ベッセル関数 – 日本語百科事典辞書

Bessel_function
最初に数学者ダニエル・ベルヌーイによって定義され、次にフリードリヒ・ベッセルによって一般化されたベッセル関数は、ベッセルの微分方程式の正準解y（x）です。
ベッセル関数は、円形ドラムの振動モードの半径方向の部分です。 2 2 y 2 + y +（（ 2
−α 2 ）。 y= 0
{x ^ {2} { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + x { frac {dy} {dx}} + left（x ^ {2}- alpha ^ {2} right）y = 0}
任意の複素数 αの場合、ベッセル関数の次数。がαおよび-はαは同じ微分方程式を生成する、ベッセル関数は、ほとんどの機能滑らかであるようにこれら2つの値について異なるベッセル関数を定義することが一般的であるαを。
最も重要なケースは、αが整数または半整数の場合です。整数αのベッセル関数は、円筒座標でラプラス方程式の解に現れるため、円筒関数または円筒調和関数とも呼ばれます。ヘルムホルツ方程式を球面座標で解くと、半整数αの球面ベッセル関数が得られます。

コンテンツ
1 ベッセル関数の応用
2 定義
2.1 ：第一種のベッセル関数J α
2.1.1 ベッセルの積分
2.1.2 超幾何系列との関係
2.1.3 ラゲールの陪多項式との関係
2.2 ：第二種のベッセル関数Y α 2.3 ハンケル関数：H （1）α、H （2）α 2.4 修正ベッセル関数：Iのα、K α 2.5 球面ベッセル関数：j n、y n
2.5.1 母関数
2.5.2 微分関係
2.62.6 球面ハンケル関数：h （1）n、h （2）n 2.7 リカッチ-ベッセル関数：S 、N、C N、ξ nは、ζ nは
3 漸近形式
4 初等関数による完全領域近似
5 プロパティ
5.1 漸化式
6 乗法定理
7 ベッセル関数の零点
7.1 ブルジェの仮説 7.2 数値的アプローチ
8 も参照してください
9 ノート
10 参考文献
11 外部リンク

ベッセル関数の応用
ベッセル方程式は、ラプラス方程式とヘルムホルツ方程式の分離可能な解を円筒座標または球座標で見つけるときに発生します。したがって、ベッセル関数は、波の伝播と静的ポテンシャルの多くの問題にとって特に重要です。円筒座標系の問題を解く際に、整数次のベッセル関数を取得します（α = n）。球形の問題では、半整数の次数が得られます（α = n +1/2）。例えば：
円筒導波管内の電磁波
非粘性回転流の圧力振幅
円筒形の物体の熱伝導
薄い円形（または環状）の振動モードの音響膜（例えば、ドラムまたは他のmembranophone）
格子上の拡散問題
自由粒子のラジアルシュレディンガー方程式（球座標および円筒座標）の解
音響放射のパターンを解く
円形パイプラインの周波数依存摩擦
浮遊体のダイナミクス
角度分解能
DNAを含むらせん状の物体からの回折
2つの正規分布確率変数の積の確率密度関数
ベッセル関数は、信号処理などの他の問題にも現れます（たとえば、FM合成、カイザーウィンドウ、またはベッセルフィルターを参照）。

定義
これは2次線形微分方程式であるため、2つの線形独立解が必要です。ただし、状況に応じて、これらのソリューションのさまざまな定式化が便利です。さまざまなバリエーションを以下の表に要約し、次のセクションで説明します。
タイプ第一種第二種
ベッセル関数 J α Y α
変更されたベッセル関数 I α K α
ハンケル機能
NS（1）α= J α + IY α
NS（2）α= J α – IY α
球面ベッセル関数j n y n
球面ハンケル関数
NS（1）n= j n + iy n
NS（2）n= j n − iy n
第二種のベッセル関数及び第二種球ベッセル関数は、時々で表されるN 、N及びN Nはなく、それぞれ、Y NおよびY N。

：第一種のベッセル関数J α
示される第一種ベッセル関数、J α（xは）、ベッセルの微分方程式の解です。整数または正の αの場合、第1種のベッセル関数は原点で有限です（x = 0）。一方、負の非整数 αの場合、第1種ベッセル関数はxがゼロに近づくにつれて発散します。x = 0の周りの級数展開によって関数を定義することができます。これは、フロベニウス法をベッセル方程式に適用することによって見つけることができます。 α（（）。 = ∑ =0 ∞（（ − 1 ）。！ Γ （（ +α + 1 ）。（（ 2 ）。 2 +
α {J _ { alpha}（x）= sum _ {m = 0} ^ { infty} { frac {（-1）^ {m}} {m！ Gamma（m + alpha +1） }} { left（{ frac {x} {2}} right）} ^ {2m + alpha}、}
${$ ここで、Γ（z）はガンマ関数であり、階乗関数の非整数値へのシフトされた一般化です。第1種のベッセル関数は、αが整数の場合は整関数です。それ以外の場合は、特異点がゼロの多値関数です。ベッセル関数のグラフは、に比例して減衰する振動する正弦関数または余弦関数のように見えます。 −1 2
{x ^ {-{ frac {1} {2}}}}

（以下の漸近形式も参照してください）。ただし、大きなxの場合を除いて、それらの根は一般に周期的ではありません。（一連のことを示している- J 1（xは）の誘導体であり、J 0（X）同じよう、-sin Xの誘導体であるCOS X、より一般の誘導体; J N（xは）で表すことができますJ n ±1（x）以下のIDによる。）

第一種のベッセル関数のプロット
J α（X）整数次数ため、 α = 0、1、2
非整数のためのα、関数J α（X）とJ – α（X）線形独立であるため、微分方程式の二つの溶液です。一方、整数次数nの場合、次の関係が有効です（ガンマ関数は、正でない整数のそれぞれに単純な極を持ちます）。 − （（）。 = （（ − 1 ）。（（）。 {J _ {-n}（x）=（-1）^ {n} J_ {n}（x）。}
これは、2つのソリューションが線形独立ではなくなったことを意味します。この場合、2番目の線形独立解は、以下で説明するように、2番目の種類のベッセル関数であることがわかります。

ベッセルの積分
nの整数値に対するベッセル関数の別の定義は、積分表現を使用して可能です。（（）。= 1
π π cos（（ τ−sin τ
）。 τ=1 π ∫ − π I （（sin τ − τ
）。 τ {J_ {n}（x）= { frac {1} { pi}} int _ {0} ^ { pi} cos（n tau -x sin tau）、d tau = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} e ^ {i（x sin tau -n tau）} 、d tau。}
これはベッセルが使用したアプローチであり、この定義から彼は関数のいくつかのプロパティを導き出しました。Re（x）> 0：の場合、定義はシュレーフリの積分の1つによって非整数次数に拡張できます。 α（（）。= 1
π π cos（（ ατ −sin τ
）。 τ − sin α π π ∞ e
− シン −
α。
{J _ { alpha}（x）= { frac {1} { pi}} int _ {0} ^ { pi} cos（ alpha tau -x sin tau）、 d tau-{ frac { sin alpha pi} { pi}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {-x sinh t- alpha t} 、dt。}

超幾何系列との関係
ベッセル関数は、で表すことができる一般超幾何シリーズとして α（（）。 = （（ 2
）。α Γ（（ α+ 1
）。 0 1 （（ α+ 1 ;
− 2 4 ）。 {J _ { alpha}（x）= { frac { left（{ frac {x} {2}} right）^ { alpha}} { Gamma（ alpha +1）}} ; _ {0} F_ {1} left（ alpha +1;-{ frac {x ^ {2}} {4}} right）。}
この表現は、ベッセル-クリフォード関数の観点からベッセル関数の開発に関連しています。

ラゲールの陪多項式との関係
観点からラゲール多項式 LのKと任意に選択されたパラメータT、ベッセル関数は、として表すことができる α（（）。（（ 2
）。α = e
− Γ（（ α+ 1
）。 ∑ k= 0 ∞ L k（（ α ）。（（ 2
4 ）。（（ k+ α k ）。 k k ！ {{ frac {J _ { alpha}（x）} { left（{ frac {x} {2}} right）^ { alpha}}} = { frac {e ^ {-t }} { Gamma（ alpha +1）}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {L_ {k} ^ {（ alpha）} left（{ frac {x ^ {2}} {4t}} right）} { binom {k + alpha} {k}}} { frac {t ^ {k}} {k！}}。}

：第二種のベッセル関数Y α
で表される第二種のベッセル関数、Y α（X）時には代わりによって示さ、N α（xは）、原点（AT特異点を有するベッセル微分方程式の解であるX = 0）とされている多値。これらは時々呼ばれウェーバー機能をそれらがによって導入されたとして、HMウェーバー（1873）、また、ノイマン関数の後にカール・ノイマン。

第二種のベッセル関数のプロット
Y α（X）整数次数ため、 α = 0、1、2
非整数のためにα、Y α（X）に関連しているJ α（X）によってY α（（）。= α（（）。 cos （（ α π ）。
− − α （（）。
sin （（ α π ）。 {Y _ { alpha}（x）= { frac {J _ { alpha}（x） cos（ alpha pi）-J _ {- alpha}（x）} { sin（ alpha pi）}}。}
整数次数nの場合、非整数αはnになる傾向があるため、関数は制限をとることによって定義されます。
Y （（）。 = リムα Y α（（）。 {Y_ {n}（x）= lim _ { alpha to n} Y _ { alpha}（x）。}
nが非負の整数の場合、級数が
Y （（ z
）。= −（（ z 2 ）。
−π = 0 − 1 （（ −k − 1
）。！ k ！（（ z 2 4）。k + 2
π （（ z
）。ln 2 −（（ z 2 ）。π = 0 ∞（（ ψ（（ k+ 1
）。+ ψ（（ +k + 1 ）。）。（（ − z 4 ）。k k ！（（ + k ）。！ {Y_ {n}（z）=-{ frac { left（{ frac {z} {2}} right）^ {-n}} { pi}} sum _ {k = 0 } ^ {n-1} { frac {（nk-1）！} {k！}} left（{ frac {z ^ {2}} {4}} right）^ {k} + { frac {2} { pi}} J_ {n}（z） ln { frac {z} {2}}-{ frac { left（{ frac {z} {2}} right）^ {n}} { pi}} sum _ {k = 0} ^ { infty}（ psi（k + 1）+ psi（n + k + 1））{ frac { left（-{ frac {z ^ {2}} {4}} right）^ {k}} {k！（n + k）！}}}
どこ ψ （（ z ）。 { psi（z）}

あるディガンマ関数、対数微分のガンマ関数は。
対応する積分式もあります（Re（x）> 0の場合）：
Y （（）。= 1
π π sin （（sin θ − θ
）。 θ− 1
π ∞ （（ e+（（ −
1）。 e
− ）。 e − シン。
{Y_ {n}（x）= { frac {1} { pi}} int _ {0} ^ { pi} sin（x sin theta -n theta）、d theta-{ frac {1} { pi}} int _ {0} ^ { infty} left（e ^ {nt} +（-1）^ {n} e ^ {-nt} right） e ^ {-x sinh t} 、dt。}
Y α（xは）場合ベッセルの方程式の第二の線形独立な溶液として必要であるαは整数です。しかし、 Y α（xは）それ以上に意味がこれは、の「自然な」パートナーとして考えることができるJ α（X）。以下のハンケル関数に関するサブセクションも参照して
場合αは整数であるとして、第1の種類の機能についても同様であった場合、さらに、以下の関係が有効です。 Y − （（）。 = （（ − 1 ）。 Y （（）。 {Y _ {-n}（x）=（-1）^ {n} Y_ {n}（x）。}
両方J α（X）とY α（xは）である正則関数のXに複素平面の負の実軸に沿って切断しました。場合αは整数であり、ベッセル関数Jは、である全体機能のX。場合xがゼロ以外の値に固定保持され、その後、ベッセル関数は、全体の関数ですα。
αが整数の場合の第2種のベッセル関数は、フックスの定理における第2種の解の例です。

ハンケル関数：H（1）α、H（2）α
ベッセルの方程式に2つの直線の独立したソリューションのもう一つの重要な製剤は、第一及び第二種のハンケル関数、H（1）α（x）およびH（2）α（x）、として定義 α（（ 1 ）。（（）。= α（（）。+ I Y α（（）。、 α （（ 2 ）。（（）。= α（（）。 − IY α（（）。 {{ begin {aligned} H _ { alpha} ^ {（1）}（x）＆= J _ { alpha}（x）+ iY _ { alpha}（x）、\ H _ { alpha} ^ {（2）}（x）＆= J _ { alpha}（x）-iY _ { alpha}（x）、 end {aligned}}}
ここで、iは虚数単位です。これらの線形結合は、第3種のベッセル関数としても知られています。これらは、ベッセルの微分方程式の2つの線形独立解です。それらはヘルマン・ハンケルにちなんで名付けられました。
これらの形式の線形結合は、漸近式や積分表現など、多くの単純な外観のプロパティを満たします。ここで、「単純」とは、e i f（x）の形式の因子の出現を意味します。実際に >> 0 {x> 0}
0″”>
どこ α（（）。
{J _ { alpha}（x）}

、
Y α （（）。
{Y _ { alpha}（x）}

が実数値である場合、第1種と第2種のベッセル関数は、それぞれ第1ハンケル関数の実数部と虚数部、および第2ハンケル関数の実数部と負の虚数部です。したがって、上記の式はオイラーの式の類似物であり、Hを代入します。（1）α（x）、H（2）α（x） for e ±±
私 {e ^ { pm ix}}

と α（（）。
{J _ { alpha}（x）}

、
Y α （（）。
{Y _ { alpha}（x）}

にとって cos （（）。
{ cos（x）}

、
sin（（）。
{ sin（x）}

、漸近展開で明示的に示されているように。
ハンケル関数は、円筒波動方程式の外向きおよび内向きに伝播する円筒波の解をそれぞれ表すために使用されます（または、周波数の符号の規則に応じて、その逆も同様です）。
以前の関係を使用して、それらは次のように表すことができます α（（ 1 ）。（（）。=− α （（）。
− α π
私α（（）。 I sin α π 、 α（（ 2 ）。（（）。=− α （（）。
− π 私α（（）。− I
sin α
π {{ begin {aligned} H _ { alpha} ^ {（1）}（x）＆= { frac {J _ {- alpha}（x）-e ^ {- alpha pi i} J_ { alpha}（x）} {i sin alpha pi}}、\ H _ { alpha} ^ {（2）}（x）＆= { frac {J _ {- alpha}（x） -e ^ { alpha pi i} J _ { alpha}（x）} {-i sin alpha pi}}。 end {aligned}}}
場合αは整数であり、限界が計算されなければなりません。αが整数であるかどうかに関係なく、次の関係が有効です。 − α （（ 1 ）。（（）。= e α π I α （（ 1 ）。（（）。
、 − α （（ 2 ）。（（）。= e − α π I α （（ 2 ）。（（）。 {{ begin {aligned} H _ {- alpha} ^ {（1）}（x）＆= e ^ { alpha pi i} H _ { alpha} ^ {（1）}（x）、 \ H _ {- alpha} ^ {（2）}（x）＆= e ^ {- alpha pi i} H _ { alpha} ^ {（2）}（x）。 end {aligned}} }
特に、α = m +の
場合1/2M非負整数、上記の関係は、直接ことを意味します −（（ +1 2 ）。（（）。 = （（ − 1 ）。 + 1 Y +1 2（（）。Y − （（ +1 2 ）。（（）。 = （（ − 1 ）。+1 2（（）。 {{ begin {aligned} J _ {-（m + { frac {1} {2}}）}（x）＆=（-1）^ {m + 1} Y_ {m + { frac {1} {2}}}（x）、\ Y _ {-（m + { frac {1} {2}}）}（x）＆=（-1）^ {m} J_ {m + { frac {1} {2}}}（x）。 end {aligned}}}
これらは、球形ベッセル関数の開発に役立ちます（以下を参照）。
ハンケル関数は、Re（x）> 0に対して次の積分表現を認めます： α（（ 1 ）。（（）。= 1 π I ∫ − ∞ +∞ + π I
e シン −
α、 α（（ 2 ）。（（）。= − 1 π I ∫− ∞+∞ − π I
e シン −
α、
{{ begin {aligned} H _ { alpha} ^ {（1）}（x）＆= { frac {1} { pi i}} int _ {- infty} ^ {+ infty + pi i} e ^ {x sinh t- alpha t} 、dt、\ H _ { alpha} ^ {（2）}（x）＆=-{ frac {1} { pi i }} int _ {- infty} ^ {+ infty- pi i} e ^ {x sinh t- alpha t} 、dt、 end {aligned}}}
ここで、積分限界は、次のように選択できる輪郭に沿った積分を示します。負の実軸に沿って-∞から0 、虚軸に沿って0から± πi、および平行な輪郭に沿って± πiから+∞± πi実軸に。

修正ベッセル関数：Iのα、K α
ベッセル関数は、複素数の引数xに対しても有効であり、重要な特殊なケースは、純粋に虚数の引数の場合です。この場合、ベッセル方程式の解は、第1種および第2種の修正ベッセル関数（または場合によっては双曲線ベッセル関数）と呼ばれ、として定義されます。I α（（）。= I −
α α（（ I ）。 = ∑ =0
1 ！ Γ （（ +α + 1 ）。（（ 2 ）。 2 +αK α（（）。= π 2 I
− α （（）。
− （（）。
sin α
π {{ begin {aligned} I _ { alpha}（x）＆= i ^ {- alpha} J _ { alpha}（ix）= sum _ {m = 0} ^ { infty} { frac {1} {m！、 Gamma（m + alpha +1）}} left（{ frac {x} {2}} right）^ {2m + alpha}、\ K _ { alpha} （x）＆= { frac { pi} {2}} { frac {I _ {- alpha}（x）-I _ { alpha}（x）} { sin alpha pi}}、 end {aligned}}}
場合αは、整数ではありません。場合αは整数であり、その後、制限が使用されます。これらは、実数および正の引数xに対して実数値になるように選択されます。用級数展開I α（xは）このようにするためのものと同様であるJ α（X）が、交互無し（-1）、m個の因子。K α
{K _ { alpha}}

ハンケル関数で表すことができます。K α =
{{π 2 I α + 1 α （（ 1 ）。（（ I ）。− π <
arg ≤π 2 π 2（（ − I ）。α + 1 α （（ 2 ）。（（ −
I ）。 − π2
arg ≤ π {K _ { alpha} = { begin {cases} { frac { pi} {2}} i ^ { alpha +1} H _ { alpha} ^ {（1）}（ix）＆- pi < arg x leq { frac { pi} {2}} \ { frac { pi} {2}}（-i）^ { alpha +1} H _ { alpha} ^ { （2）}（-ix）＆-{ frac { pi} {2}} < arg x leq pi end {cases}}}
我々はこれらが有効である（変形ベッセル関数の点で第一および第二のベッセル関数を表現することができれば- π <引数Z ≤
π/2）： α（（私 z ）。= e α π I 2I α（（ z
）。Y α （（私 z ）。= e（（ α+ 1
）。π I 2 I α（（ z
）。− 2 π e − απ I 2 K α（（ z
）。 {{ begin {aligned} J _ { alpha}（iz）＆= e ^ { frac { alpha pi i} {2}} I _ { alpha}（z）、\ Y _ { alpha }（iz）＆= e ^ { frac {（ alpha +1） pi i} {2}} I _ { alpha}（z）-{ frac {2} { pi}} e ^ {- { frac { alpha pi i} {2}}} K _ { alpha}（z）。 end {aligned}}}
Iは、α（X）及びK α（xは）への2つの線形独立な解である変形ベッセルの方程式： 2 2 y 2 + y −（（ 2 2 ）。 y= 0。
{x ^ {2} { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + x { frac {dy} {dx}}- left（x ^ {2} + alpha ^ {2} right）y = 0。}
実引数の関数として振動している通常のベッセル関数とは異なり、私はαとK αされ、指数関数的に成長して減衰するそれぞれの機能を。通常のベッセル関数のようにJのα、機能I αはでゼロになるのx = 0のためにα > 0とで有限であるのx = 0のためα = 0。同様に、K αで発散X = 0の特異点は、対数型であるとK 0、及び½Γ（| α |）（2 / X）| α | それ以外は。

第一種の変形ベッセル関数は、
Iはα（X）について
α = 0、1、2、3

第二種の変形ベッセル関数
K α（X）について
α = 0、1、2、3
変更されたベッセル関数の2つの積分式は次のとおりです（Re（x）> 0の場合）：I α（（）。= 1 π
∫0 e cos θ cos α
θ θ − sin απ π
∫0 e − コッシュ −
α、
K α （（）。 = ∫0 e − コッシュコッシュ
αNS 。
{{ begin {aligned} I _ { alpha}（x）＆= { frac {1} { pi}} int _ {0} ^ { pi} e ^ {x cos theta} cos alpha theta 、d theta-{ frac { sin alpha pi} { pi}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {-x cosh t- alpha t} 、dt、\ K _ { alpha}（x）＆= int _ {0} ^ { infty} e ^ {-x cosh t} cosh alpha t 、dt。 end {整列}}}
ベッセル関数は、2次関数の累乗のフーリエ変換として説明できます。例えば：2 K 0（（ ω
）。= ∫
− ∞ ∞e I ωNS 2 +
1 。
{2 、K_ {0}（ omega）= int _ {- infty} ^ { infty} { frac {e ^ {i omega t}} { sqrt {t ^ {2} +1}}} 、dt。}
それはのために上記の積分の定義に平等を示すことによって証明することができK 0。これは、複素平面の第1象限に閉じた曲線を統合することによって行われます。
修正ベッセル関数K1 / 3およびK2 / 3は、急速に収束する積分で表すことができます。 K1 3 （（ ξ）。= 3
∫0 exp （（ − ξ （（ 1+ 4 2 3
）。1 +2 3
）K2 3（（ ξ）。=1 3
∫0 3+22 1+ 23 exp（（ − ξ （（ 1+ 4 2 3
）。1 +2 3
）。。
{{ begin {aligned} K _ { frac {1} {3}}（ xi）＆= { sqrt {3}} int _ {0} ^ { infty} exp left（- xi left（1 + { frac {4x ^ {2}} {3}} right）{ sqrt {1+ { frac {x ^ {2}} {3}}}} right）、dx、\ K _ { frac {2} {3}}（ xi）＆= { frac {1} { sqrt {3}}} int _ {0} ^ { infty} { frac {3 + 2x ^ {2}} { sqrt {1 + { frac {x ^ {2}} {3}}}}} exp left（- xi left（1+ { frac {4x ^ {2}} {3}} right）{ sqrt {1 + { frac {x ^ {2}} {3}}}} right）、dx。 end {aligned}}}
第2の種類の変更されたベッセル関数は、次の名前でも呼び出されています（現在はまれです）。
アルフレッドバーナードバセット後のバセット機能
第3種の修正ベッセル関数
修正されたハンケル関数
ヘクター・マンロー・マクドナルド後のマクドナルド機能

球面ベッセル関数：j n、y n

第一種の球状ベッセル関数
J N（X）は、 N = 0、1、2

第二種球ベッセル関数、 Y N（X）は、 N = 0、1、2
変数分離によって球座標でヘルムホルツ方程式を解く場合、半径方程式は次の形式になります。 2 2y 2 +
2 y +（（ 2
− （（ + 1 ）。）。 y= 0。
{x ^ {2} { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + 2x { frac {dy} {dx}} + left（x ^ {2} -n （n + 1） right）y = 0。}
この方程式には2つの線形独立なソリューションが呼び出される球ベッセル関数 J N及びY nは、通常のベッセル関数に関連しているJ 、NおよびY Nによって（（）。= π
2+1 2（（）。y （（）。= π
2 Y +1 2（（）。 = （（ − 1 ）。 +1 π
2 − −1 2（（）。 {{ begin {aligned} j_ {n}（x）＆= { sqrt { frac { pi} {2x}}} J_ {n + { frac {1} {2}}}（x）、\ y_ {n}（x）＆= { sqrt { frac { pi} {2x}}} Y_ {n + { frac {1} {2}}}（x）=（-1）^ {n + 1} { sqrt { frac { pi} {2x}}} J _ {-n-{ frac {1} {2}}}（x）。 end {aligned}}}
Y nがまた示されるN 、N又はη N。一部の著者は、これらの関数を球面ノイマン関数と呼んでいます。
球ベッセル関数は、（レイリーの公式）と書くこともできます。（（）。 = （（ − ）。（（ 1NS）。sin、
y （（）。= −（（ − ）。（（ 1NS）。 cos。
{{ begin {aligned} j_ {n}（x）＆=（-x）^ {n} left（{ frac {1} {x}} { frac {d} {dx}} 右）^ {n} { frac { sin x} {x}}、\ y_ {n}（x）＆=-（-x）^ {n} left（{ frac {1} {x }} { frac {d} {dx}} right）^ {n} { frac { cos x} {x}}。 end {aligned}}}
ゼロ番目球ベッセル関数J 0（xが）も（正規化されていない）として知られているsinc関数。最初のいくつかの球面ベッセル関数は次のとおりです。 0（（）。 = sin。 1（（）。= in 2 −
cos、 2（（）。 = （（ 3 2 1
）。 sin− 3 cos 2 、 3（（）。 = （（ 15 3 − 6 ）。 sin− （（ 15 2 1 ）。 cos{{ begin {aligned} j_ {0}（x）＆= { frac { sin x} {x}}。\ j_ {1}（x）＆= { frac { sin x} {x ^ {2}}}-{ frac { cos x} {x}}、\ j_ {2}（x）＆= left（{ frac {3} {x ^ {2}}} -1 right）{ frac { sin x} {x}}-{ frac {3 cos x} {x ^ {2}}}、\ j_ {3}（x）＆= left（ { frac {15} {x ^ {3}}}-{ frac {6} {x}} right）{ frac { sin x} {x}}- left（{ frac {15} {x ^ {2}}}-1 right）{ frac { cos x} {x}} end {aligned}}}
およびy 0（（）。 = − − 1 （（）。= −
cos、 1（（）。= − 2 （（）。= − os 2 −
罪、 2（（）。 = − − 3 （（）。 = （（ −
3 2 1
）。 cos− 3in 2y 3（（）。= − 4 （（）。 = （（ − 15 3 +
6 ）。 cos− （（ 15 2 1
）。 sin。 {{ begin {aligned} y_ {0}（x）＆=-j _ {-1}（x）=-{ frac { cos x} {x}}、\ y_ {1}（x ）＆= j _ {-2}（x）=-{ frac { cos x} {x ^ {2}}}-{ frac { sin x} {x}}、\ y_ {2}（ x）＆=-j _ {-3}（x）= left（-{ frac {3} {x ^ {2}}} + 1 right）{ frac { cos x} {x}}- { frac {3 sin x} {x ^ {2}}}、\ y_ {3}（x）＆= j _ {-4}（x）= left（-{ frac {15} {x ^ {3}}} + { frac {6} {x}} right）{ frac { cos x} {x}}- left（{ frac {15} {x ^ {2}}} -1 right）{ frac { sin x} {x}}。 end {aligned}}}

母関数
球ベッセル関数には母関数があります。1 z cos（（ z
2− 2 z
NS）。 = ∑ = 0 ∞！ − 1 （（ z
）。 1 z sin （（ z
2− 2 z
NS）。 = ∑ =0 ！
y − 1 （（ z
）。 {{ begin {aligned} { frac {1} {z}} cos left（{ sqrt {z ^ {2} -2zt}} right）＆= sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {t ^ {n}} {n！}} j_ {n-1}（z）、\ { frac {1} {z}} sin left（{ sqrt {z ^ {2} -2zt}} right）＆= sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {t ^ {n}} {n！}} y_ {n-1}（ z）。 end {aligned}}}

微分関係
以下では、F Nのいずれかであり、J 、N、Y N、H（1）n、h（2）n以下のため、N = 0、±1、±2、… （（ 1
z z）。（（ z +
1 （（ z ）。）。 = z − +
1 − （（ z
）。（（ 1
z z）。（（ z
−（（ z ）。）。 = （（ − 1 ）。 z
− −+ （（ z
）。 {{ begin {aligned} left（{ frac {1} {z}} { frac {d} {dz}} right）^ {m} left（z ^ {n + 1} f_ {n}（z） right）＆= z ^ {n-m + 1} f_ {nm}（z）、\ left（{ frac {1} {z}} { frac {d} { dz}} right）^ {m} left（z ^ {-n} f_ {n}（z） right）＆=（-1）^ {m} z ^ {-nm} f_ {n + m }（z）。 end {aligned}}}

球形ハンケル関数：h（1）n、h（2）n
ハンケル関数の球形の類似物も（（ 1 ）。（（）。= （（）。+ I
y （（）。
、（（ 2 ）。（（）。= （（）。 − I
y （（）。 {{ begin {aligned} h_ {n} ^ {（1）}（x）＆= j_ {n}（x）+ iy_ {n}（x）、\ h_ {n} ^ {（2 ）}（x）＆= j_ {n}（x）-iy_ {n}（x）。 end {aligned}}}
実際、標準の三角関数の観点から、半整数次のベッセル関数、したがって球形ベッセル関数には、単純な閉形式の式が特に、非負の整数の場合n：（（ 1 ）。（（）。 = （（ − I ）。 +1 e
私∑ =
0 I ！（（ 2 ）。（（ + ）。！（（ − ）。
！ {h_ {n} ^ {（1）}（x）=（-i）^ {n + 1} { frac {e ^ {ix}} {x}} sum _ {m = 0} ^ {n} { frac {i ^ {m}} {m！、（2x）^ {m}}} { frac {（n + m）！} {（nm）！}}、}
およびh（2）nこれの複素共役です（実数xの場合）。たとえば、j 0（x）=
sin x/NSそして、Y 0（X）= –
cos x/NS、等々。
球面ハンケル関数は、たとえば電磁界の多重極展開など、球面波の伝播に関連する問題に現れます。

リカッチ-ベッセル関数：S 、N、C N、ξ nは、ζ nは
リカッチ-Bessel機能は、わずかに球ベッセル関数とは異なります。（（）。=（（）。 = π 2 +1 2（（）。（（）。 = − y （（）。= −
π 2
Y +1 2（（）。
ξ （（）。= NS（（ 1 ）。（（）。 = π 2 +1 2（（ 1 ）。（（）。= （（）。 − 私（（）。
ζ （（）。= NS（（ 2 ）。（（）。 = π 2 +1 2（（ 2 ）。（（）。= （（）。 + I （（）。
{{ begin {aligned} S_ {n}（x）＆= xj_ {n}（x）= { sqrt { frac { pi x} {2}}} J_ {n + { frac {1 } {2}}}（x）\ C_ {n}（x）＆=-xy_ {n}（x）=-{ sqrt { frac { pi x} {2}}} Y_ {n + { frac {1} {2}}}（x）\ xi _ {n}（x）＆= xh_ {n} ^ {（1）}（x）= { sqrt { frac { pi x } {2}}} H_ {n + { frac {1} {2}}} ^ {（1）}（x）= S_ {n}（x）-iC_ {n}（x）\ zeta _ {n}（x）＆= xh_ {n} ^ {（2）}（x）= { sqrt { frac { pi x} {2}}} H_ {n + { frac {1} {2} }} ^ {（2）}（x）= S_ {n}（x）+ iC_ {n}（x） end {aligned}}}
それらは微分方程式を満たします 2 2y 2 +（（ 2
− （（ + 1 ）。）。 y= 0。
{x ^ {2} { frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + left（x ^ {2} -n（n + 1） right）y = 0。 }
たとえば、この種の微分方程式は、仮想の円筒形の無限ポテンシャル障壁を使用してシュレディンガー方程式の動径成分を解きながら、量子力学に現れます。この微分方程式、およびリカッチ-ベッセル解は、球による電磁波の散乱の問題でも発生します。これは、ミー（1908）によって最初に公開された解の後にミー散乱として知られています。最近の開発と参考資料については、たとえばDu（2004）を参照して
以下のデバイ（1909）、表記ψ nは、χ nは時々の代わりに使用されるS 、N、C N。

漸近形式
ベッセル関数には、次の漸近形式が小さな引数の0 < Z « √ α + 1、1取得し、αが負の整数ではない： α（（ z ）。〜1 （（ α+ 1 ）。（（ z
2）。
α {J _ { alpha}（z） sim { frac {1} { Gamma（ alpha +1）}} left（{ frac {z} {2}} right）^ { alpha }。}
ときαが負の整数である、我々は持っています α（（ z
）。〜（（ − 1 ）。 α （（ − α ）。！（（ 2
z）。
α {J _ { alpha}（z） sim { frac {（-1）^ { alpha}} {（- alpha）！}} left（{ frac {2} {z}} 右）^ { alpha}。}
第2の種類のベッセル関数には、次の3つのケースがY α（（ z
）。〜 {{2 π（（ ln（（ z 2 ）。+ γ ）。もしも α = 0 − Γ（（ α
）。 π （（ 2 z ）。 α +1 （（ α+ 1 ）。（（ z 2 ）。 α ベビーベッド（（ α π ）。
もしも α は非正の整数ではありません（1つの項が支配的でない限り α 虚数です） −（（ − 1 ）。α Γ（（ − α ）。 π （（ z 2 ）。 α もしも α は負の整数であり、
{Y _ { alpha}（z） sim { begin {cases} { dfrac {2} { pi}} left（ ln left（{ dfrac {z} {2}} right ）+ gamma right）＆{ text {if}} alpha = 0 \-{ dfrac { Gamma（ alpha）} { pi}} left（{ dfrac {2} {z} } right）^ { alpha} + { dfrac {1} { Gamma（ alpha +1）}} left（{ dfrac {z} {2}} right）^ { alpha} cot （ alpha pi）＆{ text {if}} alpha { text {は負の整数ではありません（}} alpha { text {が虚数でない限り、1つの項が支配的です）}}、\-{ dfrac {（-1）^ { alpha} Gamma（- alpha）} { pi}} left（{ dfrac {z} {2}} right）^ { alpha}＆{ text {if}} alpha { text {が負の整数の場合、}} end {cases}}}
ここで、γはオイラーの定数（0.5772 …）です。
大きな実引数の場合z≫ | α 2 –
1/4| 、第1種および第2種のベッセル関数の真の漸近形を書くことはできません（αが半整数でない限り）。無限大までゼロがあり、漸近展開と正確に一致する必要があるためです。ただし、arg zの特定の値に対して、次数の項を含む方程式を書くことができます。z | -1： α（（ z
）。= 2 π z（（ cos（（ z− α
π π 4 ）。 +e | I（（ z
）。| O（（ |z | − 1 ）。）。
にとって | arg z | < πY α （（ z
）。= 2 π z（（sin（（ z− α
π π 4 ）。 +e | I（（ z
）。| O（（ |z | − 1 ）。）。
にとって | arg z | <
π {{ begin {aligned} J _ { alpha}（z）＆= { sqrt { frac {2} { pi z}}} left（ cos left（z-{ frac { alpha pi} {2}}-{ frac { pi} {4}} right）+ e ^ { left | operatorname {Im}（z） right |} mathrm {O} left（ | z | ^ {-1} right） right）&& { text {for}} left | arg z right | < pi、\ Y _ { alpha}（z）＆= { sqrt { frac {2} { pi z}}} left（ sin left（z-{ frac { alpha pi} {2}}-{ frac { pi} {4}} right ）+ e ^ { left | operatorname {Im}（z） right |} mathrm {O} left（| z | ^ {-1} right） right）&& { text {for}} left | arg z right | < pi。 end {aligned}}}
（α =の場合
1/2これらの式の最後の項は完全に削除されます。上記の球面ベッセル関数を参照して）これらの方程式は真ですが、複素数zに対してより良い近似が利用できる場合がたとえば、zが負の実数直線に近い場合のJ 0（z）は、次のように近似されます。 0（（ z
）。≈ −
2 π z cos （（ z+ π 4 ）。
{J_ {0}（z） approx { sqrt { frac {-2} { pi z}}} cos left（z + { frac { pi} {4}} right）}
よりも 0（（ z
）。≈ 2 π z cos（（ z− π 4 ）。 {J_ {0}（z） approx { sqrt { frac {2} { pi z}}} cos left（z-{ frac { pi} {4}} right）。 }
ハンケル関数の漸近形式は次のとおりです。 α（（ 1 ）。（（ z
）。〜 2π z e I（（ z− α
π π 4 ）。にとって
− arg z < 2 π
、 α（（ 2 ）。（（ z
）。〜 2π z e − I（（ z− α
π π 4 ）。にとって − 2 π π {{ begin {aligned} H _ { alpha} ^ {（1）}（z）＆ sim { sqrt { frac {2} { pi z}}} e ^ {i left（z -{ frac { alpha pi} {2}}-{ frac { pi} {4}} right）} && { text {for}}- pi < arg z <2 pi、 \ H _ { alpha} ^ {（2）}（z）＆ sim { sqrt { frac {2} { pi z}}} e ^ {-i left（z-{ frac { alpha pi} {2}}-{ frac { pi} {4}} right）} && { text {for}}-2 pi < arg z < pi。 end {aligned}} }
これらの他の値に拡張することができる引数Zに関する方程式使用Hを（1）α（ZE IM π）とH（2）α（ZE IM π）にH（1）α（z）およびH（2）α（z）。
第一種ベッセル関数は、2つのハンケル関数の平均値であるが、ことは興味深いJ α（zが）ときにこれら二つの漸近形の平均値に漸近ないzが一方または他方の意志ができないため、負（あります使用する引数zに応じて、そこで修正します）。しかし、ハンケル関数に対する漸近フォームがための第1および第2の種類のベッセル関数のための漸近フォームを作成するために私達を許可する複雑な（非リアルタイム）のz限り| z | 一定の位相角で無限に行くのarg Z（正の実数部分を有する平方根を使用）： α（（ z ）。〜1 2π z e I（（ z− α
π π 4 ）。にとって
− arg z < 0
、 α（（ z ）。〜1 2π z e − I（（ z− α
π π 4 ）。にとって 0 < arg z < πY α （（ z ）。〜 1 2π z e I（（ z− α
π π 4 ）。にとって
− arg z < 0Y α（（ z ）。〜 1 2π z e − I（（ z− α
π π 4 ）。にとって 0 < arg z <
π {{ begin {aligned} J _ { alpha}（z）＆ sim { frac {1} { sqrt {2 pi z}}} e ^ {i left（z-{ frac { alpha pi} {2}}-{ frac { pi} {4}} right）} && { text {for}}- pi < arg z <0、\ J _ { alpha} （z）＆ sim { frac {1} { sqrt {2 pi z}}} e ^ {-i left（z-{ frac { alpha pi} {2}}-{ frac { pi} {4}} right）} && { text {for}} 0 < arg z < pi、\ Y _ { alpha}（z）＆ sim -i { frac {1} { sqrt {2 pi z}}} e ^ {i left（z-{ frac { alpha pi} {2}}-{ frac { pi} {4}} right）} && { text {for}}- pi < arg z <0、\ Y _ { alpha}（z）＆ sim -i { frac {1} { sqrt {2 pi z}}} e ^ {-i left（z-{ frac { alpha pi} {2}}-{ frac { pi} {4}} right）} && { text {for}} 0 < arg z < pi。 end {aligned}}}
修正されたベッセル関数について、ハンケルは漸近（大きな引数）展開も開発しました： I α（（ z
）。〜 ez 2 π z（（ 1− 4 α 2 −1 z +（（ 4 2 1 ）。（（ 4 2 9
）。2 ！（（ 8 z ）。2 −（（ 4 2 1 ）。（（ 4 2 9 ）。（（ 4 2 25
）。3 ！（（ 8 z ）。3 + ⋯ ）。にとって | arg z | < π2K α（（ z ）。〜 z e − z（（ 1+ 4 α 2 −1 z +（（ 4 2 1 ）。（（ 4 2 9
）。2 ！（（ 8 z ）。2 +（（ 4 2 1 ）。（（ 4 2 9 ）。（（ 4 2 25
）。3 ！（（ 8 z ）。3 + ⋯ ）。にとって | arg z | < 3 π 2 {{ begin {aligned} I _ { alpha}（z）＆ sim { frac {e ^ {z}} { sqrt {2 pi z}}} left（1-{ frac { 4 alpha ^ {2} -1} {8z}} + { frac { left（4 alpha ^ {2} -1 right） left（4 alpha ^ {2} -9 right）} {2！（8z）^ {2}}}-{ frac { left（4 alpha ^ {2} -1 right） left（4 alpha ^ {2} -9 right） left（ 4 alpha ^ {2} -25 right）} {3！（8z）^ {3}}} + cdots right）&& { text {for}} left | arg z right | <{ frac { pi} {2}}、\ K _ { alpha}（z）＆ sim { sqrt { frac { pi} {2z}}} e ^ {-z} left（1+ { frac {4 alpha ^ {2} -1} {8z}} + { frac { left（4 alpha ^ {2} -1 right） left（4 alpha ^ {2} -9 right）} {2！（8z）^ {2}}} + { frac { left（4 alpha ^ {2} -1 right） left（4 alpha ^ {2} -9 right ） left（4 alpha ^ {2} -25 right）} {3！（8z）^ {3}}} + cdots right）&& { text {for}} left | arg z 右| <{ frac {3 pi} {2}}。 end {aligned}}}
漸近形もあります（大規模な実数の場合） z {z}

）I α（（ z ）。 =1 2π z
1+ α 2 z 4 exp（（ − α arsinh（（ α
z）。+ z 1 + α 2 z 2）。（（ 1+ O（（ 1z 1 + α 2z 2 ）。
）。 {{ begin {aligned} I _ { alpha}（z）= { frac {1} {{ sqrt {2 pi z}} { sqrt {1+ { frac { alpha ^ {2}} {z ^ {2}}}}}}} exp left（- alpha operatorname {arsinh} left（{ frac { alpha} {z}} right）+ z { sqrt {1+ { frac { alpha ^ {2}} {z ^ {2}}}}} right） left（1 + O left（{ frac {1} {z { sqrt {1 + { frac { alpha ^ {2}} {z ^ {2}}}}}}} right） right）。 end {aligned}}}

α =の
場合1/2、最初の用語を除くすべての用語が消え、
私1 2（（ z
）。= 2 π z
シン（（ z
）。〜 ez 2 π z
にとって | arg z | < π 2K1 2 （（ z
）。= π
2z e −
z {{ begin {aligned} I _ { frac {1} {2}}（z）＆= { sqrt { frac {2} { pi z}}} sinh（z） sim { frac {e ^ {z}} { sqrt {2 pi z}}} && { text {for}} left | arg z right | <{ tfrac { pi} {2}}、 K _ { frac {1} {2}}（z）＆= { sqrt { frac { pi} {2z}}} e ^ {-z}。 end {aligned}}}
小さな引数の場合0 <| z | « √をα + 1、我々は持っていますI α（（ z
）。〜 1 Γ（（ α+ 1 ）。（（ z 2 ）。K α（（ z
）。〜 {{− ln（（ z 2 ）。− γ
もしも α = 0 Γ（（ α
）。 2 （（ 2 z ）。 α もしも α >> 0 {{ begin {aligned} I _ { alpha}（z）＆ sim { frac {1} { Gamma（ alpha +1）}} left（{ frac {z} {2}} right）^ { alpha}、\ K _ { alpha}（z）＆ sim { begin {cases}- ln left（{ dfrac {z} {2}} right）- gamma ＆{ text {if}} alpha = 0 \ { frac { Gamma（ alpha）} {2}} left（{ dfrac {2} {z}} right）^ { alpha} ＆{ text {if}} alpha> 0 end {cases}} end {aligned}}}
0end{cases}}end{aligned}}}””>

初等関数による完全領域近似
非常に良い近似（以下の誤差）0.3 ％
{0.3 ％}

最大値の1）ベッセル関数の 0
{J_ {0}}

引数の任意の値についてxはより小さな値のために働いて三角関数近似を接合することにより、基本機能を得ることができるX滑らかな遷移関数の使用と大引数の有効な減衰コサイン関数を含む式を有します1 1 + （（/
7）。 20 {{ frac {1} {1+（x / 7）^ {20}}}}
0 （（）。 ≈ [ 16 1 3
cos 2 1 3 cos 3 2 1 6
cos ]1 + （（ / 7 ）。20 + 2 π
| | cos [ − π 4 sgn （（）。 ] [ 1
−1 1 + （（ / 7 ）。 20 ] {J_ {0}（x） approx left [{ frac {1} {6}} + { frac {1} {3}} cos { frac {x} {2}} + { frac {1} {3}} cos { frac {{ sqrt {3}} x} {2}} + { frac {1} {6}} cos x right] { frac {1 } {1+（x / 7）^ {20}}} + { sqrt { frac {2} { pi | x |}}} cos left [x-{ frac { pi} {4 }} operatorname {sgn}（x） right] left [1-{ frac {1} {1+（x / 7）^ {20}}} right]。}

プロパティ
整数次数α = nの場合、J nは、母関数のローラン級数を介して定義されることがよく e （（ 2 ）。（（ −
1 ）。 = ∑ =− ∞
∞ （（）。 {e ^ { left（{ frac {x} {2}} right） left（t-{ frac {1} {t}} right）} = sum _ {n =- infty} ^ { infty} J_ {n}（x）t ^ {n}}
1843年にPAハンゼンによって使用されたアプローチ。（これは、周回積分または他の方法によって非整数次数に一般化できます。）整数次数のもう1つの重要な関係は、Jacobi-Anger展開です。e I z cos ϕ =
∑ =− ∞ ∞ 私（（ z
）。 e I ϕ
{e ^ {iz cos phi} = sum _ {n =- infty} ^ { infty} i ^ {n} J_ {n}（z）e ^ {in phi}}

と e
±±I z
sin ϕ= 0（（ z
）。+ 2
∑ = 1 ∞ 2 （（ z
）。 cos （（ 2 ϕ ）。 ±±2 I
∑ = 0 ∞ 2 + 1 （（ z ）。 sin （（（（ 2 + 1 ）。 ϕ ）。
{e ^ { pm iz sin phi} = J_ {0}（z）+2 sum _ {n = 1} ^ { infty} J_ {2n}（z） cos（2n phi ） pm 2i sum _ {n = 0} ^ { infty} J_ {2n + 1}（z） sin（（2n + 1） phi）}
これは、平面波を円筒波の合計として展開するため、またはトーン変調されたFM信号のフーリエ級数を見つけるために使用されます。
より一般的には、シリーズ（（ z
）。 = 0 ν ν（（ z
）。+ 2 ⋅ ∑k= 1 ∞ k
ν ν+ k（（ z ）。 {f（z）= a_ {0} ^ { nu} J _ { nu}（z）+2 cdot sum _ {k = 1} ^ { infty} a_ {k} ^ { nu } J _ { nu + k}（z）}
fのノイマン展開と呼ばれます。ν = 0の係数は明示的な形式になります k 0 =1 π I ∫ | z | = （（ z
）。O k（（ z
）。 z
{a_ {k} ^ {0} = { frac {1} {2 pi i}} int _ {| z | = c} f（z）O_ {k}（z）、dz}
どこO kがあるノイマンの多項式。
選択された関数は特別な表現を認めます（（ z
）。= ∑k= 0 ∞ k
ν ν+ 2 k（（ z ）。 {f（z）= sum _ {k = 0} ^ { infty} a_ {k} ^ { nu} J _ { nu + 2k}（z）}
と kν = 2（（ ν+ 2 k
）。 ∫ 0
∞ （（ z
）。 ν+ 2 k（（ z
）。 z z {a_ {k} ^ { nu} = 2（ nu + 2k） int _ {0} ^ { infty} f（z）{ frac {J _ { nu + 2k}（z）} {z}} 、dz}
直交関係による ∫ 0
∞ α（（ z
）。 β（（ z
）。 zz = 2 π
sin （（ π 2 （（ α− β ）。）。 − β 2 { int _ {0} ^ { infty} J _ { alpha}（z）J _ { beta}（z）{ frac {dz} {z}} = { frac {2} { pi }} { frac { sin left（{ frac { pi} {2}}（ alpha- beta） right）} { alpha ^ {2}- beta ^ {2}}}}
より一般的には、fがそのような性質の原点の近くに分岐点を持っている場合（（ z
）。= ∑
k = 0 k ν+ k（（ z ）。 {f（z）= sum _ {k = 0} a_ {k} J _ { nu + k}（z）}
それから L {{∑ k =
0 k ν+k }（（）。=1 + 2 ∑ k= 0 k（（ +1 +2
）。 ν + k {{ mathcal {L}} left { sum _ {k = 0} a_ {k} J _ { nu + k} right }（s）= { frac {1} { sqrt {1 + s ^ {2}}}} sum _ {k = 0} { frac {a_ {k}} { left（s + { sqrt {1 + s ^ {2}}} right）^ { nu + k}}}}
また ∑ k= 0 k ξ
ν+ k = 1 +
ξ ξ L
{{ }（（ 1
− 2 2
ξ）。
{ sum _ {k = 0} a_ {k} xi ^ { nu + k} = { frac {1+ xi ^ {2}} {2 xi}} { mathcal {L} } {f } left（{ frac {1- xi ^ {2}} {2 xi}} right）}
どこ L {{ }
{{ mathcal {L}} {f }}

fのラプラス変換です。
ベッセル関数を定義する別の方法は、ポアソン表現式とMehler-Sonine式です。 ν（（ z
）。 = （（ z
2）。ν Γ（（ν+1 2
）。π ∫
−1 e I
z （（ 1 −2 ）。
ν− 1
2 = 2 （（ z 2 ）。ν ⋅ π ⋅ Γ（（ 12 − ν ）。 ∫1 sin z u（（ u2 − 1
）。ν + 1 2 u
{{ begin {aligned} J _ { nu}（z）＆= { frac { left（{ frac {z} {2}} right）^ { nu}} { Gamma left （ nu + { frac {1} {2}} right）{ sqrt { pi}}}} int _ {-1} ^ {1} e ^ {izs} left（1-s ^ {2} right）^ { nu-{ frac {1} {2}}} 、ds \ ＆= { frac {2} {{ left（{ frac {z} { 2}} right）} ^ { nu} cdot { sqrt { pi}} cdot Gamma left（{ frac {1} {2}}- nu right）}} int _ {1} ^ { infty} { frac { sin zu} { left（u ^ {2} -1 right）^ { nu + { frac {1} {2}}}}} 、 du end {aligned}}}
ここで、ν> −
1/2及びZ ∈ C。この式は、フーリエ変換を使用する場合に特に役立ちます。
ベッセル方程式はxで割るとエルミート（自己隣接）になるため、解は適切な境界条件に対して直交関係を満たす必要が特に、次のようになります。 ∫ 0
1 α（u α
、）。 α（u α
、）。 =
δ 、2
[ α+ 1（（ u α 、）。]2 =
δ 、2
[ α ′ （（ u α 、）。] 2 { int _ {0} ^ {1} xJ _ { alpha} left（xu _ { alpha、m} right）J _ { alpha} left（xu _ { alpha、n} right）、dx = { frac { delta _ {m、n}} {2}} left [J _ { alpha +1} left（u _ { alpha、m} right） right] ^ {2} = { frac { delta _ {m、n}} {2}} left [J _ { alpha} ‘ left（u _ { alpha、m} right） right] ^ {2}}
ここで、α > -1、δ M、Nであり、クロネッカーのデルタ、およびU α、mは、あるm個目のゼロのJのα（X）。この直交関係は、その後の係数を抽出するために使用することができるフーリエベッセル級数関数は関数の基礎に展開され、J α（X U α、M）に固定するためのαと変化するM。
球面ベッセル関数の類似の関係はすぐに続きます。 ∫ 0
1 2 α（u α
、）。 α（u α
、）。 =
δ 、2
[ α+ 1（（ u α 、）。] 2 { int _ {0} ^ {1} x ^ {2} j _ { alpha} left（xu _ { alpha、m} right）j _ { alpha} left（xu _ { alpha、n } right）、dx = { frac { delta _ {m、n}} {2}} left [j _ { alpha +1} left（u _ { alpha、m} right） right ] ^ {2}}
小さなパラメータεに依存するxのボックスカー関数を次のように定義するとします。 ε（（）。= ε rect（（ −
1 ε ）。
{f _ { varepsilon}（x）= varepsilon operatorname {rect} left（{ frac {x-1} { varepsilon}} right）}
（ここで、rectは矩形関数です）次に、そのハンケル変換（任意の次数α > −）
1/2）、G ε（K）、接近J α（kは）としてεは任意の所与のために、ゼロに近づくK。逆、ハンケルが（同じ順序で）変換G ε（kは）であるfがε（X）： ∫ 0 ∞ k α（（ k ）。 ε（（ k
）。 k= ε（（）。
{ int _ {0} ^ { infty} kJ _ { alpha}（kx）g _ { varepsilon}（k）、dk = f _ { varepsilon}（x）}
これは、1付近を除いてすべてゼロです。εがゼロに近づくと、右側はδ（x − 1）に近づきます。ここで、δはディラックのデルタ関数です。これは（分布の意味で）制限を認めます： ∫ 0 ∞ k α（（ k ）。 α（（ k
）。 k= δ（（ − 1 ）。
{ int _ {0} ^ { infty} kJ _ { alpha}（kx）J _ { alpha}（k）、dk = delta（x-1）}
変数変換により、閉包方程式が得られます： ∫ 0
∞ α（（ u ）。 α（（ v ）。 =1 u δ（（ u− v ）。 { int _ {0} ^ { infty} xJ _ { alpha}（ux）J _ { alpha}（vx）、dx = { frac {1} {u}} delta（uv）}
以下のためのα > –
1/2。ハンケル変換は、さまざまなスケールのベッセル関数の積分として、かなり任意の関数を表現できます。球面ベッセル関数の場合、直交関係は次のとおりです。 ∫ 0
∞ 2 α（（ u ）。 α（（ v ）。 =π 2 u 2 δ（（ u− v ）。 { int _ {0} ^ { infty} x ^ {2} j _ { alpha}（ux）j _ { alpha}（vx）、dx = { frac { pi} {2u ^ { 2}}} delta（uv）}
以下のためのα > -1。
アーベルの等式に続くベッセル方程式のもう1つの重要な特性には、解のロンスキー行列式が含まれます。 α（（）。 α − αα（（）。= α {A _ { alpha}（x）{ frac {dB _ { alpha}} {dx}}-{ frac {dA _ { alpha}} {dx}} B _ { alpha}（x）= { frac {C _ { alpha}} {x}}}
ここで、α及びB αベッセルの方程式のうちの任意の2つの解決策であり、C αの一定の独立しているX（α上と考えられ、特定のベッセル関数に依存します）。特に、 α（（）。 Y
α − α Y α （（）。= 2
π {J _ { alpha}（x）{ frac {dY _ { alpha}} {dx}}-{ frac {dJ _ { alpha}} {dx}} Y _ { alpha}（x）= { frac {2} { pi x}}}

と I α（（）。 K
α − 私
α K α （（）。= −
1 、
{I _ { alpha}（x）{ frac {dK _ { alpha}} {dx}}-{ frac {dI _ { alpha}} {dx}} K _ { alpha}（x）=- { frac {1} {x}}、}
以下のためのα > -1。
以下のためにα -1>属1の偶数全体の機能、X – α J α（X）、唯一の真のゼロを有しています。させて 0 < α 1
< α 2< ⋯
< α
、 < ⋯ {0 すべての正のゼロになると、 α（（ z
）。 = （（ z 2 ）。α Γ（（ α+ 1 ）。 ∏ =1 ∞（（ 1− z
2 α 、2 ）。
{J _ { alpha}（z）= { frac { left（{ frac {z} {2}} right）^ { alpha}} { Gamma（ alpha +1）}} prod _ {n = 1} ^ { infty} left（1-{ frac {z ^ {2}} {j _ { alpha、n} ^ {2}}} right）}
（ここでは再現されていないが、参考文献で見つけることができる他の既知の積分とアイデンティティが多数）

漸化式
関数Jのα、Yのα、H（1）α、およびH（2）αすべてが漸化式を満たします 2 α Z α （（）。= Z α − 1（（）。+ Z α + 1（（）。
{{ frac {2 alpha} {x}} Z _ { alpha}（x）= Z _ { alpha -1}（x）+ Z _ { alpha +1}（x）}

と 2 Z α（（）。 =Z α − 1（（）。− Z α + 1（（）。 {2 { frac {dZ _ { alpha}（x）} {dx}} = Z _ { alpha -1}（x）-Z _ { alpha +1}（x）、}
ここで、ZはJ、Y、H （1）、またはH （2）を示します。これらの2つのアイデンティティは、他のさまざまな関係を生み出すために、結合されたり、加算または減算されたりすることがよくこのようにして、たとえば、低次（または低次導関数）の値が与えられた場合に、高次（または高次導関数）のベッセル関数を計算できます。特に、次のようになります（（ 1NS）。 [ αZ α（（）。 ] = α
− Z α − （（）。（（ 1NS）。 [ Z α （（）。α] =（（ − 1 ）。 Z α + （（）。 α+ 。
{{ begin {aligned} left（{ frac {1} {x}} { frac {d} {dx}} right）^ {m} left [x ^ { alpha} Z_ { alpha}（x） right]＆= x ^ { alpha -m} Z _ { alpha -m}（x）、\ left（{ frac {1} {x}} { frac {d } {dx}} right）^ {m} left [{ frac {Z _ { alpha}（x）} {x ^ { alpha}}} right]＆=（-1）^ {m} { frac {Z _ { alpha + m}（x）} {x ^ { alpha + m}}}。 end {aligned}}}
変更されたベッセル関数は、同様の関係に従います。 e （（ 2 ）。（（ +
1 ）。 = ∑ =− ∞ ∞ 私（（）。 {e ^ { left（{ frac {x} {2}} right） left（t + { frac {1} {t}} right）} = sum _ {n =- infty } ^ { infty} I_ {n}（x）t ^ {n}}

と e z cos θ =I 0（（ z
）。+ 2
∑ =1 ∞
私（（ z ）。 cos θ {e ^ {z cos theta} = I_ {0}（z）+2 sum _ {n = 1} ^ { infty} I_ {n}（z） cos n theta。}
と1 π ∫ 2 π ez cos（（ θ
）。+ y cos
θ θ= I 0（（ z
）。I 0（（ y
）。+ 2
∑ =1 ∞
私（（ z ）。 I （（ y
）。 {{ frac {1} {2 pi}} int _ {0} ^ {2 pi} e ^ {z cos（m theta）+ y cos theta} d theta = I_ {0}（z）I_ {0}（y）+2 sum _ {n = 1} ^ { infty} I_ {n}（z）I_ {mn}（y）。}
漸化式は次のようになります。 α− 1（（）。
− α+ 1（（）。= 2
α α（（）。
、 α− 1（（）。+ α+ 1（（）。 = 2α 、
{{ begin {aligned} C _ { alpha -1}（x）-C _ { alpha +1}（x）＆= { frac {2 alpha} {x}} C _ { alpha}（ x）、\ C _ { alpha -1}（x）+ C _ { alpha +1}（x）＆= 2 { frac {dC _ { alpha}} {dx}}、 end {aligned}} }
ここで、C α意味I α又はE αiをπのK α。これらの漸化式は、離散拡散問題に役立ちます。

乗法定理
ベッセル関数は乗法定理に従います λ −
ν ν（（ λ z ）。 = ∑ =0 ∞
1 ！（（（（ 1
− 2
）。 z 2）。 ν+ （（ z
）。 { lambda ^ {- nu} J _ { nu}（ lambda z）= sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {n！}} left（{ frac { left（1- lambda ^ {2} right）z} {2}} right）^ {n} J _ { nu + n}（z）、}
ここで、λとνは任意の複素数と見なすことができます。の場合| λ 2 – 1 | <1、上記の式は、JがYに置き換えられた場合にも当てはまります。変更されたベッセル関数の類似のアイデンティティと| λ 2 - 1 | <1は λ − ν I ν （（ λ z ）。 = ∑ =0 ∞
1 ！（（（（ λ2 −
1）。 z 2）。私 ν + （（ z ）。 { lambda ^ {- nu} I _ { nu}（ lambda z）= sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {n！}} left（{ frac { left（ lambda ^ {2} -1 right）z} {2}} right）^ {n} I _ { nu + n}（z）}

と λ
− ν K ν （（ λ z ）。 = ∑ =0 ∞（（ − 1 ）。！（（（（ λ2 −
1）。 z 2）。 K ν + （（ z
）。 { lambda ^ {- nu} K _ { nu}（ lambda z）= sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {（-1）^ {n}} {n ！}} left（{ frac { left（ lambda ^ {2} -1 right）z} {2}} right）^ {n} K _ { nu + n}（z）。}
ベッセル関数の零点編集

ブルジェの仮説
ベッセル自身が本来非負整数のことを証明したN、式J N（X）= 0における解の無数有するXを。ただし、関数J n（x）が同じグラフにプロットされている場合、x = 0のゼロを除いて、nの異なる値に対してゼロは一致していないように見えます。この現象は、ベッセル関数を研究した19世紀のフランスの数学者にちなんでブルジェの仮説として知られています。具体的には、任意の整数のことを述べてN ≥0とM ≥1 、関数J N（X）およびJ N + M（xは） 1つ以外の共通零点がないX = 0。この仮説は、1929年にカール・ルートヴィヒ・シーゲルによって証明されました。

数値的アプローチ
ベッセル関数の零点に関する数値研究については、Gil、Segura＆Temme（2007）、Kravanja etal。を参照して（1998）およびMoler（2004）。

も参照してください
怒りの機能
ベッセル-クリフォード関数
ベッセル-メイトランド機能
ベッセル多項式
フーリエベッセルシリーズ
Schlömilchのシリーズ
ハーンエクストンQ -Bessel機能
ハンケル変換
不完全なベッセル関数
ジャクソンq-ベッセル関数
ケルビン関数
Kontorovich-Lebedev変換
Lerche–Newberger合計ルール
ロンメル機能
ロンメル多項式
ノイマン多項式
ソニン式
ストルーブ機能
円形ドラムの振動
ウェーバー機能

ノート
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外部リンク
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