Block_cellular_automaton
ブロックセルラオートマトン又はセルラオートマトンを分割は、特別な種類であるセルラオートマトンセルの格子は、（異なる時間ステップでの異なるパーティションを有する）の非重複ブロックに分割され、遷移ルールを一度にブロック全体に適用されます単一のセルではなく。ブロックセルオートマトンは、可逆性や保存則などの物理的制約に従う遷移ルールを選択するのが簡単であるため、物理量のシミュレーションに役立ちます。
2次元ブロックセルオートマトンのマーゴラス近傍。セルのパーティションは、青い実線で示されている2×2ブロックのセットと、赤い破線で示されているブロックのセットの間で交互に
表示されます。
コンテンツ
1 意味
2 近所
3 可逆性と保存
4 従来のセルオートマトンによるシミュレーション
5 アプリケーション
6 追加のルール
6.1 クリッター 6.2 トロン
7 も参照してください
8 参考文献
9 外部リンク
意味
ブロックセルオートマトンは、次のコンポーネントで構成されています。
細胞の規則的な格子
各セルが存在する可能性のある状態の有限集合
セルを均一なテッセレーションに分割し、パーティションの各タイルのサイズと形状を同じにします。
各タイムステップの後にパーティションをシフトするためのルール
遷移ルール。単一のタイル内のセルの状態の割り当てを入力として受け取り、同じセルの別の状態の割り当てを出力として生成する関数。
各タイムステップで、遷移ルールがパーティション内のすべてのタイルに同時に同期的に適用されます。その後、パーティションがシフトされ、次のタイムステップで同じ操作が繰り返されます。このように、他のセルオートマトンと同様に、セル状態のパターンは時間の経過とともに変化し、重要な計算またはシミュレーションを実行します。
近所
最も単純な分割スキームは、おそらく、この近隣構造を使用してブロックセルオートマトンを最初に研究したノーマンマーゴラスにちなんで名付けられたマーゴラス近隣です。マーゴラス近郊では、格子は2セルブロック（または2次元で2×2の正方形、3次元で2×2×2の立方体など）に分割され、（各次元に沿って）1セルずつシフトされます。代替タイムステップ。
K.MoritaとM.Harao による密接に関連する手法は、各セルを有限数の部分に分割し、各部分を隣接する部分に割り当てることです。進化は、隣接する部分の間で対応する部分を交換し、次に各セルに純粋に局所的な変換を適用することによって進行します {F}
セルの状態のみに依存します（隣接セルの状態には依存しません）。このような構築スキームにより、セルオートマトンは、局所的な変換が行われた場合に可逆的であることが保証されます。 {F}
それ自体が全単射です。この手法は、各大きなセルの部分によって形成される、セルのより細かい格子上のブロックセルオートマトンと見なすことができます。このより細かい格子のブロックは、単一の大きなセル内のパーツのセットと、互いにパーツを共有する隣接するセル内のパーツのセットとの間で交互になります。
可逆性と保存
各ブロックを進化させるためのルールが可逆的である限り、オートマトン全体も可逆的です。より強く、この場合、オートマトンの時間反転動作は、同じブロック構造を持ち、各ブロック内の元のオートマトンのルールを反転する遷移ルールを持つブロックセルオートマトンとして説明することもできます。逆もまた真です。ブロックが個別に可逆的でない場合、グローバルな進化は可逆的ではありません。ブロックの2つの異なる構成xとyが同じ結果状態zにつながる場合、1つのブロックにxがあるグローバル構成は次のようになります。xがyに置き換えられた構成と、1ステップ後に区別できません。つまり、セルオートマトンは、ブロックレベルで可逆的である場合に限り、グローバルに可逆的です。
リバーシブルブロックセルオートマトンの設計の容易さ、およびブロックセルオートマトンの可逆性のテストの容易さは、オートマトンが可逆であるかどうかが決定不可能であり、逆ダイナミクスが可能である他の非ブロックセルオートマトンのセルオートマトンとは非常に対照的です。フォワードダイナミクスよりもはるかに大きな近傍が必要です。可逆セルオートマトンは、より多くの状態を持つ可逆ブロックセルオートマトンによってシミュレートできます。ただし、非ブロックセルオートマトンの可逆性は決定不可能であるため、シミュレーションのブロックに対応する非ブロックオートマトンの領域の半径、および非ブロックルールからへの変換に計算可能な境界はありません。ブロックルールも計算できません。
ブロックセルオートマトンは、可逆性に加えて、粒子数の保存、運動量の保存などの保存則を実装するルールを設計するための便利な形式でもたとえば、各ブロック内のルールが数を保存する場合ブロック内の生細胞の数が増えると、オートマトンのグローバルな進化も同じ数を維持します。この特性は、セルオートマトンの物理シミュレーションへの応用に役立ちます。
従来のセルオートマトンによるシミュレーション
ToffoliとMargolusが書いているように、ブロックセルオートマトンモデルは、各タイムステップで同じ近傍構造を使用する従来のセルオートマトンと比較して、追加の電力を導入しません。任意のブロックセルオートマトンは、従来のセルオートマトンでシミュレートできます。より多くの州とより大きな近隣地域を使用します。具体的には、2つのオートマトンが同じセルの格子を使用するようにしますが、従来のオートマトンの各状態で、ブロックオートマトンの状態、パーティションシフトパターンのフェーズ、およびブロック内のセルの位置を指定します。たとえば、マーゴラス近隣では、これにより状態の数が8倍に増加します。セルが2×2ブロックで取る可能性のある位置は4つあり、パーティションには2つのフェーズがさらに、従来のオートマトンの近傍を、ブロックセルオートマトン内の特定のセルを含むブロックの和集合とします。次に、この近隣および状態構造を使用して、ブロックオートマトンへの各更新を従来のセルオートマトンへの単一の更新によってシミュレートすることができます。
アプリケーション
ブロックセルオートマトンは、これらのシステムの保存則などの物理的制約のシミュレーションが容易なため、格子ガスやその他の準物理シミュレーションを実装するために一般的に使用されます。 たとえば、マーゴラスモデルを使用して、粒子が2つの垂直方向に移動し、互いに衝突すると直角に散乱するHPP格子ガスモデルをシミュレートできます。このモデルのブロックセルラーシミュレーションでは、更新ルールにより、各セルがブロック内で対角線上にあるセルに移動します。ただし、セルに対角線上にある2つの粒子が含まれている場合は、対角線上にある相補的なペアに置き換えられます。粒子。このように、粒子は対角線上を移動し、HPPモデルに従って散乱します。 対角運動ではなく、粒子の水平および垂直運動でHPP格子ガスモデルをシミュレートする代替ルールでは、各ブロックの内容を時計回りまたは反時計回りに交互の位相で回転させます。セルには、対角線上にある2つの粒子が含まれています。この場合、セルは変更されません。これらのモデルのいずれにおいても、運動量（移動する粒子の速度ベクトルの合計）とその数が保存されます。これは、物理ガスをシミュレートするための重要な特性です。ただし、HPPモデルには、追加の非物理的保存規則があるため、ガスダイナミクスのモデルとしてはやや非現実的です。各運動線内の総運動量とシステム全体の総運動量が保存されます。六角形グリッドに基づくより複雑なモデルは、この問題を回避します。
これらのオートマトンもの穀物の動きモデル化するために使用することができる砂を砂杭とで砂時計。このアプリケーションでは、各2×2ブロック内のグレインの数を保持しながら、各グレインをそのブロック内で可能な限り下に移動する更新ルールを使用して、マーゴラス近隣を使用できます。ブロックに2つの粒子が垂直に積み重ねられている場合、オートマトンの遷移機能により、粒子が並んでいるブロックに置き換えられ、事実上、背の高い砂の山が倒れて広がることができます。このモデルは可逆的ではありませんが、それでも粒子数の保存則に従います。同じ近傍を使用するが、粒子を可能な限り横方向および下方向に移動する修正されたルールにより、シミュレートされたサンドパイルは、それほど急ではない場合でも広がることができます。風の輸送や摩擦などの現象を組み込んだ、より洗練されたセルオートマトンサンドパイルモデルも可能です。
ブロックセルオートマトンモデルに対するマーゴラスの最初のアプリケーションは、可逆計算のビリヤードボールモデルをシミュレートすることでした。このモデルでは、ブール論理信号は粒子の移動によってシミュレートされ、論理ゲートはそれらの粒子の弾性衝突によってシミュレートされます。たとえば、セルごとに2つの状態があり、モデルの進化によって保存された生細胞の数を使用して、2次元マーゴラスモデルでビリヤードボールの計算を実行することができます。このようにビリヤードボールモデルをシミュレートする「BBM」ルールでは、信号は斜めに移動する単一の生細胞で構成されます。この動きを実現するために、ブロック遷移機能は、単一の生細胞を含むブロックを、細胞がブロックの反対側の角に移動された別のブロックに置き換えます。同様に、弾性衝突は、対角線上にある2つの生細胞をブロックの他の2つの細胞に置き換えるブロック遷移関数によって実行できます。ブロックの他のすべての構成では、ブロック遷移関数はその状態を変更しません。このモデルでは、生細胞の2×4の長方形（パーティションに対して注意深く位置合わせされている）は安定したままであり、移動する粒子の経路をガイドするミラーとして使用できます。たとえば、マーゴラス近隣の図は、4つの粒子と1つの鏡を示しています。次のステップで青いパーティションを使用する場合、2つのパーティクルはミラーに向かって移動し、他の2つは衝突しようとします。一方、次のステップで赤いパーティションを使用する場合、2つのパーティクルはミラーから離れ、他の2つのパーティクルは衝突したばかりで、互いに離れます。
追加のルール
グライダーは、クリッターズルールで、以前のグライダークラッシュの破片を通り越して、中央のランダムシードから脱出します。
ToffoliとMargolus は、物理的な考慮事項に動機付けられていないものの、興味深いダイナミクスにつながる2つの状態のセルを持つMargolus近傍の2つの可逆ルールを提案しています。
クリッター
生き物（セルオートマトン）
「Critters」ルールでは、遷移関数は、ブロック内のすべてのセルの状態を反転します。ただし、2つの生セルが変更されていないブロックは除きます。さらに、3つの生細胞を持つブロックは、状態が反転するだけでなく、180度回転します。これは可逆的な規則であり、粒子の数（粒子を偶数相では生細胞、奇数相では死細胞として数える）および対角線に沿った粒子数のパリティに関する保存法則に従います。行。可逆的であるため、すべての細胞がランダムに選択された状態をとる初期状態は、進化を通して構造化されないままです。ただし、死んだ細胞のより広い領域内に集中するランダムセルの小さなフィールドで開始すると、このルールは、生命のグライダーに似た多くの小さなパターンが中央のランダム領域から脱出するコンウェイのライフゲームと同様の複雑なダイナミクスにつながります。互いに相互作用します。 Lifeのグライダーとは異なり、可逆性と粒子の保存は、グライダーがCrittersで一緒にクラッシュしたときに、少なくとも1つは脱出する必要があり、多くの場合、これらのクラッシュにより、両方の着信グライダーが異なる発信トラックで再構成できることを意味します。このような衝突により、このルールは、BBMルールよりも複雑な方法ではありますが、コンピューティングのビリヤードボールモデルをシミュレートすることもできます。 Crittersルールは、さまざまな速度のより複雑な宇宙船や、無限に多くの異なる周期を持つ発振器をサポートすることもできます。
トロン
Tronルールによって生成された直線形状。
「トロン」ルールでは、遷移関数は、4つのセルすべてが同じ状態である場合を除いて、各ブロックを変更せずに残します。同じ状態の場合、それらの状態はすべて逆になります。このルールを生細胞の長方形の形の初期条件から、または同様の単純な直線状の形状から実行すると、複雑な直線パターンになります。ToffoliとMargolusは、このルールを使用して、非同期セルオートマトンを使用してMargolus-neighborhoodブロックセルオートマトンをシミュレートできるローカル同期ルールを実装できることも示唆しています。このシミュレーションでは、非同期オートマトンの各セルは、シミュレートされたオートマトンの状態と、そのセルのタイムスタンプのパリティを表す2番目のビットの両方を格納します。したがって、結果の非同期オートマトンには、シミュレートするオートマトンの2倍の状態がタイムスタンプは、隣接するセル間で最大1つ異なるように制約され、タイムスタンプがすべて正しいパリティを持つ4つのセルのブロックは、シミュレートされるブロックルールに従って更新できます。このタイプの更新を実行する場合、タイムスタンプのパリティもTronルールに従って更新する必要がこれにより、隣接するタイムスタンプの制約が必ず保持されます。この方法でローカル更新を実行することにより、非同期オートマトンの各セルの展開は、シミュレートされている同期ブロックオートマトンの展開と同じになります。
トゥースピックシーケンスの最初の3つのステップと、マーゴラス近傍を使用したブロックセルオートマトンによるそのエミュレーション
も参照してください
トゥースピックシーケンス、マーゴラス近傍のセルオートマトンでエミュレートできるフラクタルパターン
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外部リンク
クリッターシミュレーション、Seth Koehler、大学 フロリダの”