Block_matrix
「ブロックマトリックス」
数学、ブロックのマトリックスまたは分配マトリクスがある行列れる解釈と呼ばれるセクションに分割されたものとして、ブロックまたはサブマトリックス。直感的には、ブロックマトリックスとして解釈されるマトリックスは、水平線と垂直線のコレクションを持つ元のマトリックスとして視覚化できます。これらのラインは、それを分割または分割して、より小さなマトリックスのコレクションにします。任意の行列は、1つ以上の方法でブロック行列として解釈できます。各解釈は、その行と列がどのように分割されているかによって定義されます。
この概念は、 {n}
に {m}
マトリックス {M}
分割することによって {n}
コレクションに
行グループ
{{ text {rowgroups}}}
、次にパーティショニング {m}
コレクションに colgroups {{ text {colgroups}}}
。元の行列は、次の意味で、これらのグループの「合計」と見なされます。（（ 私
、 ）。
{ displaystyle（i、j）}
元の行列のエントリは、1対1の方法で対応します。（（ 、 ）。
{ displaystyle（s、t）}
いくつかのオフセットエントリ（（ 、 y ）。
{ displaystyle（x、y）}
、 どこ ∈
行グループ
{x in { text {rowgroups}}}と y ∈ colgroups
{y in { text {colgroups}}} ブロック行列代数は、一般に、行列のカテゴリの二項の積から発生します。
コンテンツ
1 例
2 ブロック行列の乗算
3 ブロック行列の反転
4 ブロック行列式
5 対角行列をブロックする
6 三重対角行列をブロックする
7 テプリッツ行列をブロックする
8 ブロック転置
9 直和
10 応用
11 も参照してください
12 ノート
13 参考文献
例
12×12、12×24、24×12、および24×24のサブ行列を持つ168×168要素のブロック行列。ゼロ以外の要素は青色で表示され、ゼロ以外の要素は灰色で表示されます。
マトリックス=
[ 12 2 7 1 5 6 2 3 3 20 21 22 236 7 ] { mathbf {P} = { begin {bmatrix} 1＆2＆2＆7 \ 1＆5＆6＆2 \ 3＆3＆4＆5 \ 3＆3＆6＆7 end {bmatrix}}}
4つの2×2ブロックに分割できます 11 = [ 12 1 5 ] 、 12 = [ 27 6 2 ] 、 21 = [ 33 3 3 ] 、 22 = [ 45 6 7
] { mathbf {P} _ {11} = { begin {bmatrix} 1＆2 \ 1＆5 end {bmatrix}}、 quad mathbf {P} _ {12} = { begin {bmatrix} 2＆7 6＆2 end {bmatrix}}、 quad mathbf {P} _ {21} = { begin {bmatrix} 3＆3 \ 3＆3 end {bmatrix}}、 quad mathbf {P} _ {22} = { begin {bmatrix} 4＆5 \ 6＆7 end {bmatrix}}。}
区分行列は、次のように記述できます。=
[ 11 12 21 22
] { mathbf {P} = { begin {bmatrix} mathbf {P} _ {11}＆ mathbf {P} _ {12} \ mathbf {P} _ {21}＆ mathbf {P } _ {22} end {bmatrix}}。}
ブロック行列の乗算
因子の部分行列の代数のみを含むブロック区分行列積を使用することが可能です。ただし、因子の分割は任意ではなく、2つの行列間に「適合分割」が必要です。 {A}
と {B}
使用されるすべてのサブマトリックス製品が定義されるように。与えられた（（ ×× ）。
{ displaystyle（m times p）}
マトリックス { mathbf {A}}
と {q}
行パーティションと {s}
列パーティション=
[ 11 12
⋯ 1 21 22
⋯ 2 ⋮
⋮ 1 2
⋯]
{ mathbf {A} = { begin {bmatrix} mathbf {A} _ {11}＆ mathbf {A} _ {12}＆ cdots＆ mathbf {A} _ {1s} \ mathbf {A} _ {21}＆ mathbf {A} _ {22}＆ cdots＆ mathbf {A} _ {2s} \ vdots＆ vdots＆ ddots＆ vdots \ mathbf {A } _ {q1}＆ mathbf {A} _ {q2}＆ cdots＆ mathbf {A} _ {qs} end {bmatrix}}}
と （（ ×× ）。
{ displaystyle（p times n）}
マトリックス { mathbf {B}}
と {s}
行パーティションと {r}
列パーティション=
[ 11 12
⋯ 1 21 22
⋯ 2 ⋮
⋮ 1 2
⋯] { mathbf {B} = { begin {bmatrix} mathbf {B} _ {11}＆ mathbf {B} _ {12}＆ cdots＆ mathbf {B} _ {1r} \ mathbf {B} _ {21}＆ mathbf {B} _ {22}＆ cdots＆ mathbf {B} _ {2r} \ vdots＆ vdots＆ ddots＆ vdots \ mathbf {B } _ {s1}＆ mathbf {B} _ {s2}＆ cdots＆ mathbf {B} _ {sr} end {bmatrix}}、}
のパーティションと互換性があります {A}
、行列積= { mathbf {C} = mathbf {A} mathbf {B}}
ブロック状に形成することができ、 { mathbf {C}}
として（（ ×× ）。
{ displaystyle（m times n）}
との行列 {q}
行パーティションと {r}
列パーティション。結果の行列の行列 { mathbf {C}}
乗算によって計算されます：= ∑ I = 1私 I 。
{ mathbf {C} _ {qr} = sum _ {i = 1} ^ {s} mathbf {A} _ {qi} mathbf {B} _ {ir}。}
または、繰り返されるインデックスを暗黙的に合計するアインシュタインの縮約記を使用します。= I I 。
{ mathbf {C} _ {qr} = mathbf {A} _ {qi} mathbf {B} _ {ir}。}
ブロック行列の反転
ブロックLDU分解を使用した詳細と導出については、シューア補行列を参照してください 参照：
Helmert–Wolfブロッキング
行列が4つのブロックに分割されている場合、次のようにブロックごとに反転できます。=− 1 =
[ − 1 + −
1 （（ − −
1 ）。 − 1 − 1 − −
1 （（ − −
1 ）。− 1 −（（ − −
1 ）。 − 1 − 1 （（ − −
1 ）。− 1
] { mathbf {P} = { begin {bmatrix} mathbf {A}＆ mathbf {B} \ mathbf {C}＆ mathbf {D} end {bmatrix}} ^ {-1} = { begin {bmatrix} mathbf {A} ^ {-1} + mathbf {A} ^ {-1} mathbf {B} left（ mathbf {D}- mathbf {CA} ^ {- 1} mathbf {B} right）^ {-1} mathbf {CA} ^ {-1}＆- mathbf {A} ^ {-1} mathbf {B} left（ mathbf {D} – mathbf {CA} ^ {-1} mathbf {B} right）^ {-1} \- left（ mathbf {D}- mathbf {CA} ^ {-1} mathbf {B } right）^ {-1} mathbf {CA} ^ {-1}＆ left（ mathbf {D}- mathbf {CA} ^ {-1} mathbf {B} right）^ {- 1} end {bmatrix}}、}
ここで、AとDは任意のサイズの正方形であり、BとCは分割に適合しています。また、Aのシューア補数AにおけるPは：P / A = D – CA -1 Bは可逆でなければなりません。
同様に、ブロックを並べ替えることによって：=− 1 =
[ （（ − −
1 ）。− 1 −（（ − −
1 ）。 − 1 − 1 − −
1 （（ − −
1 ）。 − 1 − 1 + −
1 （（ − −
1 ）。 − 1 − 1 ] { mathbf {P} = { begin {bmatrix} mathbf {A}＆ mathbf {B} \ mathbf {C}＆ mathbf {D} end {bmatrix}} ^ {-1} = { begin {bmatrix} left（ mathbf {A}- mathbf {BD} ^ {-1} mathbf {C} right）^ {-1}＆- left（ mathbf {A}- mathbf {BD} ^ {-1} mathbf {C} right）^ {-1} mathbf {BD} ^ {-1} \- mathbf {D} ^ {-1} mathbf {C } left（ mathbf {A}- mathbf {BD} ^ {-1} mathbf {C} right）^ {-1}＆ quad mathbf {D} ^ {-1} + mathbf { D} ^ {-1} mathbf {C} left（ mathbf {A}- mathbf {BD} ^ {-1} mathbf {C} right）^ {-1} mathbf {BD} ^ {-1} end {bmatrix}}。}
ここで、Dとのシューア補体DでP：P / D = A – BD -1 Cは可逆でなければなりません。
場合AとDは両方とも可逆であり、その後：− 1 =
[ （（ − −
1 ）。
−1 0（（ − −
1 ）。− 1 ]
[ 私
− − 1 − −1
] {{ begin {bmatrix} mathbf {A}＆ mathbf {B} \ mathbf {C}＆ mathbf {D} end {bmatrix}} ^ {-1} = { begin {bmatrix } left（ mathbf {A}- mathbf {B} mathbf {D} ^ {-1} mathbf {C} right）^ {-1}＆ mathbf {0} \ mathbf {0 }＆ left（ mathbf {D}- mathbf {C} mathbf {A} ^ {-1} mathbf {B} right）^ {-1} end {bmatrix}} { begin {bmatrix } mathbf {I}＆- mathbf {B} mathbf {D} ^ {-1} \- mathbf {C} mathbf {A} ^ {-1}＆ mathbf {I} end { bmatrix}}。}
Weinstein–Aronszajnの同一性により、ブロック対角行列の2つの行列の一方は、もう一方が反転可能であるときに正確に反転可能です。
ブロック行列式
の行列式の式 2 ×× 2 {2 times 2}
-上記の行列は、適切な追加の仮定の下で、4つの部分行列で構成される行列を引き続き保持します。 、 、 、 {A、B、C、D}
。ライプニッツの公式またはシューア補行列を含む因数分解のいずれかを使用して証明できる最も簡単なそのような公式は、 det （（ 0 ）。= det（（ ）。 det （（ ）。= det（（0 ）。 { det { begin {pmatrix} A＆0 \ C＆D end {pmatrix}} = det（A） det（D）= det { begin {pmatrix} A＆B \ 0＆D end {pmatrix} }。}
もしも {A}
で可逆（同様の場合 {D}
は可逆です）、1つは持っています det （（NS ）。= det（（ ）。 det （（ −−
1 ）。 { det { begin {pmatrix} A＆B \ C＆D end {pmatrix}} = det（A） det left（D-CA ^ {-1} B right）}
もしも {D}
は 1 ×× 1 {1 times 1}
-マトリックス、これは単純化して det （（ ）。（（ − −
1 ）。
{ det（A）（D-CA ^ {-1} B）}
。
ブロックが同じサイズの正方行列である場合、さらに式が成り立ちます。たとえば、 {C}
と {D}
通勤（すなわち、 = {CD = DC}
）、次にが成り立ちます。 det （（NS ）。= det（（− ）。 { det { begin {pmatrix} A＆B \ C＆D end {pmatrix}} = det（AD-BC）。}
この式は、以上で構成される行列に一般化されています。 2 ×× 2 {2 times 2}
ブロック、これも個々のブロック間の適切な可換条件の下で。
にとって = {A = D}
と = {B = C}
、次の式が成り立ちます（ {A}
と {B}
とBは通勤しません） det （（NS ）。= det（（ − ）。 det （（ + ）。 { det { begin {pmatrix} A＆B \ B＆A end {pmatrix}} = det（AB） det（A + B）。}
対角行列をブロックする
ブロック対角行列であるブロックの行列である正方行列の主対角ブロックは正方行列であり、すべての非対角ブロックはゼロ行列であるようにします。つまり、ブロック対角行列Aは次の形式になります。=
[ 10 ⋯
00 2 ⋯ 0 ⋮ 0
⋯ ]
{ mathbf {A} = { begin {bmatrix} mathbf {A} _ {1}＆0＆ cdots＆0 \ 0＆ mathbf {A} _ {2}＆ cdots＆0 \ vdots＆ vdots＆ ddots＆ vdots \ 0＆0＆ cdots＆ mathbf {A} _ {n} end {bmatrix}}}
ここで、A kは、すべてのk = 1、…、nの正方行列です。換言すれば、行列Aは、であり、直接和のA 1、…、N。またとして示すことができるA 1 ⊕ A 2 ⊕…⊕ A N 又はDIAG（A 1、A 2、…、A N）（後者はのために使用したのと同じ形式主義である対角行列）。正方行列は、ブロックが1つしかないブロック対角行列と自明に見なすことができます。
以下のために決定し、トレース、次のプロパティが保持します
det = det1 ××
⋯× et、
tr =tr1 + ⋯ + trNS {{ begin {aligned} det mathbf {A}＆= det mathbf {A} _ {1} times cdots times det mathbf {A} _ {n}、\ operatorname {tr} mathbf {A}＆= operatorname {tr} mathbf {A} _ {1} + cdots + operatorname {tr} mathbf {A} _ {n}。 end {aligned}} }
ブロック対角行列は、その主対角ブロックのそれぞれが可逆である場合にのみ可逆であり、この場合、その逆行列は次の式で与えられる別のブロック対角行列です。
[ 10 0 2 ⋯ 0 ⋮ 0
⋯ ]− 1 = [ 1 −1 0 ⋯ 00 2 − 1 ⋯ 0 ⋮ 0
⋯ − 1 ] {{ begin {bmatrix} mathbf {A} _ {1}＆0＆ cdots＆0 \ 0＆ mathbf {A} _ {2}＆ cdots＆0 \ vdots＆ vdots＆ ddots＆ vdots \ 0＆0＆ cdots＆ mathbf {A} _ {n} end {bmatrix}} ^ {-1} = { begin {bmatrix} mathbf {A} _ {1} ^ {-1}＆0＆ cdots＆0 \ 0＆ mathbf {A} _ {2} ^ {-1}＆ cdots＆0 \ vdots＆ vdots＆ ddots＆ vdots \ 0＆0＆ cdots＆ mathbf {A} _ {n } ^ {-1} end {bmatrix}}。}
の固有値と固有ベクトル {A}
単にのものです 1
{A_ {1}}
と 2
{A_ {2}}
そして…そして {A_ {n}}
組み合わせる。
三重対角行列をブロックする
ブロック三重対角行列は、単に、ブロック対角行列のような他の特別なブロック行列である正方行列下部対角線に正方行列（ブロック）を有する、主対角の他のすべてのブロックはゼロ行列であることと、上部対角線。これは本質的に三重対角行列ですが、スカラーの代わりに部分行列がブロック三重対角行列Aの形式は=
[ 1 1 ⋯ 0 2 2 2
⋱
⋮ k k k⋮ ⋱ ⋱ ⋱ −
1 −
1 −1 0
⋯]
{ mathbf {A} = { begin {bmatrix} mathbf {B} _ {1}＆ mathbf {C} _ {1} &&& cdots && 0 \ mathbf {A} _ {2}＆ mathbf {B} _ {2}＆ mathbf {C} _ {2} &&&& \＆ ddots＆ ddots＆ ddots &&& vdots \ && mathbf {A} _ {k}＆ mathbf { B} _ {k}＆ mathbf {C} _ {k} && \ vdots &&& ddots＆ ddots＆ ddots＆\ &&&& mathbf {A} _ {n-1}＆ mathbf {B } _ {n-1}＆ mathbf {C} _ {n-1} \ 0 && cdots &&& mathbf {A} _ {n}＆ mathbf {B} _ {n} end {bmatrix}} }
ここで、A k、B k、およびC kは、それぞれ下対角、主対角、および上対角の正方形の部分行列です。
ブロック三重対角行列は、工学的問題（計算流体力学など）の数値解法でよく見られます。LU分解のために最適化された数値解法が利用可能であるため、係数行列としてブロック三重対角行列を使用する連立方程式システムの効率的な解法アルゴリズムが利用できます。トーマスアルゴリズム関係式システムの効率的なソリューションのために使用される、三重対角行列も三重対角行列をブロックするために行列演算を使用して適用することができる（参照ブロックのLU分解）。
テプリッツ行列をブロックする
ブロックテプリッツ行列は、のように、行列の対角線ダウンが繰り返されるブロックを含む別の特別なブロック行列であり、テプリッツ行列が対角ダウン繰り返し要素を有します。個々のブロック行列要素Aijも、テプリッツ行列である必要が
ブロックテプリッツ行列Aの形式は=
[ （（ 1 1
）。 （（ 1 2 ）。 ⋯ （（ 1
、 − 1 ）。 （（ 1
、 ）。 （（ 2 1
）。 （（ 1 1
）。 （（ 1 2
）。 （（ 1
、 − 1 ）。
⋮ （（ 2 1
）。 （（ 1 1
）。 （（ 1 2
）。⋮ ⋱ ⋱ ⋱ （（ − 1 1 ）。 （（ 2 1
）。 （（ 1 1
）。 （（ 1 2
）。 （（ 、 1 ）。 （（ − 1 1 ）。
⋯ （（ 2 1
）。 （（ 1 1 ）。 ] { mathbf {A} = { begin {bmatrix} mathbf {A} _ {（1，1）}＆ mathbf {A} _ {（1，2）} &&& cdots＆ mathbf {A } _ {（1、n-1）}＆ mathbf {A} _ {（1、n）} \ mathbf {A} _ {（2，1）}＆ mathbf {A} _ {（1 、1）}＆ mathbf {A} _ {（1，2）} &&&& mathbf {A} _ {（1、n-1）} \＆ ddots＆ ddots＆ ddots &&& vdots \ && mathbf {A} _ {（2，1）}＆ mathbf {A} _ {（1，1）}＆ mathbf {A} _ {（1，2）} && \ vdots &&& ddots ＆ ddots＆ ddots＆\ mathbf {A} _ {（n-1，1）} &&&& mathbf {A} _ {（2，1）}＆ mathbf {A} _ {（1，1 ）}＆ mathbf {A} _ {（1，2）} \ mathbf {A} _ {（n、1）}＆ mathbf {A} _ {（n-1，1）}＆ cdots &&& mathbf {A} _ {（2，1）}＆ mathbf {A} _ {（1，1）} end {bmatrix}}。}
ブロック転置
行列の転置の特別な形式は、ブロックマトリックスに対して定義することもできます。この場合、個々のブロックは並べ替えられますが、転置されません。させて =（（ 私
NS）。
{A =（B_ {ij}）}
である k ×× l {k times l}
とのブロック行列 ×× {m times n}
ブロック I {B_ {ij}}
、ブロック転置 {A}
それは l ×× k {l times k}
ブロック行列 {A ^ { mathcal {B}}}
と ×× {m times n}
ブロック（（）。
私= 私
{ left（A ^ { mathcal {B}} right）_ {ij} = B_ {ji}}
。
従来のトレース演算子と同様に、ブロック転置は次のような線形マッピングです。（（ + ）。 = + { displaystyle（A + C）^ { mathcal {B}} = A ^ { mathcal {B}} + C ^ { mathcal {B}}}
。ただし、一般的にプロパティ（（）。 ={ displaystyle（AC）^ { mathcal {B}} = C ^ { mathcal {B}} A ^ { mathcal {B}}}
のブロックがない限り保持されません {A}
と {C}
通勤。
直和
参照：
行列の加法§直和
任意の行列A（サイズm × n）とB（サイズp × q）の場合、Aで表されるAとBの直和が ⊕ { oplus}
Bおよびとして定義⊕= [ 11 ⋯ 1 0 ⋯ 0
⋮ 1 ⋯0
⋯ 0⋯ 11
⋯ 1 ⋮ ⋯ 1
⋯] { mathbf {A} oplus mathbf {B} = { begin {bmatrix} a_ {11}＆ cdots＆a_ {1n}＆0＆ cdots＆0 \ vdots＆ ddots＆ vdots＆ vdots ＆ ddots＆ vdots \ a_ {m1}＆ cdots＆a_ {mn}＆0＆ cdots＆0 \ 0＆ cdots＆0＆b_ {11}＆ cdots＆b_ {1q} \ vdots＆ ddots＆ vdots＆ vdots＆ ddots＆ vdots \ 0＆ cdots＆0＆b_ {p1}＆ cdots＆b_ {pq} end {bmatrix}}。}
例えば、
[ 13 2 2 3 1] ⊕
[ 16 0 1] =
[ 13 2 0 0 2 3 1 0 0 30 31 32 336 0 0 0 0 1
] {{ begin {bmatrix} 1＆3＆2 \ 2＆3＆1 end {bmatrix}} oplus { begin {bmatrix} 1＆6 \ 0＆1 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} 1＆3＆2＆0＆0 \ 2＆3＆1＆0＆0 \ 0＆0＆0＆1＆6 \ 0＆0＆0＆0＆1 end {bmatrix}}。}
この操作は、自然に任意の次元の配列に一般化されます（AとBの次元数が同じである場合）。
行列の2つのベクトル空間の直和の要素は、2つの行列の直和として表すことができることに注意して
応用
で線形代数の用語、を有する、ブロックマトリックス相当の使用線形写像の「束」対応の観点からの思考を基底ベクトルを。これも、定義域と範囲の直接和分解を区別するという考えと一致します。ブロックがゼロ行列である場合、それは常に特に重要です。これは、被加数が小和にマップする情報を伝達します。
線形写像と直和による解釈を考えると、正方行列（m = nの場合）で発生する特殊なタイプのブロック行列がそれらについては、n次元空間Vの自己準同型としての解釈を想定することができます。行と列のバンチングが同じであるブロック構造は、Vで（2つではなく）単一の直和分解を持つことに対応するため、重要です。その場合、例えば、明白な意味での対角ブロックはすべて正方形です。このタイプの構造は、ジョルダン標準形を記述するために必要です。
この手法は、マトリックスの計算、列行の拡張、およびVLSIチップ設計を含む多くのコンピューターサイエンスアプリケーションを削減するために使用されます。例は、Strassenのアルゴリズム高速用行列乗算、ならびにハミング（7，4）データ伝送におけるエラー検出および回復のためのコード。
も参照してください
クロネッカー積（ブロック行列になる行列直接積）
ノート
^ イブス、ハワード（1980）。初等行列理論（再版）。ニューヨーク：ドーバー。NS。 37。ISBN 0-486-63946-0。行列を長方形の要素ブロックに分割すると便利な場合があることがわかります。このリード私たちは、いわゆる検討するパーティション、またはブロック、行列。
^ アントン、ハワード（1994）。初等線形代数（第7版）。ニューヨーク：ジョン・ワイリー。NS。30. ISBN 0-471-58742-7。選択した行と列の間に水平方向と垂直方向のルールを挿入することにより、マトリックスをより小さなマトリックスに分割または分割できます。
^ Macedo、HD; オリベイラ、JN（2013）。「線形代数の入力：二項の積指向のアプローチ」。コンピュータプログラミングの科学。78（11）：2160–2191。arXiv：1312.4818。土井：10.1016 /j.scico.2012.07.012。
^ イブス、ハワード（1980）。初等行列理論（再版）。ニューヨーク：ドーバー。NS。 37。ISBN 0-486-63946-0。定理1.9.4のような分割は、AとBの適合分割と呼ばれます。
^ アントン、ハワード（1994）。初等線形代数（第7版）。ニューヨーク：ジョン・ワイリー。NS。36. ISBN 0-471-58742-7。… AとBの部分行列のサイズが、指定された操作を実行できるようなサイズである場合。
^ バーンスタイン、デニス（2005）。行列数学。プリンストン大学出版局。NS。44. ISBN
0-691-11802-7。
^ t （（NS ）。= det（（ ）。 det （（ − −
1 ）。 { det { begin {pmatrix} A＆B \ C＆D end {pmatrix}} = det（D） det left（A-BD ^ {-1} C right）}
^ シルベスター、JR（2000）。「ブロック行列の行列式」（PDF）。算数。ガゼット。84（501）：460–467。土井：10.2307 / 3620776。JSTOR 3620776。
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参考文献
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