Block_transform
ウェーブレットパケットベースは、周波数軸をさまざまなサイズの間隔で分割することによって設計されています。これらのベースは、異なる周波数間隔で異なる動作をする信号を分解するのに特に適しています。もしも {f}
時間とともに変化する特性を持っているので、分解するのがより適切です {f}
信号構造に適合したサイズの間隔で時間軸をセグメント化するブロックベースで。
コンテンツ
1 ブロックベース
1.1 定理1。
1.1.1 証拠
1.2 ブロックフーリエ基底 1.3 ディスクリートブロックベース
1.3.1 定理2。
1.4 画像のブロックベース
2 参考文献
ブロックベース
ブロック正規直交基底は、時間軸を連続した間隔で分割することによって取得されます
{[a_ {p}、a_ {p + 1}]}
と
リム
−= − ∞
{ lim _ {p to- infty} a_ {p} =- infty}
と
リム = ∞
{ lim _ {p to infty} a_ {p} = infty}
。
サイズ
l= + 1 − {l_ {p} = a_ {p + 1} -a_ {p}}
各間隔の任意です。させて = 1 [ 0 1 ] {g = 1 _ {}}
。間隔は拡張された長方形のウィンドウでカバーされます（（ ）。= 1
[、+1 ]（（ ）。= （（ − l ）。 {g_ {p}（t）= 1 _ {[a_ {p}、a_ {p + 1}]}（t）= g（{t-a_ {p} over l_ {p}}）。}
定理1.のブロック直交基底を構築します 2（（ ）。
{L ^ {2}（ mathbb {R}）}
の単一正規直交基底から 2
[ 0 1 ] {L ^ {2} }
。
定理1。
もしも
{{e k } k ∈ Z { {e_ {k} } _ {k in mathbb {Z}}}
の正規直交基底です 2
[ 0 1 ] {L ^ {2} }
、 それから
{{ 、 k （（ ）。=（（ ）。1 l e k（（ − l ）。 } （（ 、 k ）。 ∈ Z
{ {g_ {p、k}（t）= g_ {p}（t）{ frac {1} { sqrt {l_ {p}}}} e_ {k}（{ frac {t- a_ {p}} {l_ {p}}}）} _ {（p、k） in mathbb {Z}}}
のブロック正規直交基底です 2（（ ）。
{L ^ {2}（ mathbb {R}）}
証拠
拡張され翻訳された家族が
{{1 l e k（（ − l ）。 } （（ 、 k ）。 ∈ Z
{ {{ frac {1} { sqrt {l_ {p}}}} e_ {k}（{ frac {t-a_ {p}} {l_ {p}}}）} _ { （p、k） in mathbb {Z}}}
の正規直交基底です 2
{L ^ {2} [a_ {p}、a_ {p + 1}]}
。もしも ≠ {p neq q}
、 それから
⟨ 、 k 、 、 k ⟩= 0
{ langle g_ {p、k}、g_ {q、k} rangle = 0}
それらのサポートは重複しないためです。したがって、家族
{{ 、 k （（ ）。=（（ ）。1 l e k（（ − l ）。 } （（ 、 k ）。 ∈ Z
{ {g_ {p、k}（t）= g_ {p}（t）{ frac {1} { sqrt {l_ {p}}}} e_ {k}（{ frac {t- a_ {p}} {l_ {p}}}）} _ {（p、k） in mathbb {Z}}}
正規直交です。信号を拡張するには {f}
このファミリでは、個別のブロックの合計として分解されます （（ ）。 = ∑ =
−
∞ （（ ）。（（ ）。 {f（t）= sum _ {p =- infty} ^ {+ infty} f（t）g_ {p}（t）、}
と各ブロック （（ ）。（（ ）。
{f（t）g_ {p}（t）}
に基づいて分解されます
{{1 l e k（（ − l ）。 } （（ 、 k ）。 ∈ Z
{ {{ frac {1} { sqrt {l_ {p}}}} e_ {k}（{ frac {t-a_ {p}} {l_ {p}}}）} _ { （p、k） in mathbb {Z}}}
ブロックフーリエ基底
ブロック基底は、次のフーリエ基底で構成されます。L 2
[ 0 1 ] {L ^ {2} }
：
{{e k（（ ）。 = e （（ 私2 k
π ）。} k ∈ Z { {e_ {k}（t）= exp（i2k pi t）} _ {k in mathbb {Z}}}
各ブロックフーリエベクトルの時間サポート 、 k {g_ {p、k}}
は
{[a_ {p}、a_ {p + 1}]}
サイズの
l {l_ {p}}
。のフーリエ変換 = 1 [ 0 1 ] {g = 1 _ {}}
は ^（（ w
）。 = sin （（ w 2
）。 w 2 e （（ 私 w 2）。
{{ hat {g}}（w）= { frac { sin（w / 2）} {w / 2}} exp（{ frac {iw} {2}}）}
と ^ 、 k （（ w
）。 = l ^（（ lw− 2 k π ）。 e （（ −I 2 π
k l ）。 {{ hat {g}} _ {p、k}（w）= { sqrt {l_ {p}}} { hat {g}}（l_ {p} w-2k pi）exp（ { frac {-i2 pi ka_ {p}} {l_ {P}}}）。}
を中心に2 k π
l − 1 {2k pi l_ {p} ^ {-1}}
に比例するゆっくりとした漸近減衰があります
l −1 | w | −
1 {l_ {p} ^ {-} 1 left vert w right vert ^ {-1}。}
この貧弱な周波数局在化のために、たとえ信号が {f}
は滑らかで、ブロックフーリエ基底での分解には大きな高周波係数が含まれる場合がこれは、期間区分の効果として解釈することもできます。
ディスクリートブロックベース
すべてのために ∈ Z {p in mathbb {Z}}
、 仮定∈ Z {a_ {p} in mathbb {Z}}
。個別のブロックベースは、間隔を置いてサポートされている個別の長方形のウィンドウで構築されています
{[a_ {p}、a_ {p-1}]}
：= 1
[、+1 −
1 ] （（ ）。
{g_ {p} = 1 _ {[a_ {p}、a_ {p + 1} -1]}（n）}
。
膨張は個別のフレームワークで定義されていないため、単一の基準からさまざまなサイズの間隔の基数を一般的に導出することはできません。したがって、定理2は、 l
{ mathbb {C} ^ {l}}
のために l >> 0 {l> 0}
0}””>
構築することができます。証拠は次のとおりです。
定理2。
仮定
{{e k l } 0 ⩽ < l { {e_ {k、l} } _ {0 leqslant k
の直交基底です l
{ mathbb {C} ^ {l}}
のために l >> 0 {l> 0}
0}””>
。家族
{{ 、k = e
k l } 0 ⩽
k < l 、 ∈ Z { {g_ {p、k} = g_ {p} e_ {k、l_ {p}} } _ {0 leqslant k
のブロック正規直交基底です 2（（ Z ）。 {l ^ {2}（ mathbb {Z}）}
。
離散ブロック基底は、離散フーリエ基底で構築されます
{{ e k l 1 l e （（ 私2 π
k l）。} 0 ⩽ < l { {e_ {k、l } = { frac {1} { sqrt {l}}} exp（{ frac {i2 pi kn} {l}}）} _ {0 leqslant k
結果のブロックフーリエベクトル 、 k {g_ {p、k}}
ウィンドウの境界で鋭い遷移があるため、周波数が十分に局所化され連続の場合と同様に、滑らかな信号の分解 {f}
境界効果のために、大振幅の高周波係数が生成される場合が
画像のブロックベース
画像の一般的なブロックベースは、平面を分割することによって構築されます 2
{ mathbb {R} ^ {2}}
長方形に {{ ××
} ∈ Z { {[a_ {p}、b_ {p}] times [c_ {p}、d_ {p}] } _ {p in mathbb {Z}}}
任意の長さの
l=− {l_ {p} = b_ {p} -a_ {p}}
と幅
w=− {w_ {p} = d_ {p} -c_ {p}}
。させて
{{e k } k ∈ Z { {e_ {k} } _ {k in mathbb {Z}}}
の正規直交基底である 2
[ 0 1 ] {L ^ {2} }
と = 1 [ 0 1 ] {g = 1 _ {}}
。次のように表すことができます k
、（（ 、 y ）。= （（ − l ）。 （（ y
− w ）。 1 l w e k （（ − l ）。
e（（ y
− w ）。
{g_ {p、k、j}（x、y）= g（{ frac {x-a_ {p}} {l_ {p}}}）g（{ frac {y-c_ {p} } {w_ {p}}}）{ frac {1} { sqrt {l_ {p} w_ {p}}}} e_ {k}（{ frac {x-a_ {p}} {l_ {p }}}）e_ {j}（{ frac {y-c_ {p}} {w_ {p}}}）}
。 家族
{{ 、 k 、 }（（ 、 k 、 ）。∈ Z 3 { {g_ {p、k、j} } _ {（p、k、j） in mathbb {Z} ^ {3}}}
の正規直交基底です 2（（ 2）。
{L ^ {2}（ mathbb {R} ^ {2}）}
。
離散画像の場合、各長方形をカバーする離散ウィンドウを定義できます= 1 [、−
1 ] ×× 、− 1 ] {g_ {p} = 1 _ {[a_ {p}、b_ {p} -1] times [c_ {p}、d_ {p} -1]}}
。
もしも
{{e k l } 0 ⩽ < l { {e_ {k、l} } _ {0 leqslant k
の直交基底です l
{ mathbb {C} ^ {l}}
のために l >> 0 {l> 0}
0}””>
、 それから
{{ 、
k = e k l
e 、w }（（ k
、 、 ）。 ∈ （（ Z
）。 3 { {g_ {p、k、j} [n_ {1}、n_ {2}] = g_ {p} [n_ {1}、n_ {2}] e_ {k、l_ {p}} [ n_ {1} -a_ {p}] e_ {j、w_ {p}} [n_ {2} -c_ {p}] } _ {（k、j、p） in mathbb {（} Z）
^ {3}}}
のブロックベースです 2（（ 2）。
{l ^ {2}（ mathbb {R} ^ {2}）}
参考文献
St´ephane Mallat、信号処理のウェーブレットツアー、第3回”