ブロッホ群

Bloch_group
数学では、ブロッホ群はブロッホ-ススリン複合体のコホモロジー群であり、スペンサーブロッホとアンドレイススリンにちなんで名付けられました。これは、多重対数、双曲幾何学、代数的K理論と密接に関連しています。

コンテンツ
1 ブロッホ-ウィグナー関数
2 意味
3 Kとの関係3とブロッホ群
4 3次元の双曲幾何学との関係
5 一般化
6 参考文献

ブロッホ-ウィグナー関数
二重対数の関数は級数で定義された関数であります李 2（（ z
）。= ∑
k= 1 ∞ z k k
2 { operatorname {Li} _ {2}（z）= sum _ {k = 1} ^ { infty} {z ^ {k} over k ^ {2}}。}
  これは、統合のパスが1から+∞へのカットを回避する解析接続によって拡張できます。李 2（（ z
）。= − ∫
0 z ログ（（ 1
− ）。。
{ operatorname {Li} _ {2}（z）=- int _ {0} ^ {z} { log（1-t） over t} 、 mathrm {d} t。}
  Bloch–Wigner関数は、次のように対数関数に関連付けられています。 2（（ z
）。= I（（ 李 2 （（ z ）。 ）。+ arg（（ 1− z ）。 ログ | z | { operatorname {D} _ {2}（z）= operatorname {Im}（ operatorname {Li} _ {2}（z））+ arg（1-z） log | z |}

 、 もしも z ∈∖
{{ 0 1 } {z in mathbb {C} setminus {0，1 }。}
  この関数は、いくつかの注目すべき特性を享受しています。 2（（ z ）。 { operatorname {D} _ {2}（z）}

  の本当の分析です∖
{{ 0 1 } { mathbb {C} setminus {0，1 }。}

  2（（ z ）。 = 2（（ 1− 1 z ）。 = 2（（ 11 − z ）。 = − 2（（ 1 z ）。 = − 2（（ 1− z
）。 = − 2（（ − 1 − z
）。 { operatorname {D} _ {2}（z）= operatorname {D} _ {2} left（1-{ frac {1} {z}} right）= operatorname {D} _ {2} left（{ frac {1} {1-z}} right）=- operatorname {D} _ {2} left（{ frac {1} {z}} right）=- operatorname {D} _ {2}（1-z）=- operatorname {D} _ {2} left（{ frac {-z} {1-z}} right）}

  2（（ ）。+ 2（（ y ）。 + 2（（ 1 − 1 − y ）。 + 2（（ 1
− y ）。 + 2（（ 1 − 1 − y ）。 = 0。 { operatorname {D} _ {2}（x）+ operatorname {D} _ {2}（y）+ operatorname {D} _ {2} left（{ frac {1-x} { 1-xy}} right）+ operatorname {D} _ {2}（1-xy）+ operatorname {D} _ {2} left（{ frac {1-y} {1-xy}} right）= 0。}
  最後の方程式は、対数に対するAbelの関数方程式の分散です（Abel 1881）。

意味
してみましょうKはフィールドであると定義します Z （（ K
）。= Z
[ K ∖ {{0 1 } ]
{ mathbb {Z}（K）= mathbb {Z} [K setminus {0，1 }]}

 記号によって生成された自由アーベル群として。アベルの関数式は、その意味D 2つのサブグループに消滅D（Kの）Z（K要素によって生成される）を + [ y] + [ 1 − 1
− y ] + [ 1 − y] + [ 1 − 1
− y ] { + + left [{ frac {1-x} {1-xy}} right] + + left [{ frac {1-y} { 1-xy}} right]}
  表すA（K）の因子群Z（Kサブグループによって）D（K）。Bloch-Suslin複合体は、次のコチェーン複合体として定義され、1度と2度に集中しています。 ∙
： （（ K
）。 ⟶ ∧ 2K ∗
{ operatorname {B} ^ { bullet}：A（K）{ stackrel {d} { longrightarrow}} wedge ^ {2} K ^ {*}}

 、 どこ = ∧（（ 1
− ）。
{d = x wedge（1-x）}

 、
その後、ブロッホ群はブロッホによって定義されました（ブロッホ1978）。 2（（ K ）。 = 1（（ スペック（（ K ）。 、 ∙ ）。 { operatorname {B} _ {2}（K）= operatorname {H} ^ {1}（ operatorname {Spec}（K）、 operatorname {B} ^ { bullet}）}
  Bloch-Suslin複合体は、正確なシーケンスになるように拡張できます。 0 ⟶ 2（（ K ）。 ⟶ （（ K ）。 ⟶ ∧
2K ∗ ⟶ K 2（（ K
）。⟶ 0
{0 longrightarrow operatorname {B} _ {2}（K） longrightarrow A（K）{ stackrel {d} { longrightarrow}} wedge ^ {2} K ^ {*} longrightarrow operatorname {K} _ {2}（K） longrightarrow 0}
  このアサーションはためです松本定理K上の2のフィールドに。

Kとの関係3とブロッホ群
cが要素を表す場合 + [ 1 − ] ∈ 2（（ K ）。 { + in operatorname {B} _ {2}（K）}

 そしてフィールドは無限であり、Suslinは要素cがxの選択に依存しないことを証明しました（Suslin 1990）、そして
コーカー（（ π 3 （（ BGM（（ K
）。 + ）。K 3（（ K ）。 ）。= 2（（ K
）。 / 2 { operatorname {coker}（ pi _ {3}（ operatorname {BGM}（K）^ {+}） rightarrow operatorname {K} _ {3}（K））= operatorname {B} _ {2}（K）/ 2c}
  ここで、GM（K）は単項式行列で構成されるGL（K）の部分群であり、BGM（K）+はQuillenのプラス構文です。さらに、K 3 MがミルナーのKグループを表すとすると、正確なシーケンスが存在します。0 Tor（（ K
∗ K
∗）。〜 K 3（（ K
）。 I 2 （（ K
）。 0 {0 rightarrow operatorname {Tor}（K ^ {*}、K ^ {*}）^ { sim} rightarrow operatorname {K} _ {3}（K）_ {ind} rightarrow 演算子名{B} _ {2}（K） rightarrow 0}
  ここで、K 3（K）IND =コーカー（K 3 M（K K）3（K及びTorの（））K *、K *）〜 Torの（固有の非自明な拡張であるK *、K *によっては）Z / 2。

3次元の双曲幾何学との関係
Bloch-Wigner関数 2（（ z ）。 {D_ {2}（z）}

  、で定義されています ∖
{{0 1 } =1 ∖ {{
0 1 ∞ } { mathbb {C} setminus {0，1 } = mathbb {C} P ^ {1} setminus {0，1、 infty }}

  、次の意味が 3
{ mathbb {H} ^ {3}}

 3次元双曲空間であり、 3= ×× >> 0 { mathbb {H} ^ {3} = mathbb {C} times mathbb {R} _ {> 0}}
0}}””>
 その半空間モデル。の要素を考えることができます ∪
{{∞ } =1
{ mathbb {C} cup { infty } = mathbb {C} P ^ {1}}

  無限遠点として 3
{ mathbb {H} ^ {3}}

 。すべての頂点が無限大にある四面体は、理想的な四面体と呼ばれます。このような四面体を次のように表します。（（ 0 1 2
、 3）。
{ displaystyle（p_ {0}、p_ {1}、p_ {2}、p_ {3}）}

 その（符号付き）体積によって⟨0 、1 、2 、3 ⟩
{ left langle p_ {0}、p_ {1}、p_ {2}、p_ {3} right rangle}

  どこ 1 …
、 3 ∈1 {p_ {1}、 ldots、p_ {3} in mathbb {C} P ^ {1}}

 頂点です。次に、定数までの適切なメトリックの下で、その複比を取得できます。
⟨ 0 1 2 3 ⟩ 2（（ （（ 0
− 2 ）。 （（ 1
− 3 ）。 （（ 0
− 1 ）。 （（ 2
− 3 ）。 ）。
  { left langle p_ {0}、p_ {1}、p_ {2}、p_ {3} right rangle = D_ {2} left（{ frac {（p_ {0} -p_ { 2}）（p_ {1} -p_ {3}）} {（p_ {0} -p_ {1}）（p_ {2} -p_ {3}）}} right）。}
  特に、 2 （ z ）。= ⟨
0 1 z ∞ ⟩ {D_ {2}（z）= left langle 0，1、z、 infty right rangle}

 。の5つの​​用語の関係のため 2（（ z ）。 {D_ {2}（z）}

  、非縮退の理想的な四面体の境界の体積（（ 0 1 2 3
、 4）。
{ displaystyle（p_ {0}、p_ {1}、p_ {2}、p_ {3}、p_ {4}）}

  次の場合にのみ0に等しい⟨ ∂（（NS0 1 2 3
、 4）。 ⟩ = ∑ I=0 4（（ − 1 ）。 I ⟨ 0
、 。
、 ^ I 、 。
、 4 ⟩ =
0 { left langle partial（p_ {0}、p_ {1}、p_ {2}、p_ {3}、p_ {4}） right rangle = sum _ {i = 0} ^ { 4}（-1）^ {i} left langle p_ {0}、..、{ hat {p}} _ {i}、..、p_ {4} right rangle = 0 。}
  さらに、双曲多様体が与えられた = 3/ Γ
{X = mathbb {H} ^ {3} / Gamma}

  、分解することができます = ⋃ = 1 Δ（（ z ）。
{X = bigcup _ {j = 1} ^ {n} Delta（z_ {j}）}
  どこ Δ （（ z
NS）。
{ Delta（z_ {j}）}

 ある理想的な四面体。そのすべての頂点が無限大にある
∂ 3
{ partial mathbb {H} ^ {3}}

 。ここに
z {z_ {j}}

  との特定の複素数です
I z >> 0 {{ text {Im}} z> 0}
0}””>
 。それぞれの理想的な四面体は、頂点が次の場所にあるものと等角です。
0 1 z ∞
{0，1、z、 infty}

  いくつかのための z {z}

  と
I z >> 0 {{ text {Im}} z> 0}
0}””>
 。ここ z {z}

 は四面体の頂点の複比です。したがって、四面体の体積は1つのパラメータのみに依存します z {z}

 。（Neumann＆Zagier 1985）は、理想的な四面体についてharvエラー：ターゲットなし：CITEREFNeumannZagier1985（ヘルプ） Δ { Delta}

  、v o l（（ Δ（（ z ）。 ）。 = 2 （（ z ）。 {vol（ Delta（z））= D_ {2}（z）}

  どこ 2（（ z ）。 {D_ {2}（z）}

 Bloch-Wignerの対数です。一般的な双曲3次元多様体の場合、次のようになります。v o l（（ ）。 = ∑ = 1 2 （（ z ）。 {vol（X）= sum _ {j = 1} ^ {n} D_ {2}（z）}
  それらを接着することによって。モストウの剛性定理は、ボリュームの単一の値のみを持つことを保証します I z>> 0 {{ text {Im}} z_ {j}> 0}
0}””>
  すべてのために {j}

  。

一般化
ブロッホ群の概念は、二対数を三対数またはさらに高い多重対数に置き換えることにより、ゴンチャロフ（Goncharov 1991）およびザギエ（Zagier 1990）によって拡張されました。広く、それらの一般ブロッホグループBと推測されているnはに関連しなければならない代数的K理論又はmotivicコホモロジー。他の方向へのブロッホ群の一般化もたとえば、ノイマンによって定義された拡張ブロッホ群（Neumann 2004）です。

参考文献
アベル、NH（1881）。「関数に注意してください
ψ = + 22 2+ 33 2 ⋯ +2+ ⋯ { scriptstyle psi x = x + { frac {x ^ {2}} {2 ^ {2}}} + { frac {x ^ {3}} {3 ^ {2}}} + cdots + { frac {x ^ {n}} {n ^ {2}}} + cdots}
 “” （PDF）。InSylow、L。; Lie、S。（eds。）。ŒuvrescomplètesdeNielsHenrikAbel-Nouvelleédition、Tome II（フランス語）。Christiania：Grøndahl＆Søn.pp。189– 193。 （この1826年の原稿は死後にのみ出版されました。）
Bloch、S。（1978）。「代数的K理論と代数幾何学における二対数関数の応用」。永田では、M（編）。手順 Int。症状。アルグに。ジオメトリ。東京：紀伊國屋書店。pp。103–114。
ゴンチャロフ、AB（1991）。「古典的な三対数、代数的K理論、およびデデキントゼータ関数」 （PDF）。ブル。AMS。pp。155–162。
Neumann、WD（2004）。「拡張ブロッホ群とチーガー-チャーン-サイモンズクラス」。拡張ブロッホ群とチーガー-チャーン-サイモンズクラス。8。pp。413–474。arXiv：math / 0307092。Bibcode：2003math …… 7092N。土井：10.2140 /gt.2004.8.413。S2CID  9169851。
ノイマン、WD; ザギエ、D。（2004）。「双曲3次元多様体の体積」。トポロジー。24（3）：307–332。土井：10.1016 / 0040-9383（85）90004-7。
Suslin、AA（1990）。「」K 3
{ operatorname {K} _ {3}}
 フィールド、およびブロッホ・グループ」の。トゥルーマット。研。ステクロフ（ロシア語）。頁180から199まで。
ザギエ、D。（1990）。「多重対数、デデキントゼータ関数、およびフィールドの代数的K理論」。van der Geer、G。; Oort、F。; Steenbrink、J（編）。数論幾何学。ボストン：ビルクホイザー。pp。391–430。”