BPSTインスタントン – 日本語百科事典辞書

BPST_instanton

理論物理学では、BPSTのインスタントンはあるのInstantOnで数巻きで見つかった1アレクサンダー・ベラビン、アレクサンダーポリヤコフ、アルバート・シュワルツとゆいます。S.Tyupkin。これは、ユークリッド時空間（つまりウィック回転後）におけるSU（2）ヤンミルズ理論の運動方程式の古典的な解であり、理論の2つの異なる真空間の遷移を記述します。当初は、監禁の問題を解決するための道を開くことが望まれていました特に、1987年にポリアコフがインスタントンが3次元コンパクトQEDへの閉じ込めの原因であることを証明して以来。しかし、この希望は実現しませんでした。
DX 1 ⊗σ 3上のBPSTとのInstantOnの係数（x 1とx 2）の-slice
R 4 σ 3は、第三のあるパウリ行列を（左上）。 DX 2 ⊗σ 3係数（右上）。これらの係数 1 3及び A 2 3は、 BPSTのInstantOnの制限判断 Aと G = 2、ρ= 1、Z = 0を、このスライスに。z = 0（左下）を中心とする対応する電界強度。中心とBPSTとのInstantOnの電界強度の視覚的表現 Z上のコンパクト化は、S 4の R 4（右下）。

コンテンツ
1 説明
1.1 インスタントン 1.2 その他のゲージ
2 一般化と他の理論への埋め込み
3 インスタントンの気体と液体
3.1 QCDで 3.2 電弱理論では
4 場の方程式に対する他の解
5 も参照してください
6 参考文献

説明

インスタントン

BPSTインスタントンには自明でない
回転数があり、それ自体の円の自明でないマッピングとして視覚化できます BPSTインスタントンは、ヤンミルズ場の方程式の本質的に非摂動的な古典的解です。ヤンミルズSU（2）ラグランジアン密度を最小化するときに見つかります。L = − 1 4 μ ν μ
ν {{ mathcal {L}} =-{ frac {1} {4}} F _ { mu nu} ^ {a} F _ { mu nu} ^ {a}}
${mathcal L}=-{frac 14}F_{{mu nu }}^{a}F_{{mu nu }}^{a}$ Fはμν =∂ μ A ν A ∂ – ν A μ A + G ε ABC A μ B A ν C電界強度。インスタントンはそうすることを、有限のアクションを持つソリューションであるFのμνがあることを意味し、時空無限でゼロに行かなければならないμは、純粋なゲージ構成になります。私たちの4次元世界の時空無限大ですS 3。ゲージ群SU（2）は全く同じ構造を有しているのでの溶液A μ無限遠純粋ゲージからマッピングされているS 3自体に。これらのマッピングは、整数q、ポントリャーギン指数（または回転数）でラベル付けできます。インスタントンはq = 1であるため、（無限大で）連続的に1に変形できないゲージ変換に対応します。したがって、BPSTソリューションはトポロジー的に安定しています。
自己のデュアル構成が関係従うことを示すことができるF μν A =±½ε μναβ F αβ Aアクションを最小限にします。プラス記号の付いたソリューションはインスタントンと呼ばれ、マイナス記号の付いたソリューションはアンチインスタントンです。
インスタントンとアンチインスタントンは、次のようにローカルでアクションを最小限に抑えるように表示できます。〜 μ ν 〜 μ ν= μ
ν μ ν {{ tilde {F}} _ { mu nu} { tilde {F}} ^ { mu nu} = F _ { mu nu} F ^ { mu nu}}
、どこ〜 μ ν=1 2ϵ μ
ν ρ σ ρ σ {{ tilde {F}} _ { mu nu} = { frac {1} {2}} epsilon _ { mu nu} ^ { rho sigma} F _ { rho sigma }}
。 = ∫4 1 4 2 =
∫4 8（（ ±± 〜
）。2 ∫4 1
4 〜
{S = int dx ^ {4} { frac {1} {4}} F ^ {2} = int dx ^ {4} { frac {1} {8}}（F pm { tilde {F}}）^ {2} mp int dx ^ {4} { frac {1} {4}} F { tilde {F}}}

最初の項は、セルフデュアルまたはアンチセルフデュアル構成によって最小化されますが、最後の項は全微分であるため、境界のみに依存します（つまり、 ∞ {x rightarrow infty}

）ソリューションの; したがって、これは位相不変であり、整数に定数を掛けたものであることが示されます（ここでの定数は8 22
{{ frac {8 pi ^ {2}} {g ^ {2}}}}

）。整数はインスタントン数と呼ばれます（ホモトピー群を参照）。
明示的にインスタントン解はによって与えられます。 μ （（）。 = 2 η μ ν （（ − z ）。 ν （（ − z ）。2 + ρ 2 {A _ { mu} ^ {a}（x）= { frac {2} {g}} { frac { eta _ { mu nu} ^ {a}（xz）_ { nu }} {（xz）^ {2} + rho ^ {2}}}}
Z μ中心とのInstantOnのスケールρ。η μνはある「Tホーフト記号： η μ
ν = {{ ϵ μ ν μ ν = 1 2 3 − δ ν = 4 δ μ ν =4 0μ = ν =
4 { eta _ { mu nu} ^ {a} = { begin {cases} epsilon ^ {a mu nu}＆ mu、 nu = 1，2，3 \- delta ^ {a nu}＆ mu = 4 \ delta ^ {a mu}＆ nu = 4 \ 0＆ mu = nu = 4 end {cases}}。}
x 2が大きい場合、ρは無視できるようになり、ゲージ場は純粋なゲージ変換の場に近づきます。 0 + I ⋅
σ 2
{{ frac {x ^ {0} + i mathbf {x} cdot mathbf { sigma}} { sqrt {x ^ {2}}}}}

。確かに、電界強度は次のとおりです。 2ϵ I kk 0 I 4 ρ 2 δ I （（ 2+ρ 2
）。 2 {{ frac {1} {2}} epsilon _ {ijk} {F ^ {a}} _ {jk} = {F ^ {a}} _ {0i} = { frac {4 { rho} ^ {2} delta _ {ai}} {g（x ^ {2} + rho ^ {2}）^ {2}}}}

無限大でr- 4と同じ速さでゼロに近づきます。
反インスタントンは同様の表現で記述されますが、 ‘tHooft記号がanti-‘tHooft記号に置き換えられます。η ¯ μ
ν {{ bar { eta}} _ { mu nu} ^ {a}}

、これは通常の ‘t Hooftシンボルと同じですが、ローレンツインデックスの1つが4に等しいコンポーネントの符号が反対である点が異なります。
BPSTソリューションには多くの対称性が平行移動と膨張は、ソリューションを他のソリューションに変換します。反転座標（X μ X μ / X 2）1 /ρ及びその逆のサイズを有する抗のInstantOnにサイズρののInstantOnを変換します。ユークリッド4空間変換と特殊な共形変換の回転は、解を不変のままにします（ゲージ変換まで）。
インスタントンの古典的な作用はに等しい =8 π
2 2 {S = { frac {8 pi ^ {2}} {g ^ {2}}}。}
この量は経路積分形式で指数関数的になるため、関数e -1 / x ^ 2は他の場所ではゼロではないにもかかわらず、原点でテイラー級数が消失するため、これは本質的に非摂動的効果です。

その他のゲージ
上記のBPSTインスタントンの式は、いわゆる通常のランダウゲージに単数のランダウゲージには、上記の式とゲージに相当する別の形式が存在します。これらのゲージの両方において、発現満たす∂ μ A μ = 0で特異ゲージでのInstantOnであります μ （（）。 = 2 ρ 2 （（ − z ）。2 η ¯ μ ν （（ − z ）。 ν （（ − z ）。2 + ρ
2 {A _ { mu} ^ {a}（x）= { frac {2} {g}} { frac { rho ^ {2}} {（xz）^ {2}}} { frac {{ bar { eta}} _ { mu nu} ^ {a}（xz）_ { nu}} {（xz）^ {2} + rho ^ {2}}}。}
$A_{mu }^{a}(x)={frac 2g}{frac {rho ^{2}}{(x-z)^{2}}}{frac {{bar eta }_{{mu nu }}^{a}(x-z)_{nu }}{(x-z)^{2}+rho ^{2}}}.$ 特異点ゲージでは、式はインスタントンの中心に特異点がありますが、xが無限大になると、より迅速にゼロになります。
ランダウゲージ以外のゲージで作業する場合、同様の表現が文献に記載されています。

一般化と他の理論への埋め込み
有限温度では、BPSTインスタントンはいわゆるカロロンに一般化されます。
上記は、ゲージ群としてSU（2）を使用するヤンミルズ理論に当てはまります。これは、任意の非アーベル群に容易に一般化できます。次に、インスタントンは、グループ空間の一部の方向ではBPSTインスタントンによって与えられ、他の方向ではゼロによって与えられます。
ヒッグスメカニズムによる自発的対称性の破れを伴うヤンミルズ理論に目を向けると、BPSTインスタントンはもはや場の方程式の正確な解ではないことがわかります。近似解を見つけるために、制約付きインスタントンの形式を使用できます。
インスタントンの気体と液体編集

QCDで
BPSTのようなインスタントンはQCDの真空構造において重要な役割を果たすことが期待されています。インスタントンは確かに格子計算で見つかります。インスタントンで実行された最初の計算では、希ガス近似を使用しました。得られた結果はQCDの赤外線問題を解決せず、多くの物理学者がインスタントン物理学から目をそらしました。しかし、後に、インスタントン液体モデルが提案され、より有望なアプローチであることが判明しました。
ガスモデルのInstantOn希釈はQCDの真空BPSTのインスタントンのガスからなることを仮定から外れます。1つまたは少数のインスタントン（またはアンチインスタントン）を含むソリューションのみが正確にわかっていますが、インスタントンとアンチインスタントンの希薄ガスは、互いに遠い距離にある1つのインスタントンソリューションの重ね合わせを考慮することで近似できます。Hooftは、そのようなアンサンブルの効果的なアクションを計算し、大きなインスタントンの赤外発散を発見しました。これは、無限に大きなインスタントンが無限に真空に存在することを意味します。
その後、インスタントン液体モデルが研究されました。このモデルは、インスタントンのアンサンブルを個別のインスタントンの単なる合計では記述できないという仮定から始まります。インスタントン間の相互作用を導入したり、変分法（「谷近似」など）を使用して、正確なマルチインスタントン解を可能な限り近似するように努めるさまざまなモデルが提案されています。多くの現象論的成功が達成されました。閉じ込めは、インスタントンがまったく答えを持たないヤン・ミルズ理論の最大の問題のようです。

電弱理論では
弱い相互作用は、そのインスタントンをもそこに役割を果たすことが期待できるので、SU（2）に記載されています。もしそうなら、それらはバリオン数違反を誘発するでしょう。ヒッグスメカニズムにより、インスタントンはもはや正確な解ではありませんが、代わりに近似を使用できます。結論の1つは、ゲージボソンの質量の存在が大きなインスタントンを抑制するため、インスタントンガスの近似が一貫しているということです。
インスタントンの非摂動性質のために、すべてのそれらの効果は、電子の因子によって抑制される-16π²/ gの²、電弱理論的には、オーダー10である、-179。

場の方程式に対する他の解
インスタントンと反インスタントンは、ウィック回転ヤンミルズ場の方程式の唯一の解ではありません。2と3に等しいqに対してマルチインスタントン解が見つかり、より高いqに対しても部分解が存在します。一般的なマルチインスタントンソリューションは、谷近似を使用してのみ近似できます。1つは特定の仮説（通常は必要なインスタントン数の合計）から開始し、もう1つは特定の制約の下でアクションを数値的に最小化します（インスタントンの数とサイズを維持します）。インスタントン定数の）。
セルフデュアルではないソリューションも存在します。これらはアクションの極小値ではありませんが、代わりに鞍点に対応します。
インスタントンはメロンとも密接に関連しており、トポロジカル電荷1/2のユークリッドヤンミルズ場方程式の特異な非二元解です。インスタントンは2つのメロンで構成されていると考えられています。

も参照してください
インスタントン
メロン
ウーヤンモノポール

参考文献
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