BRST_quantization
で理論物理学、BRSTの形式主義、またはBRST量子化（BRSTは、最後の名前を指すカーロ・ベックチ、アランRouetの は、レイモンド・ストーラとイガー・タイウティンは）比較的厳密な数学的アプローチを表す量子場の理論を用いてゲージ対称性。初期の場の量子論（QFT）フレームワークの量子化規則は、特に非アーベル群では、証明よりも「処方箋」または「ヒューリスティック」に似ていました。表面的に奇妙な性質を持つ「ゴーストフィールド」の使用が繰り込みと異常キャンセルに関連する技術的理由のためにほとんど避けられないQFT 。
1970年代半ばに導入されたBRSTグローバル超対称性は、これらのファデエフポポフゴーストの導入と、QFT計算を実行する際の「物理的」漸近状態からの除外を合理化するためにすぐに理解されました。重要なことに、経路積分のこの対称性はループ順序で保持されるため、ゲージ理論の再正規化を損なう可能性のある逆項の導入を防ぎます。数年後の他の著者による研究は、ゲージ理論を量子化する際の経路積分の厳密な代替案の存在にBRST演算子を関連付けました。
1980年代後半になって初めて、QFTが低次元多様体のトポロジーの問題に適用するためにファイバーバンドル言語で再定式化されたとき（トポロジー場の量子論）、BRSTの「変換」が基本的に幾何学的な性質であることが明らかになりました。この観点から、「BRST量子化」は、異常をキャンセルするゴーストに到達するための代替方法以上のものになります。ゴーストフィールドが何を表しているのか、ファデエフポポフ法が機能する理由、および摂動フレームワークを構築するためのハミルトニアン力学の使用とどのように関連しているかについては、別の見方がゲージ不変性と「BRST不変性」の関係により、正準量子化形式でよく知られている規則に従って、状態が「粒子」で構成されるハミルトン系を選択する必要がしたがって、この難解な一貫性条件は、最初に物理学で量子とフェルミ粒子がどのように発生するかを説明するのに非常に近いものです。
特定の場合、特に重力と超重力では、BRSTは、より一般的な形式であるBatalin-Vilkovisky形式に取って代わられる必要が
コンテンツ
1 技術概要
1.1 古典的なBRST
2 QFTにおけるゲージ変換
2.1 ゲージ固定と摂動論 2.2 ゲージ固定へのBRST前のアプローチ
3 BRSTへの数学的アプローチ
4 BRST演算子と漸近フォック空間
4.1 ユニタリー性の質問に対する久後尾島の答え
5 ゲージバンドルと垂直方向の理想
6 BRST形式
6.1 クォンタムバージョン 6.2 例
7 も参照してください
8 参考文献
8.1 引用 8.2 教科書の扱い 8.3 数学的処理 8.4 一次文献 8.5 別の視点
9 外部リンク
技術概要
BRST量子化は、微分幾何学的一貫性、実行するアプローチ異常フリー摂動計算における非アーベル ゲージ理論。BRST「形質転換」とのその関連性の分析形式繰り込み及び異常解除をすることによって説明されたカルロ・マリア・Becchi、アランRouetの、およびレイモンド・ストーラ1976「ゲージ理論の繰り込み」に至る一連の論文で。同等の変換とそのプロパティの多くは、Igor ViktorovichTyutinによって独自に発見されました。厳格なため、その意義正準量子化のヤン・ミルズ理論とへの適切なアプリケーションフォック空間瞬時フィールド構成のは太一郎Kugoと泉尾島で明らかにしました。多くの著者、特にThomasSchückerとEdward Wittenによるその後の研究により、BRST演算子と関連フィールドの幾何学的重要性が明らかになり、位相的場の量子論と弦理論に対するその重要性が強調されました。
BRSTアプローチでは、場の理論が存在するゲージバンドルの微分幾何学を使用して、ゲージ理論の作用原理に対して摂動に適したゲージ固定手順を選択します。次に、理論を量子化して、ゲージ固定手順によって導入された「非物理的」場が理論の漸近状態に現れることなくゲージ異常を解決するように、相互作用図のハミルトン系を取得します。結果は、S行列のダイソン級数摂動展開で使用するための一連のファインマン規則であり、各ループ次数で単一で繰り込み可能であることを保証します。つまり、散乱の結果について物理的予測を行うためのコヒーレント近似手法です。実験。
古典的なBRST
これは、純粋な演算子が整数のゴースト数によって等級付けされ、BRSTコホモロジーがある超 シンプレクティック多様体に関連しています。
QFTにおけるゲージ変換
実用的な観点から、場の量子論は、作用原理と摂動計算を実行するための一連の手順で構成されています。場の量子論に対して実行できる「健全性チェック」には、クォークの閉じ込めや漸近的自由などの定性的現象に適合するかどうかを判断するための他の種類がしかし、量子電気力学から現在までの場の量子論の予測的成功のほとんどは、S行列計算を散乱実験の結果と照合することによって定量化されています。
QFTの初期には、量子化と繰り込みの処方は、特に強力であるが数学的に不明確な経路積分形式に依存している場合、ラグランジアン密度と同じくらいモデルの一部であったと言わなければなりませんでした。QEDは、その相対的な扱いやすさにおいてほとんど「魔法」であり、QEDを拡張することを想像できるほとんどの方法では、合理的な計算が生成されないことがすぐに明らかになりました。しかし、場の理論の1つのクラスは有望なままでした。ゲージ理論では、理論内のオブジェクトは、物理的に区別できない場の構成の同値類を表し、そのうちの2つはゲージ変換によって関連付けられます。これは、相の局所的な変化というQEDの考え方をより複雑なリー群に一般化します。
QED自体はゲージ理論であり、一般相対性理論も同様ですが、繰り込みに関連する理由から、これまでのところ量子化に耐性があることが証明されています。ゲージ理論の別のクラスの非アーベルで始まるゲージグループ、ヤン・ミルズ理論は、主にの仕事に、1960年代後半と1970年代初頭に量子化に従順になったルートヴィヒD. Faddeev、ビクター・ポポフ、ブライス・デウィット、およびGerardus’tHooft。ただし、BRST法が導入されるまで、それらの操作は非常に困難でした。BRST法は、「破られていない」ヤンミルズ理論とヒッグスメカニズムが自発的対称性の破れにつながる理論の両方から正確な結果を抽出するために必要な計算手法と再正規化可能性の証明を提供しました。これら2種類のヤンミルズシステムの代表的なものである量子色力学と電弱理論は、素粒子物理学の標準模型に登場します。
セミヒューリスティック計算スキームを使用して正確な予測を取得するよりも、厳密な意味で非アーベル場の量子論の存在を証明することはかなり難しいことが証明されています。これは、場の量子論の分析には、数学的に連動した2つの視点が必要なためです。時空の各点で異なる値を持つ場とそれに作用する局所作用素で構成される作用関数に基づくラグランジュ系と、ディラック画像のハミルトニアン系です。、特定の時間にシステム全体を特徴付ける状態と、それらに作用するフィールド演算子で構成されます。ゲージ理論でこれを非常に難しくしているのは、理論の対象が時空上の実際には局所場ではないということです。それらは主ゲージバンドル上の右不変のローカルフィールドであり、パッシブ変換によって関連付けられたゲージバンドルの一部を通る異なるローカルセクションは、異なるディラック画像を生成します。
さらに、一連のフィールドに関するシステム全体の説明には、多くの冗長な自由度が含まれています。理論の異なる構成は、フィールド構成の同値類であるため、ゲージ変換によって相互に関連する2つの記述も、実際には同じ物理構成です。量子化ゲージ理論の「解」は、時空のすべての点で値を持つフィールドの単純な空間ではなく、要素がフィールド構成の同値類である商空間（またはコホモロジー）に存在します。BRST形式に隠れることは、すべての可能なアクティブゲージ変換に関連する変動をパラメーター化し、ラグランジュ系からハミルトン系への変換中にそれらの物理的無関係性を正しく説明するためのシステムです。
ゲージ固定と摂動論
ゲージ不変性の原理は、実行可能な場の量子論を構築するために不可欠です。しかし、一般に、最初に「ゲージを固定」せずにゲージ理論で摂動計算を実行することは不可能です。つまり、これらの「非物理的」自由度を抑制するために「ゲージ対称性を破る」作用原理のラグランジアン密度に項を追加します。ゲージ固定の考え方は、電磁気学へのローレンツゲージアプローチに戻ります。これは、明白なローレンツ不変性を維持しながら、4ポテンシャルの過剰な自由度のほとんどを抑制します。ローレンツゲージは、古典電磁気学に対するマクスウェルの場の強さのアプローチに比べて非常に単純化されており、ハミルトニアンに渡される前に、ラグランジアン段階の理論でオブジェクトの表現の過剰な自由度を処理することが有用である理由を示しています。メカニック経由ルジャンドル変換。
ハミルトン密度は、ゲージバンドル上の単位時間のような水平ベクトル場に関するラグランジアン密度のリー微分に関連しています。量子力学的文脈では、それは通常、係数によって再スケーリングされますI ℏ
{i hbar}
。空間のような断面でパーツごとに積分すると、正準量子化でおなじみの被積分関数の形が復元されます。ハミルトニアンの定義には、ベース空間上の単位時間ベクトル場、バンドル空間への水平リフト、およびベース上の各点での単位時間ベクトル場に対する「法線」（ミンコフスキー計量）の空間のような表面が含まれるためです。多様体であり、接続とローレンツフレームの選択の両方に依存しており、グローバルに定義されるにはほど遠いです。しかし、それは、量子化されたハミルトニアンがダイソン級数を介して入る場の量子論の摂動フレームワークの重要な要素です。
摂動の目的で、Pの3次元水平空間のような断面全体の理論のすべてのフィールドの構成を1つのオブジェクト（フォック状態）に収集し、この状態の「進化」を時間の経過とともに記述します。相互作用画像。フォック空間は、によって張られる多粒子の固有状態「乱されていない」または「非相互作用」部分の 0
{{ mathcal {H}} _ {0}}
ハミルトニアン {{ mathcal {H}}}
。したがって、フォック状態の瞬間的な記述は、の固有状態の複素振幅加重和です。 0
{{ mathcal {H}} _ {0}}
。相互作用図では、摂動されていないハミルトニアンの各固有状態がそのエネルギー（摂動されていないハミルトニアンの対応する固有値）に比例する一定の位相回転速度を経験することを規定することにより、異なる時間でのフォック状態を関連付けます。
したがって、ゼロ次近似では、フォック状態を特徴付ける重みのセットは時間の経過とともに変化しませんが、対応するフィールド構成は変化します。より高い近似では、重みも変化します。高エネルギー物理学における衝突型加速器の実験は、これらの重みの変化率の測定に相当します（または、散乱イベントの初期条件と最終条件の不確実性を表す分布に対するそれらの積分）。ダイソン級数は、間の不一致の影響をキャプチャします 0
{{ mathcal {H}} _ {0}}
そして真のハミルトニアン {{ mathcal {H}}}
、結合定数 gのべき級数の形で; これは、場の量子論から定量的な予測を行うための主要なツールです。
ダイソン級数を使用して何かを計算するには、ゲージ不変のラグランジアン密度以上のものが必要です。また、理論のファインマン規則に入る量子化とゲージ固定の処方箋も必要です。ダイソン級数は、特定のQFTのハミルトニアンに適用されると、さまざまな種類の無限積分を生成します。これは、これまでに使用可能なすべての場の量子論を有効場の理論と見なす必要があるためです。これは、実験的に調べることができるため、紫外発散に対して脆弱な特定の範囲のエネルギースケールでの相互作用のみを記述します。これらは、繰り込みの標準的な手法で処理できる限り、許容できます。それらが無限の一連の無限の繰り込みをもたらす場合、またはさらに悪いことに、キャンセルされていないゲージ異常などの明らかに非物理的な予測をもたらす場合、それらはそれほど許容できません。再正規化可能性とゲージ不変性の間には深い関係があり、ゲージを固定して扱いやすいファインマン規則を取得しようとすると、簡単に失われます。
ゲージ固定へのBRST前のアプローチ
連続体電気力学の従来のゲージ固定処方は、ローレンツゲージなどの制約方程式を使用して、各ゲージ変換関連の同値類から一意の代表を選択します ∂ μ μ= 0
{ partial ^ { mu} A _ { mu} = 0}
。この種の処方は、QEDなどのアベリアンゲージ理論に適用できますが、古典理論のウォードアイデンティティが量子論に引き継がれる理由、つまり、内部の縦方向に分極されたファインマン図を含む理由を説明するのは困難です。仮想光子はS行列の計算には寄与しません。このアプローチは、ヤンミルズ理論と電弱理論のSU（2）や量子色力学のSU（3）などの非アーベルゲージ群にも一般化されそれは、グリボフの曖昧さと、ある意味でフィールド構成の物理的に重要な変化に対して「直交」であるゲージ固定制約を定義することの難しさに悩まされています。
より洗練されたアプローチは、ゲージ変換の自由度にデルタ関数制約を適用しようとはしません。構成空間の特定の「拘束面」にゲージを「固定」する代わりに、ラグランジアン密度に追加の非ゲージ不変項を追加することで、ゲージの自由度を破ることができます。ゲージ固定の成功を再現するために、この項は、目的の拘束に対応するゲージの選択に対して最小になり、拘束面からのゲージの偏差に二次関数的に依存するように選択されます。ファインマン経路積分の基礎となる鞍点近似により、摂動計算への主な寄与は、制約面の近くのフィールド構成からもたらされます。
方法使用して、このラグランジアンに関連付けられた摂動拡張機能量子化は、一般的と呼ばれるR ξゲージ。アーベルU（1）ゲージの場合、正準量子化の方法で得られるのと同じファインマン規則のセットになります。ただし、重要な違いが壊れたゲージの自由度は、全体的な正規化の追加要素として汎関数積分に現れます。この係数は、ゲージの自由度に沿った摂動のラグランジアンへの寄与が特定の「物理的」場の構成に依存しない場合にのみ、摂動展開から引き出すことができます（無視できます）。これは、非アーベルゲージ群には当てはまらない条件です。問題を無視して、「ナイーブな」関数量子化から得られたファインマン規則を使おうとすると、計算に除去できない異常が含まれていることがわかります。
QCDの摂動計算の問題は、ファデエフポポフゴーストと呼ばれる追加のフィールドを導入することで解決されました。ファデエフポポフゴーストは、ゲージ固定ラグランジアンへの寄与により、非アーベルゲージの「物理的」および「非物理的」摂動の結合によって導入された異常を相殺します。分野。機能量子化の観点から、フィールド構成の「非物理的」摂動（ゲージ変換）は、すべての（微小）摂動の空間の部分空間を形成します。非アーベルの場合、より大きな空間へのこの部分空間の埋め込みは、摂動が発生する周囲の構成に依存します。ラグランジアンのゴースト項は、この埋め込みのヤコビアンの汎関数行列式を表し、ゴーストフィールドのプロパティは、残りの「物理的」摂動軸の汎関数行列式を修正するために、行列式に必要な指数によって決定されます。
BRSTへの数学的アプローチ
BRST構造は、位相空間M上でコンパクトに接続されたリー群Gのハミルトン作用の状況に適用されます。 しましょう {{ mathfrak {g}}}
Gのリー代数になり、 0 ∈ ∗
{0 in { mathfrak {g}} ^ {*}}
モーメントマップの通常の値 Φ ： ∗
{ Phi：M to { mathfrak {g}} ^ {*}}
。させて 0=Φ − 1 （（ 0 ）。 {M_ {0} = Phi ^ {-1}（0）}
。M 0のGアクションが自由で適切であると仮定し、スペースを考慮します 〜= 0
/ {{ widetilde {M}} = M_ {0} / G}
Gの上-orbits M 0としても知られている、シンプレクティック還元商 〜= /
/ {{ widetilde {M}} = M // G}
。
まず、M内でM 0を定義する関数の通常のシーケンスを使用して、コシュル複体を構築します。 Λ ⋅ ⊗ ∞（（ ）。 { Lambda ^ { cdot} { mathfrak {g}} otimes C ^ { infty}（M）。}
この複合体上の差、δは、奇数であるC ∞（M）傾斜の-linear導出C ∞（M） -代数 Λ ⋅⊗ ∞（（ ）。
{ Lambda ^ { cdot} { mathfrak {g}} otimes C ^ { infty}（M）}
。この奇妙な導出は、リー代数ホモモルフィムを拡張することによって定義されます ∞（（ ）。
{{ mathfrak {g}} to C ^ { infty}（M）}
ハミルトニアンアクション。結果として得られるコシュル複体は、 （（ NS）。
{S（{ mathfrak {g}}）}
-module C ∞（M）、 （（ NS）。
{S（{ mathfrak {g}}）}
の対称代数です {{ mathfrak {g}}}
、およびモジュール構造は環準同型に由来します （（ NS）。 ∞ （（ ）。
{S（{ mathfrak {g}}） to C ^ { infty}（M）}
ハミルトニアン作用によって誘発される ∞（（ ）。
{{ mathfrak {g}} to C ^ { infty}（M）}
。
このコシュル複体は、 （（ NS）。
{S（{ mathfrak {g}}）}
-モジュール ∞（（ 0）。
{C ^ { infty}（M_ {0}）}
、 NS、 （（ Λ
⋅ ⊗ ∞（（ ）。 δ
）。 = {{ ∞（（ 0）。 = 0 0 ≠ 0 {H ^ {j}（ Lambda ^ { cdot} { mathfrak {g}} otimes C ^ { infty}（M）、 delta）= { begin {cases} C ^ { infty }（M_ {0}）＆j = 0 \ 0＆j neq 0 end {cases}}}
次に、コシュル複体のシュヴァリー-アイレンベルク複体を考えます。 Λ ⋅⊗ ∞（（ ）。
{ Lambda ^ { cdot} { mathfrak {g}} otimes C ^ { infty}（M）}
リー代数上のdgモジュールと見なされます {{ mathfrak {g}}}
： K ⋅ ⋅= ⋅（（、 Λ ⋅⊗ ∞（（ ）。 ）。 = Λ ⋅ ∗⊗ Λ
⋅ ⊗ ∞（（ ）。 {K ^ { cdot、 cdot} = C ^ { cdot} left（{ mathfrak {g}}、 Lambda ^ { cdot} { mathfrak {g}} otimes C ^ { infty}（M） right）= Lambda ^ { cdot} { mathfrak {g}} ^ {*} otimes Lambda ^ { cdot} { mathfrak {g}} otimes C ^ { infty }（NS）。}
「水平」ディファレンシャル ： K I ⋅K I +
1 ⋅
{d：K ^ {i、 cdot} to K ^ {i + 1、 cdot}}
係数で定義されます Λ ⋅ ⊗ ∞（（ ）。
{ Lambda ^ { cdot} { mathfrak {g}} otimes C ^ { infty}（M）}
の行動によって {{ mathfrak {g}}}
と Λ ⋅ ∗
{ Lambda ^ { cdot} { mathfrak {g}} ^ {*}}
リー代数がであるリー群Gの右不変微分形式の外微分として {{ mathfrak {g}}}
。
Tot（K）を次のような複合体とします。
トット（（ K
）。 = ⨁ I
− = K I 、 { operatorname {Tot}（K）^ {n} = bigoplus nolimits _ {ij = n} K ^ {i、j}}
微分D = d +δで。（Tot（K）、 D）のコホモロジー群は、二重複合体に関連付けられたスペクトル系列を使用して計算されます（（ K
⋅ ⋅
、 、 δ ）。
{ displaystyle（K ^ { cdot、 cdot}、d、 delta）}
。
スペクトル系列の最初の項は、「垂直」微分δのコホモロジーを計算します。E 1 I
、 = （（ K
I ⋅ δ
）。= Λ
私 ∗
⊗ ∞（（ 0 ）。 {E_ {1} ^ {i、j} = H ^ {j}（K ^ {i、 cdot}、 delta）= Lambda ^ {i} { mathfrak {g}} ^ {*} otimes C ^ { infty}（M_ {0}）}
、j = 0の場合は
ゼロ、それ以外の場合はゼロ。
スペクトル系列の最初の項は、垂直微分形式の複合体として解釈される場合があります（（ Ωert ⋅（（ 0 ）。 、 vert ）。 { displaystyle（ Omega _ { operatorname {vert}} ^ { cdot}（M_ {0}）、d _ { operatorname {vert}}）}
ファイバーバンドル用 0 〜 {M_ {0} to { widetilde {M}}}
。
スペクトル列の第二項は、「水平」、差動のコホモロジー計算D上をE 1
⋅ ⋅
{E_ {1} ^ { cdot、 cdot}}
：E 2 I
、 ≅ 私（（ E1 ⋅
、 、 ）。= ∞（（ 0
）。 = ∞（（ 〜 ）。 {E_ {2} ^ {i、j} cong H ^ {i}（E_ {1} ^ { cdot、j}、d）= C ^ { infty}（M_ {0}）^ { g} = C ^ { infty}（{ widetilde {M}}）}
、 もしも I = = 0 {i = j = 0}
それ以外の場合はゼロ。
スペクトル系列は第2項で崩壊するため、
E ∞ I
、=E 2 I
、 {E _ { infty} ^ {i、j} = E_ {2} ^ {i、j}}
、これはゼロ度に集中しています。
したがって、 （（ トット（（ K ）。 、 ）。= ∞（（ 0
）。 = ∞（（ 〜 ）。 {H ^ {p}（ operatorname {Tot}（K）、D）= C ^ { infty}（M_ {0}）^ {g} = C ^ { infty}（{ widetilde {M }}）}
、p = 0の場合は
0、それ以外の場合は0。
BRST演算子と漸近フォック空間
BRST演算子に関する2つの重要な注意事項がまず、ゲージ群Gを操作する代わりに、ゲージ代数の作用のみを使用できます。 {{ mathfrak {g}}}
フィールド上（位相空間上の関数）。
第二に、任意の「BRSTの変化の正確な形」S B X局所ゲージ変換に対してD λIS
[ 私 δ λ
、 ]=I δ λ（（ ）。+ （（ 私 δ λ（（NS）。 ）。 = （（ 私 δ λ（（NS）。
）。 { left [i _ { delta lambda}、s_ {B} right] s_ {B} X = i _ { delta lambda}（s_ {B} s_ {B} X）+ s_ {B} left（i _ { delta lambda}（s_ {B} X） right）= s_ {B} left（i _ { delta lambda}（s_ {B} X） right）、}