Bloch’s_higher_Chow_group
代数幾何学では、ブロッホの高いチョウ基の一般チョウ基は、前駆体との基本的な例であるmotivicコホモロジー（滑らかな品種のために）。これはSpencerBloch（Bloch 1986）によって導入され、基本理論はBlochとMarcLevineによって開発されました。
より正確に言えば、Voevodsky の定理は、次のことを意味します。体と整数p、q上の滑らかなスキーム Xの場合、自然な同型写像が （（ ; Z （（ ）。
）。 ≃ CH （（ 、
2 − ）。
{ operatorname {H} ^ {p}（X; mathbb {Z}（q）） simeq operatorname {CH} ^ {q}（X、2q-p）}
モチヴィックコホモロジーグループと高次チャウグループの間。
コンテンツ
1 動機
2 意味
3 プロパティ
3.1 機能性 3.2 ホモトピー不変性 3.3 ローカリゼーション
4 ローカリゼーションの定理
5 参考文献
動機
高次チャウグループの動機の1つは、ホモトピー論に特に、
α β∈ Z ∗（（ ）。
{ alpha、 beta in Z _ {*}（X）}
の代数的サイクルです {X}
サイクルを介して合理的に同等であるγ ∈ Z ∗（（ ×× Δ 1）。
{ gamma in Z _ {*}（X times Delta ^ {1}）}
、 それから γ { gamma}
間のパスと考えることができます α { alpha}
と β { beta}
、およびより高いChowグループは、より高いホモトピーコヒーレンスの情報をエンコードすることを目的としています。例えば、CH ∗（（ 、 0 ）。
{{ text {CH}} ^ {*}（X、0）}
サイクルのホモトピークラスと考えることができますがCH ∗（（ 、 1 ）。
{{ text {CH}} ^ {*}（X、1）}
サイクルのホモトピーのホモトピークラスと考えることができます。
意味
ましょXは、フィールドの上に準射影代数的手法も（「代数」の手段は、有限タイプの分離しました）。
整数ごとに ≥ 0 {q geq 0}
、 定義
Δ =
スペック（（ Z
[ 0 …
、 ] / （（ 0+ ⋯+ − 1 ）。
）。 { Delta ^ {q} = operatorname {Spec}（ mathbb {Z} [t_ {0}、 dots、t_ {q}] /（t_ {0} + dots + t_ {q}- 1））、}
これは、標準のqシンプレックスの代数的類似物です。シーケンスごとに0 ≤
私1
私2 ⋯ <
私≤ {0 leq i_ {1}
、閉じたサブスキーム 私 1 = 私
2= ⋯= I = 0 {t_ {i_ {1}} = t_ {i_ {2}} = cdots = t_ {i_ {r}} = 0}
、これは同型です
Δ − { Delta ^ {qr}}
、の顔と呼ばれます
Δ { Delta ^ {q}}
。
各iには、埋め込みがあります
∂ 、I ：
Δ −1 〜
{{ 私= 0 } ⊂
Δ 。
{ partial _ {q、i}： Delta ^ {q-1} { overset { sim} { to}} {t_ {i} = 0 } subset Delta ^ {q} 。}
私達は書く
Z I （（ ）。
{Z_ {i}（X）}
X上の代数iサイクルのグループと
z（（ 、 ）。 ⊂ Z +（（ ×× Δ NS）。
{z_ {r}（X、q） subset Z_ {r + q}（X times Delta ^ {q}）}
と適切に交差する閉じた亜変種によって生成されたサブグループの場合 ×× {X times F}
の各面Fについて
Δ { Delta ^ {q}}
。 以来
∂ 、 、 I =
id××
∂ 、 I ： ××
Δ − 1 ↪ ××
Δ { partial _ {X、q、i} = operatorname {id} _ {X} times partial _ {q、i}：X times Delta ^ {q-1} hookrightarrow X times Delta ^ {q}}
は効果的なカルティエ因子であり、ギシン完全系列があります：
∂ 、 、I ∗ ：
z （（ 、 ）。
z （（ 、 − 1 ）。
{ partial _ {X、q、i} ^ {*}：z_ {r}（X、q） to z_ {r}（X、q-1）}
、
それは（定義により）亜変種Vを交点にマッピングします（（ ××
{{ I 0 } ）。 ∩ V { displaystyle（X times {t_ {i} = 0 }） cap V.}
境界演算子を定義する=∑ I =
0（（ − 1 ）。 I ∂ 、 、I ∗
{d_ {q} = sum _ {i = 0} ^ {q}（-1）^ {i} partial _ {X、q、i} ^ {*}}
鎖複体を生成します ⋯ z （（ 、 ）。
z （（ 、 − 1 ）。
− 1
z （（ 、 0 ）。 { cdots to z_ {r}（X、q）{ overset {d_ {q}} { to}} z_ {r}（X、q-1）{ overset {d_ {q-1 }} { to}} cdots { overset {d_ {1}} { to}} z_ {r}（X、0）。}
最後に、Xのq番目に高い周群は上記の複合体のq番目のホモロジーとして定義されます。
CH （（ 、 ）。
：= （（ z （（ 、 ⋅ ）。
）。 { operatorname {CH} _ {r}（X、q）：= operatorname {H} _ {q}（z_ {r}（X、 cdot））。}
（もっと簡単に言えば、
z（（ 、 ⋅ ）。
{z_ {r}（X、 cdot）}
Dold-Kan対応を考慮すると、当然、単純なアベリア群であり、高次チャウ群はホモトピー群として定義することもできます。
CH （（ 、 ）。 ：= π z（（ 、 ⋅ ）。
{ operatorname {CH} _ {r}（X、q）：= pi _ {q} z_ {r}（X、 cdot）}
。）
たとえば、 V ⊂ ××Δ 1
{V subset X times Delta ^ {1}}
は、交差点が V （（ 0
）。 V（（ ∞ ）。 {V（0）、V（ infty）}
顔で
0 ∞
{0、 infty}
適切であるなら 1 （ V ）。= V（（ 0
）。− V（（ ∞ ）。 {d_ {1}（V）= V（0）-V（ infty）}
これは、命題1.6によることを意味します。フルトンの交叉理論では、 1
{d_ {1}}
正確には、合理的にゼロに等しいサイクルのグループです。あれは、
CH （（ 、 0 ）。 = { operatorname {CH} _ {r}（X、0）=}
R番目
チョウ基の X。 プロパティ編集
機能性
固有写像 ： Y {f：X to Y}
フラットマップは反変ですが、高次チャウグループ間で共変です。また、いつでも {X}
スムーズです、からの任意のマップ {X}
共変です。
ホモトピー不変性
もしも E {E to X}
は代数ベクトル束であり、ホモトピー同値がありますCH ∗（（ 、 ）。≅ CH ∗（（ E
、 ）。
{{ text {CH}} ^ {*}（X、n） cong { text {CH}} ^ {*}（E、n）}
ローカリゼーション
閉じた等次元サブスキームが与えられた Y ⊂ {Y subset X}
ローカリゼーションの長い正確なシーケンスがあります⋯ CH ∗ − （（ Y 2
）。 CH ∗（（ 、 2 ）。 CH ∗（（ U 2
）。 CH ∗
− （（ Y 1
）。 CH ∗（（ 、 1 ）。 CH ∗（（ U 1
）。 CH ∗
− （（ Y 0
）。 CH ∗（（ 、 0 ）。 CH ∗（（ U 0
）。 0 {{ begin {aligned} cdots \ { text {CH}} ^ {* -d}（Y、2） to { text {CH}} ^ {*}（X、2） to { text {CH}} ^ {*}（U、2） to＆\ { text {CH}} ^ {* -d}（Y、1） to { text {CH}} ^ {*}（X、1） to { text {CH}} ^ {*}（U、1） to＆\ { text {CH}} ^ {* -d}（Y、0） to { text {CH}} ^ {*}（X、0） to { text {CH}} ^ {*}（U、0） to＆{ text {}} 0 end {aligned} }}
どこ U = − Y {U = XY}
。特に、これは、より高い周群が周群の正確なシーケンスを自然に拡張することを示しています。
ローカリゼーションの定理（Bloch 1994）は、オープンサブセットが与えられた場合、それを示しました U ⊂ {U subset X}
、 にとって Y = − U {Y = XU}
、 z （（ 、 ⋅ ）。 / z（（ Y ⋅
）。 z （（ U ⋅ ）。 {z（X、 cdot）/ z（Y、 cdot） to z（U、 cdot）}
ホモトピー同値です。特に、 Y {Y}
は純粋な余次元を持ち、より高い周群の長い正確なシーケンス（ローカリゼーションシーケンスと呼ばれます）を生成します。
参考文献
^ モチヴィックコホモロジーに関する講義ノート （PDF）。クレイ数学モノグラフ。NS。159。
^ ここで、私たちは識別します Δ 1
{ Delta ^ {1}}
のサブスキームで 1
{ mathbb {P} ^ {1}}
次に、一般性を失うことなく、一方の頂点が原点0で、もう一方が∞であると仮定します。
ブロッホ、スペンサー（1986年9月）。「代数的サイクルとより高いK理論」。数学の進歩。61：267–304。土井：10.1016 / 0001-8708（86）90081-2。
ブロッホ、スペンサー（1994）。「高次チャウグループの感動的な補題」。Journal of AlgebraicGeometry。3：537–568。
ピーター・ヘイン、モチヴィック・コホモロジーの概要
ウラジーミル・ヴォエボドスキー、「モチヴィック・コホモロジー群は、あらゆる特性において高次チャウ群と同型である」、International Mathematics Research Notices 7（2002）、351–355。”