Block_design
は、固定ブロックサイズ（均一）のブロックデザインについてです。可変ブロックサイズのブロックデザインについては、組み合わせデザインを参照してください
。以下のため
の実験的なデザインで
、統計、参照
無作為化ブロックデザインを。
組み合わせ 数学、ブロックの設計は、ある入射構造と共に集合からなるサブセットのファミリーとして知られているブロックのブロックのコレクションを作る特定の条件が示す、選択された要素を満たすのように周波数対称性（バランス）。それらは、実験計画法、有限幾何学、物理化学、ソフトウェアテスト、暗号学、代数幾何学など、多くの分野で応用されています。
それ以上の仕様がない場合、ブロックデザインという用語は通常、バランスの取れた不完全なブロックデザイン（BIBD）、具体的には（そして同義語として）2デザインを指します。これは、実験計画法への適用により、歴史的に最も熱心に研究されてきたタイプです。 その一般化はt-designとして知られています。
コンテンツ
1 概要
2 通常の均一な設計（構成）
3 ペアワイズバランスのとれた均一なデザイン（2デザインまたはBIBD）
3.1 例
4 対称2デザイン（SBIBD）
4.1 射影平面 4.2 複葉機 4.3 アダマール2-デザイン
5 解決可能な2つの設計
6 一般的なバランスの取れたデザイン（tデザイン）
6.1 派生した拡張可能なTデザイン
6.1.1 反転面
7 部分的にバランスの取れた設計（PBIBD）
7.1 例 7.2 プロパティ 7.3 2つの関連クラスPBIBD
8 アプリケーション
8.1 統計的応用
9 も参照してください
10 ノート
11 参考文献
12 外部リンク
概要
元のセットのすべてのtサブセットが同じ数（つまり、λ）のブロックで発生する場合、設計はバランスが取れている（tまで）と言われます。tが指定されていない場合、通常は2と見なすことができます。これは、要素の各ペアが同じ数のブロックにあり、設計がペアごとにバランスが取れていることを意味します。以下のために、T = 1、各要素は、ブロックの同じ数（で発生する再生回数、と表さR）及び設計があると言われている正規。tまでバランスの取れた設計は、tのすべての低い値でもバランスが取れているため（ただし、λ値は異なります）、たとえば、ペアワイズバランス（t = 2）設計も通常（t = 1）です。バランス要件が満たされない場合でも、tサブセットをn個のクラスに分割でき、それぞれが独自の（異なる）λ値を持つ場合、デザインは部分的にバランスが取れている可能性が以下のために、T = 2これらはとして知られているPBIBD（N）設計し、そのクラス形成し、アソシエーションスキーム。
デザインは通常、不完全であると言われます（または想定されます）。つまり、セットのすべての要素を含むブロックがないため、些細なデザインが除外されます。
すべてのブロックが同じサイズ（通常はkで示される）を持つブロック設計は、均一または適切と呼ばれます。で説明する設計はすべて統一されています。必ずしも均一ではないブロックデザインも研究されています。以下のために、T = 2これらは一般的な名称で文献に知られているバランスのとれた設計ペアワイズ（のPBD）。
ブロックデザインには、ブロックが繰り返されている場合とされていない場合が繰り返しブロックせずに設計が呼び出され、単純な、ブロックの「家族」である場合にはセットではなくマルチセット。
統計、ブロック設計の概念は、に拡張することができる非バイナリ（参照ブロック要素の複数のコピーを含む可能性のあるブロックの設計、（統計）をブロッキング）。そこでは、各要素が同じ合計回数発生するデザインは、等複製と呼ばれます。これは、デザインもバイナリである場合にのみ、通常のデザインを意味します。非バイナリ設計の接続行列は、各要素が各ブロックで繰り返される回数を示します。
通常の均一な設計（構成）
最も単純なタイプの「バランスの取れた」設計（t = 1）は、戦術構成または1-設計として知られています。ジオメトリ内の対応する接続構造は、単に構成と呼ばれます。構成（ジオメトリ）を参照してこのような設計は均一で規則的です。各ブロックにはk個の要素が含まれ、各要素はr個のブロックに含まれます。セット要素の数vとブロックの数bは、 k = v {bk = vr}
、これは要素の出現の総数です。
行と列の合計が一定のすべてのバイナリ行列は、通常の均一ブロック設計の接続行列です。また、各構成には、その発生率またはレヴィグラフとして知られる対応する双正則 2部 グラフが
ペアワイズバランスのとれた均一なデザイン（2デザインまたはBIBD）
有限集合の所与X（と呼ばれる要素の点）と整数K、R、λ ≥1、我々は定義2設計（又はBIBDをバランスのとれた不完全ブロック計画放置）BのファミリーであることがKの-elementサブセットX呼ばれるブロック任意ように、XにおけるXがに含まれるr個のブロックと異なる点の任意の対のxとyの中のXは、中に含まれるλブロック。ここで、任意た状態XにおけるXがに含まれているのR以下に示すようにブロックは、冗長です。
ここで、v（点と呼ばれるXの要素の数）、b（ブロックの数）、k、r、およびλは設計のパラメーターです。（縮退した例を避けるために、v > kであると想定されているため、セットのすべての要素を含むブロックはありません。これは、これらの設計の名前の「不完全」の意味です。）表： v ポイント、Xの要素数ブロック数特定のポイントを含むブロックの数 k ブロック内のポイント数 λ 任意の2つ（またはより一般的にはt）の異なる点を含むブロックの数
この設計は、a（v、k、λ）-設計またはa（v、b、r、k、λ）-設計と呼ばれます。パラメータはすべて独立しているわけではありません。V、K、及び決定λ B及びRを、そして全ての組み合わせV、K、及びλが可能です。これらのパラメータを接続する2つの基本的な方程式は次のとおりです。 k = v 、
{bk = vr、}
ペア（B、p）の数を数えることによって得られます。ここで、Bはブロックであり、pはそのブロック内の点です。 λ （（ v− 1 ）。 = （（ k− 1
）。 { lambda（v-1）= r（k-1）、}
固定xをカウントして得られるトリプル（x、y、B）。ここで、xとyは別個の点であり、Bは両方を含むブロックです。すべてのためのこの方程式xはまた、その証明rは定数（無関係であるXも任意という条件ことを証明し、従って、明示的に想定することなく）XにおけるXがに含まれるr個のブロックが冗長であり、Rは他のパラメータから計算することができます。
たとえば、（43，7，1）-設計が存在しないため、これらの条件は十分ではありません。
順序2設計のはとして定義され、N = R – λ。2設計の補集合は、各ブロックを点集合Xの補集合で置き換えることによって取得されます。これも2設計であり、パラメーターv ‘= v、b ‘ = b、r ‘= b − r、k ‘ = v − k、λ ‘= λ + b − 2rが2デザインとその補集合は同じ順序です。
基本的な定理は、フィッシャーの不平等統計学者にちなんで名付けられた、ロナルド・フィッシャーは、つまりB ≥ Vの任意の2デザインインチ
例
一意の（6，3，2）設計（v = 6、k = 3、λ = 2）には10個のブロック（b = 10）があり、各要素は5回繰り返されます（r = 5）。記号0− 5を使用すると、ブロックは次のトリプルになります。
012 013 024 035 045 125134145234235。
対応する接続行列（一定の行の合計rと一定の列の合計kを持つv × bの バイナリ行列）は次のとおりです。（（ 11 1 1 1 0 0 0 0 0 10 11 12 13
01 1 1 0 0 1 0 1 0 10 11 12 13
11 0 1 0 1 0 0 1 0 10 11 12 13
10 1 0 1 1 1 0 0 0 00 01 02 030 1 0 1 ）。 {{ begin {pmatrix} 1＆1＆1＆1＆1＆0＆0＆0＆0＆0 \ 1＆1＆0＆0＆0＆1＆1＆1＆0＆0 \ 1＆0＆1＆0＆0＆1＆0＆0＆1＆1 \ 0＆1＆0＆1＆0＆0＆1＆0＆1＆1＆1＆0＆1＆0＆
4つの非同形（8，4，3）デザインの1つには、各要素が7回繰り返される14個のブロックが記号0〜7を使用すると、ブロックは次の4タプルになります。
0123 0124 0156 0257 0345 0367 0467 1267 1346 1357 1457 2347 23562456。
ユニークな（7，3，1）デザインは対称的で、各要素が3回繰り返される7つのブロックが記号0〜6を使用すると、ブロックは次のトリプルになります。
013 026 045 124 156 235346。
このデザインはファノ平面に関連付けられており、デザインの要素とブロックは平面の点と線に対応しています。ラベルまたはブロックが正しい方法でソートされている場合、対応する接続行列も対称になります。（（ 11 1 0 0 0 0 1 0 0 10 11 12 13
10 0 0 0 1 1 0 1 0 00 01 02 03
01 0 0 1 0 1 0 0 1 10 11 12 130 0 1 0 1 1 0 ）。 { left（{ begin {matrix} 1＆1＆1＆0＆0＆0＆0 \ 1＆0＆0＆1＆1＆0＆0 \ 1＆0＆0＆0＆0＆1＆1 \ 0＆1＆0＆1＆0＆1＆0 \ 0＆1＆0＆0＆1＆0＆1 \ 0＆0＆1＆1＆0＆1＆1＆1＆0＆1＆1＆0＆
対称2デザイン（SBIBD）
フィッシャーの不等式が等しい場合、つまり、点とブロックの数が等しい2つの設計は、対称設計と呼ばれます。対称設計は、同じポイント数を持つ2つの設計すべての中でブロック数が最も少なくなっています。
対称設計では、r = kはb = vと同様に成り立ち、任意の2設計では一般に当てはまりませんが、対称設計では、2つの異なるブロックごとにλ点で交わります。 Ryserの定理はその逆を提供します。場合XがあるV -elementセット、及びBがあるVの-elementセットKの任意の二つの別個のブロックが共通に正確にλ点を有するように-elementサブセット（「ブロック」）、次いで（X、Bは）であります対称ブロックデザイン。
対称設計のパラメータは λ （（ v− 1
）。= k（（ k− 1
）。 { lambda（v-1）= k（k-1）。}
これはvに強い制限を課すので、ポイントの数は恣意的ではありません。ブルック-Ryser-Chowla定理は、これらのパラメータに関して、対称デザインの存在のための条件をしかし、十分ではない与えます。
以下は、対称2設計の重要な例です。
射影平面
射影平面
有限射影平面は、λ = 1および次数n > 1の対称2設計です。これらの設計の場合、対称設計方程式は次のようになります。
v− 1 = k（（ k− 1
）。 {v-1 = k（k-1）。}
以来、K = rは、我々は書くことができる射影平面の順序として、N = K 1と、上記表示された式から、我々は入手- Vが=（N + 1）N + 1 = N 2つの + N 射影における+ 1点次数nの平面。
射影平面は対称設計であるため、b = vとなります。これは、b = n 2 + n +1も意味します。数bは、射影平面の線の数です。λ= 1であるため、線を繰り返すことはできません。したがって、射影平面は、線の数と点の数が常に同じである単純な2つの設計です。射影平面の場合、kは各線上の点の数であり、n + 1に等しくなります。同様に、r = n + 1は、特定の点が入射する線の数です。
以下のために、N = 2、我々はまた呼ばれる、オーダー2の射影平面を得るファノ面と、V = 4 + 2 + 1 = 7点、7行。ファノ平面では、各線にはn + 1 = 3の点があり、各点はn + 1 = 3の線に属します。
射影平面は、素数または素数の累乗であるすべての次数に対して存在することが知られています。それらは、対称ブロック設計の唯一の既知の無限ファミリを形成します（一定のλ値を持つことに関して）。
複葉機
複葉又はバイプレーン形状は対称2-設計でλ = 2。つまり、2つのポイントのすべてのセットは2つのブロック（「ライン」）に含まれ、2つのラインは2つのポイントで交差します。これらは有限射影平面に似ていますが、2つの点が1つの線を決定する（および2つの線が1つの点を決定する）のではなく、2つの点が2つの線（それぞれ点）を決定する点が異なります。次数nの複葉機は、ブロックがk = n +2点を持つ複葉機です。それが有するV = 1 +（N + 2）（N + 1）/ 2点（以降、R = K）。
18の既知の例を以下に示します。（重要）次数0の複葉機には2つの点（およびサイズ2の線; 2-（2，2，2）設計）がこれは2つのポイントであり、それぞれが両方のポイントで構成される2つのブロックが幾何学的には、それは二角形です。
次数1の複葉機には、4つの点（およびサイズ3の線; 2-（4，3，2）設計）がこれは、v = 4およびk = 3の完全な設計です。幾何学的には、点は四面体の頂点であり、ブロックはその面です。
次数2の複葉機は、ファノ平面の補集合です。7つの点（およびサイズ4の線; 2-（7，4，2））があり、線は（3点）の補集合として与えられます。ファノ平面の線。
次数3の複葉機には、11個の点（およびサイズ5の線; 2-（11，5，2））があり、 レイモンドペイリーの後のペイリー複葉機; これは、11個の要素を持つフィールドを使用して構築された11次のPaley有向グラフに関連付けられており、サイズ12のアダマール行列に関連付けられたアダマール2設計です。Paley ConstructionIを参照して
代数的には、これはPSL（2，11）
への射影特殊線形群
PSL（2，5）
の例外的な埋め込みに対応し詳細については、射影線形群：p点に対するアクションを参照して
次数4の複葉機が3つあります（16ポイント、サイズ6の線、2-（16，6，2））。1つはKummer構成です。これらの3つのデザインもメノンデザインです。
次数7の複葉機が4つあります（37ポイント、サイズ9の線、2-（37，9，2））。
次数9の複葉機が5つあります（56ポイント、サイズ11の線、2-（56，11，2））。
次数11の2つの複葉機が知られています（および79ポイント、サイズ13の線; 2-（79，13，2））。
Bruck-Ryser-Chowlaの定理で示されているように、次数5、6、8、および10の複葉機は存在しません。
アダマール2-デザイン
ANアダマール行列サイズのmはれるM × M行列Hを持つエントリ±1ようであるHH ⊤ = M Iは、mはここで、H ⊤での転置であり、H及びI mがあるM × Mの単位行列。アダマール行列は、最初の行と最初の列のエントリがすべて+1である標準化された形式に変換できます（つまり、同等のアダマール行列に変換されます）。サイズの場合、M > 2次に、mが4の倍数でなければなりません。
サイズ4のアダマール行列所与A標準化された形式で、1行1列目を削除し、すべての変換-1 0に得0-1行列Mは、ある入射マトリックス対称2-（4のA – 、1 2 a − 1、a − 1）アダマール2設計と呼ばれる設計。含まれています
4 − 1 {4a-1}
ブロック/ポイント; それぞれが含まれている/含まれている
2 − 1 {2a-1}
ポイント/ブロック。ポイントの各ペアは正確に含まれています − 1 {a-1}
ブロック。
この構造は可逆的であり、これらのパラメータ対称2-設計の入射マトリクスは、サイズ4のアダマール行列を形成するために使用することができるAを。
解決可能な2つの設計
解決2-設計は、そのブロック（と呼ばれる集合に分割することができるBIBDある平行クラスBIBDの点集合の分割をなすそれぞれが）。並列クラスのセットは、デザインの解像度と呼ばれます。
2-（場合はV、K、λ）解決設計が有しているC並行クラスは、B ≥ V + C 1 –
したがって、対称設計では、重要な（複数の並列クラス）解像度を持つことはできません。
典型的な解決可能な2-設計は有限のアフィン平面です。有名な15人の女子高生の問題の解決策は、2-（15，3，1）設計の解決です。
一般的なバランスの取れたデザイン（tデザイン）
任意の正の整数所与T、T -design BでのクラスであるKの-elementサブセットXと呼ばれるブロック毎にポイントするように、XにおけるXが正確に表示さrのブロックは、すべてのT -elementサブセットTは正確にλブロックで表示され。数値v（Xの要素の数）、b（ブロックの数）、k、r、λ、およびtは、設計のパラメーターです。この設計は、t-（v、k、λ）-設計と呼ばれる場合が繰り返しますが、これらの4つの数値はbとrを決定し、4つの数値自体を任意に選択することはできません。方程式は λ I= λ（（ v − I − I ）。 / （（ k − 私 − I ）。
にとって
I = 0 1 …
、 、
{ lambda _ {i} = lambda left。{ binom {vi} {ti}} right / { binom {ki} {ti}} { text {for}} i = 0，1 、 ldots、t、}