ブロッホ球 – 日本語百科事典辞書

Bloch_sphere
量子に力学および計算、ブロッホ球は、の幾何学的表現である純粋状態の空間二レベルの量子機械システム（キュビット物理学者にちなんで名付けられた）、フェリックス・ブロッホ。
ブロッホ球
量子力学は、ヒルベルト空間または射影ヒルベルト空間で数学的に定式化されます。量子系の純粋な状態は、対応するヒルベルト空間の1次元部分空間（または射影ヒルベルト空間の「点」）に対応します。2次元ヒルベルト空間の場合、そのようなすべての状態の空間は複雑な射影直線です。 1 { mathbb {CP} ^ {1}。}
これはブロッホ球であり、数学者にはリーマン球としても知られています。
ブロッホ球はユニット2球であり、対蹠点は相互に直交する状態ベクトルのペアに対応します。ブロッホ球の北極と南極は、通常、標準基底ベクトルに対応するように選択されます。| 0 ⟩
{| 0 rangle}
と 1 ⟩ {| 1 rangle}
、それぞれ、これは、例えば、電子のスピンアップおよびスピンダウン状態に対応する可能性がある。ただし、この選択は任意です。球の表面上の点はシステムの純粋な状態に対応し、内部の点は混合状態に対応します。ブロッホ球は、nレベルの量子システムに一般化できますが、その場合、視覚化はあまり役に立ちません。
歴史的な理由から、光学ではブロッホ球はポアンカレ球とも呼ばれ、さまざまな種類の偏光を具体的に表しています。6つの一般的な分極タイプが存在し、ジョーンズベクトルと呼ばれます。実際、アンリ・ポアンカレは、19世紀の終わりにこの種の幾何学的表現の使用を最初に提案しました。ストークスパラメータの3次元表現として。
ブロッホ球の自然な計量は、フビニ・スタディ計量です。2次元状態空間におけるユニット3球からのマッピング 2
{ mathbb {C} ^ {2}}
ブロッホ球であるホップのファイブレーション各々と、光線のスピノルブロッホ球上の一点にマッピングします。

コンテンツ
1 意味
2 u、v、w表現
3 純粋な状態
4 立体射影による純粋な2スピノール状態のプロット
5 密度演算子
6 回転
6.1 ブロッホベースの回転演算子 6.2 一般軸を中心とした回転 6.3 ブロッホ回転ジェネレーターの導出
7 も参照してください
8 参考文献

意味
正規直交基底が与えられると、純粋な状態
|ψ ⟩
{| psi rangle}
$|psi$
2レベルの量子システムのは基底ベクトルの重ね合わせとして書くことができます 0 ⟩ {| 0 rangle}

と 1 ⟩ {| 1 rangle}

ここで、2つの基底ベクトルのそれぞれの係数（またはからの寄与）は複素数です。これは、状態が4つの実数で記述されることを意味します。ただし、2つの基底ベクトルの係数間の相対位相のみが物理的な意味を持っているため（量子システムの位相は直接測定できません）、この説明には冗長性がの係数を取ることができます| 0 ⟩
{| 0 rangle}

実数で非負であること。これにより、状態を3つの実数のみで記述できるようになり、ブロッホ球の3次元が生じます。
また、量子力学から、システムの全確率は1でなければならないことがわかっています。⟨ ψ |
ψ⟩ = 1
{ langle psi | psi rangle = 1}

、または同等に
‖ | ψ⟩ ‖ 2 = 1
{{ big |} | psi rangle { big |} ^ {2} = 1}

。
この制約があれば、次のように書くことができます。
|ψ ⟩
{| psi rangle}

次の表現を使用します。 | ψ⟩ = cos（（ θ/ 2
）。 | 0⟩ + e I ϕ
sin （（ θ/ 2
）。 | 1⟩ = cos（（ θ/ 2
）。 | 0⟩ +（（ cosϕ + I
sin ϕ ）。 sin （（ θ/ 2
）。 | 1 ⟩ {| psi rangle = cos left（ theta / 2 right）| 0 rangle 、+ 、e ^ {i phi} sin left（ theta / 2 right）| 1 rangle = cos left（ theta / 2 right）| 0 rangle 、+ 、（ cos phi + i sin phi）、 sin left（ theta / 2 right ）| 1 rangle}

、どこ0 ≤ θ ≤ π
{0 leq theta leq pi}

と0 ≤ ϕ < 2 π
{0 leq phi <2 pi}

。
の値が ϕ { phi}

一意ではない場合
|ψ ⟩
{| psi rangle}

はケットベクトルの1つです（ブラケット記法を参照）。| 0 ⟩
{| 0 rangle}

また 1 ⟩ {| 1 rangle}

、で表される点 θ { theta}

と ϕ { phi}

ユニークです。
パラメータ θ { theta 、}