Block_LU_decomposition
「ブロックLU分解」
線形代数、ブロックLU分解はある行列分解のブロックマトリックス下部ブロック三角行列にLと上側ブロック三角行列U。この分解は、ブロック行列式の複雑さを軽減するために数値解析で使用されます。
LDU分解をブロックする
LU分解はLDU（Lower-Diagonal-Upper）分解であり、次の場合に実行できます。 { textstyle A}
特異ではありません。ブロック行列を考えてみましょう：
[] = [ 私
0 −1 I ] [ 0 0 − −
1 ]
[ I −1 0 I ]
{{ begin {bmatrix} A＆B \ C＆D end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} I＆0 \ CA ^ {-1}＆I end {bmatrix}} { begin {bmatrix} A＆0 0＆D-CA ^ {-1} B end {bmatrix}} { begin {bmatrix} I＆A ^ {-1} B \ 0＆I end {bmatrix}}}
これは、次の場合にも反転に役立つ可能性があります − −
1 { textstyle D-CA ^ {-1} B}
（シューア補行列）は非特異です：− 1 =
[ I − 1 0 I] − 1 [0
0 − −
1 ]− 1
[ 私
0 −1 I ] − 1 =
[ 私
− −1 0 I ] [0
0 − −
1 ]− 1
[ 私 0 − −1 I ]
{{ begin {bmatrix} A＆B \ C＆D end {bmatrix}} ^ {-1} = { begin {bmatrix} I＆A ^ {-1} B \ 0＆I end {bmatrix}} ^ {- 1} { begin {bmatrix} A＆0 \ 0＆D-CA ^ {-1} B end {bmatrix}} ^ {-1} { begin {bmatrix} I＆0 \ CA ^ {-1}＆I end { bmatrix}} ^ {-1} = { begin {bmatrix} I＆-A ^ {-1} B \ 0＆I end {bmatrix}} { begin {bmatrix} A＆0 \ 0＆D-CA ^ {-1} B end {bmatrix}} ^ {-1} { begin {bmatrix} I＆0 \-CA ^ {-1}＆I end {bmatrix}}}
同等のUDL分解が存在する場合 { textstyle D}
特異ではありません：
[] = [ I −1 0I ]
[ − − 1 0 0 ] [ 私 0 −
1 私 ] {{ begin {bmatrix} A＆B \ C＆D end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} I＆BD ^ {-1} \ 0＆I end {bmatrix}} { begin {bmatrix} A-BD ^ {-1} C＆0 \ 0＆D end {bmatrix}} { begin {bmatrix} I＆0 \ D ^ {-1} C＆I end {bmatrix}}}
これは、次の場合に反転に役立つ可能性があります − −
1 { textstyle A-BD ^ {-1} C}
特異ではありません：− 1 =
[ 私
0 −1私 ] − 1
[ − − 10 0 ]− 1
[ I −1 0 ] − 1 =
[ 私 0 − −
1 私 ] [ − − 10 0 ]− 1
[ 私
− −1 0I ]
{{ begin {bmatrix} A＆B \ C＆D end {bmatrix}} ^ {-1} = { begin {bmatrix} I＆0 \ D ^ {-1} C＆I end {bmatrix}} ^ {- 1} { begin {bmatrix} A-BD ^ {-1} C＆0 \ 0＆D end {bmatrix}} ^ {-1} { begin {bmatrix} I＆BD ^ {-1} \ 0＆I end {bmatrix }} ^ {-1} = { begin {bmatrix} I＆0 \-D ^ {-1} C＆I end {bmatrix}} { begin {bmatrix} A-BD ^ {-1} C＆0 \ 0＆D end {bmatrix}} ^ {-1} { begin {bmatrix} I＆-BD ^ {-1} \ 0＆I end {bmatrix}}}
コレスキー分解をブロックする
行列が対称である場合、別の簡略化は次のようになります。（（NS ）。 = （（ I − 1 ）。 （（ I −
1 ）。 + （（ 0 0 0 − −
1 ）。 {{ begin {pmatrix} A＆B \ C＆D end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} I \ CA ^ {-1} end {pmatrix}} 、A 、{ begin { pmatrix} I＆A ^ {-1} B end {pmatrix}} + { begin {pmatrix} 0＆0 \ 0＆D-CA ^ {-1} B end {pmatrix}}、}