Bloch’s_theorem
は、量子力学の定理についてです。複素解析で使用される定理については、Blochの定理（複素変数）を参照してください で物性物理学、ブロッホの定理の解決策という状態シュレディンガー方程式周期ポテンシャル中はの形取り平面波によって変調周期関数を。数学的には、次のように書かれています。
シリコン格子のブロッホ状態の二乗係数の
等値面
実線：1次元での典型的なブロッホ状態の実数部の概略図。点線は
ei k・r係数からのものです。明るい円は原子を表します。
ブロッホ機能 ψ （（ NS）。= e I k ⋅ u（（ NS）。
{ psi（ mathbf {r}）= mathrm {e} ^ { mathrm {i} mathbf {k} cdot mathbf {r}} u（ mathbf {r}）}
どこ { mathbf {r}}
位置です、 ψ { psi}
ある波動関数は、 u {u}
は結晶と同じ周期性を持つ周期関数、波数ベクトルです k { mathbf {k}}
は結晶運動量ベクトルであり、 e { mathrm {e}}
あるオイラー数は、と I { mathrm {i}}
は虚数単位です。
この形式の関数は、ブロッホ関数またはブロッホ状態として知られており、結晶性固体内の電子の波動関数または状態の適切な基礎として機能します。
スイスの物理学者 フェリックスブロッホにちなんで名付けられた、ブロッホ電子（またはあまり頻繁ではないがブロッホ波）と呼ばれるブロッホ関数の観点からの電子の記述は、電子バンド構造の概念の根底に
これらの固有状態は、下付き文字で次のように記述されます。
ψ k
{ psi _ {n mathbf {k}}}
、 どこ {n}
は、バンドインデックスと呼ばれる離散インデックスです。これは、同じ波動関数が多数存在するために存在します。 k { mathbf {k}}（それぞれに異なる周期成分があります u {u}
）。バンド内（つまり、固定用） {n} ）、 ψ k
{ psi _ {n mathbf {k}}}
と連続的に変化します k { mathbf {k}}
、そのエネルギーもそうです。また、
ψ k
{ psi _ {n mathbf {k}}}
一定の逆格子ベクトルまでのみ一意です K { mathbf {K}}
、 また、 k =
ψ （（ k+ K ）。 { psi _ {n mathbf {k}} = psi _ {n（ mathbf {k + K}）}}
。したがって、波数ベクトル k { mathbf {k}}
一般性を失うことなく、逆格子の最初のブリルアンゾーンに制限することができます。
コンテンツ
1 アプリケーションと結果
1.1 適用性 1.2 波数ベクトル 1.3 詳細な例
2 ブロッホの定理
2.1 定理の証明
2.1.1 予備知識：結晶の対称性、格子、逆格子
2.1.2 並進演算子についての補題
2.1.3 証拠
2.2 別の証拠 2.3 群論の証明
3 ブロッホ電子の速度と有効質量
4 歴史と関連する方程式
5 も参照してください
6 参考文献
7 参考文献
アプリケーションと結果編集
適用性
ブロッホの定理の最も一般的な例は、特に電子バンド構造などの結晶の電子特性を特徴付ける際に、結晶内の電子を記述することです。ただし、ブロッホ波の記述は、より一般的には周期的な媒体の波のような現象に適用されます。例えば、周期的な誘電体における構造電磁へリードフォトニック結晶、とに周期的な音響媒体リードフォノニック結晶。それは一般に、回折の動力学的理論のさまざまな形で扱われます。
波数ベクトル
ブロッホ波関数（下）は、周期関数（上）と平面波（中央）の積に分解できます。左側と右側は、波数ベクトルk
1（左）または k 2（右）を含む2つの異なる方法で分割された同じブロッホ状態を表します
。差（ k
1 − k 2）は
逆格子ベクトルです。すべてのプロットで、青は実数部、赤は虚数部です。
電子がブロッホ状態にあると仮定します ψ （（ NS）。= e I k ⋅ u（（ NS）。 { psi（ mathbf {r}）= mathrm {e} ^ { mathrm {i} mathbf {k} cdot mathbf {r}} u（ mathbf {r}）、}