずしも同一分布 確率変数の点で累積分布関数の確率変数のを。Ravindra BapatとBegは、証明を提供しなかったものの、1989年に定理を発表しました。簡単な証明が1994年にHandeによって提供されました。
多くの場合、サンプルのすべての要素は同じ母集団から取得されるため、同じ確率分布を持ちます。Bapat-Begの定理は、サンプルの各要素が異なる母集団から取得され、したがって独自の確率分布を持つ場合の順序統計量を記述します。
コンテンツ
1 声明
1.1 独立同分布の場合
2 備考
3 複雑
4 参考文献
声明
させて 1
、 2 …
、 {X_ {1}、X_ {2}、 ldots、X_ {n}}
それぞれ累積分布関数を持つ独立した実数値確率変数である 1（（ ）。 、 2 （（ ）。 …
、（（ ）。
{F_ {1}（x）、F_ {2}（x）、 ldots、F_ {n}（x）}
。書く （（ 1 ）。 、 （（ 2
）。 …
、 （（ ）。
{X _ {（1）}、X _ {（2）}、 ldots、X _ {（n）}}
注文統計について。次に、の同時確率分布 1
、 2 … 、 k
{n_ {1}、n_ {2} ldots、n_ {k}}
順序統計（NS1 2
< ⋯ < k
{n_ {1}
と 1 < 2 < ⋯ < k
{x_ {1}
） は （（NS
1）。 …
、 （（NS
k）。（（ 1 … 、 k ）。= Pr（（ （（ 1 ）。 ≤ 1
∧ （（ 2 ）。 ≤ 2 ∧ ⋯
∧ （（ k ）。 ≤ k
）。= ∑ I k= k ⋯
∑I 2= 2I 3 ∑ I 1= 1 I 2 私
1 … 私 k （（1 … 、k ）。 I 1 ！ （（ 私 2 −
）。！ ⋯（（ − ）。 ！ {{ begin {aligned} F_ {X _ {（n_ {1}）}、 ldots、X _ {（n_ {k}）}}（x_ {1}、 ldots、x_ {k}）＆= Pr（X _ {（n_ {1}）} leq x_ {1} land X _ {（n_ {2}）} leq x_ {2} land cdots land X _ {（n_ {k}）} leq x_ {k}）\＆= sum _ {i_ {k} = n_ {k}} ^ {n} cdots sum _ {i_ {2} = n_ {2}} ^ {i_ {3 }} sum _ {i_ {1} = n_ {1}} ^ {i_ {2}} { frac {P_ {i_ {1}、 ldots、i_ {k}}（x_ {1}、 ldots 、x_ {k}）} {i_ {1}！（i_ {2} -i_ {1}）！ cdots（n-i_ {k}）！}}、 end {aligned}}}
どこ 私
1 … 私 k （（ 1 … 、 k ）。 = あたり
[ 1（（ 1 ）。 ⋯ 1（（ 1
）。 1（（ 2 ）。 − 1（（ 1 ）。 ⋯ 1（（ 2 ）。 − 1（（ 1
）。 1
− 1（（ k
）。⋯ 1
− 1（（ k
）。 2（（ 1 ）。 ⋯ 2（（ 1
）。 2（（ 2 ）。 − 2（（ 1 ）。 ⋯ 2（（ 2 ）。 − 2（（ 1
）。 1
− 2（（ k
）。⋯ 1
− 1（（ k
）。⋮ ⋮
⋮ （（ 1 ）。 ⋯ （（ 1 ）。 ⏟ I 1 （（ 2 ）。 − （（ 1 ）。 ⋯ （（ 2 ）。 − （（ 1
）。 ⏟ 私2 I 1 ⋯ 1
− （（ k
）。⋯ 1
− （（ k ）。 ⏟ −I k]
{{ begin {aligned}＆P_ {i_ {1}、 ldots、i_ {k}}（x_ {1}、 ldots、x_ {k}）= {} \ ＆ operatorname { per} { begin {bmatrix} F_ {1}（x_ {1}） cdots F_ {1}（x_ {1}）＆F_ {1}（x_ {2}）-F_ {1}（x_ {1} ） cdots F_ {1}（x_ {2}）-F_ {1}（x_ {1}）＆ cdots＆1-F_ {1}（x_ {k}） cdots 1-F_ {1}（x_ { k}）\ F_ {2}（x_ {1}） cdots F_ {2}（x_ {1}）＆F_ {2}（x_ {2}）-F_ {2}（x_ {1}） cdots F_ {2}（x_ {2}）-F_ {2}（x_ {1}）＆ cdots＆1-F_ {2}（x_ {k}） cdots 1-F_ {1}（x_ {k}） \ vdots＆ vdots && vdots \ underbrace {F_ {n}（x_ {1}） cdots F_ {n}（x_ {1}）} _ {i_ {1}}＆ underbrace {F_ {n}（x_ {2}）-F_ {n}（x_ {1}） cdots F_ {n}（x_ {2}）-F_ {n}（x_ {1}）} _ {i_ {2} -i_ {1}}＆ cdots＆ underbrace {1-F_ {n}（x_ {k}） cdots 1-F_ {n}（x_ {k}）} _ {n-i_ {k}} end {bmatrix}} end {aligned}}}
は、指定されたブロック行列のパーマネントです。（中括弧の下の数字は列の数を示しています。）
独立同分布の場合
変数が 1
、 2 …
、 {X_ {1}、X_ {2}、 ldots、X_ {n}}
ある独立同一分布で累積確率分布関数 私= {F_ {i} = F}
すべてのiについて、定理は次のようになります。 （（NS
1）。 …
、 （（NS
k）。（（ 1 …、 k ）。=∑ I k= k ⋯
∑I 2= 2I 3 ∑ I 1= 1 I 2 ！ （（1 ）。I 1 I
1 ！ （（ 1
− （（k ）。 ）。 −I k（（ −
）。 ！ ∏ =2
[ （（）。
− （（− 1 ）。 ] 私−
I − 1 （（ I −
私 − 1 ）。
！ {{ begin {aligned}＆F_ {X _ {（n_ {1}）}、 ldots、X _ {（n_ {k}）}}（x_ {1}、 ldots、x_ {k}）\ = {}＆ sum _ {i_ {k} = n_ {k}} ^ {n} cdots sum _ {i_ {2} = n_ {2}} ^ {i_ {3}} sum _ {i_ {1} = n_ {1}} ^ {i_ {2}} m！{ frac {F（x_ {1}）^ {i_ {1}}} {i_ {1}！}} { frac {（1-F（x_ {k}））^ {m-i_ {k}}} {（m-i_ {k}）！}} prod limits _ {j = 2} ^ {k} { frac { left [F（x_ {j}）-F（x_ {j-1}） right] ^ {i_ {j} -i_ {j-1}}} {（i_ {j} -i_ { j-1}）！}}。 end {aligned}}}
備考
累積分布関数の連続性を仮定する必要はありません。
もし不等式X 1 < X 2 <... < X K、不等式のいくつかは、「冗長であり、確率が必要な還元を行った後に評価することができる。」課されていません
複雑
Glueck etal。Bapat‒Begの公式は、確率変数の数のサイズの指数関数的な数のパーマネントを含むため、計算が困難であることに注意してただし、確率変数に可能な分布が2つしかない場合は、複雑さを次のように減らすことができます。 O （（ 2
k）。
{O（m ^ {2k}）}
。したがって、2つの母集団の場合、複雑さは次の多項式になります。 {m}
任意の固定数の統計 k {k}
。
参考文献
^ Bapat、RB; ベグ、ミシガン州（1989）。「非同一に分散された変数とパーマネントの順序統計」。Sankhyā：The Indian Journal of Statistics、シリーズA（1961–2002）。51（1）：79–93。JSTOR 25050725。MR 1065561。
^ ハンデ、さやじ（1994）。「非同一分布変数の順序統計に関する注記」。Sankhyā：The Indian Journal of Statistics、シリーズA（1961–2002）。56（2）：365–368。JSTOR 25050995。MR 1664921。
^ Glueck; Anis Karimpour-Fard; ヤン・マンデル; ラリーハンター; ミューラー（2008）。「いくつかの母集団からの順序統計量の累積分布関数のブロックパーマネントによる高速計算」。統計学におけるコミュニケーション–理論と方法。37（18）：2815–2824。arXiv：0705.3851。土井：10.1080 / 03610920802001896。PMC 2768298。PMID 19865590。
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