C *-代数 – 日本語百科事典辞書

C*-algebra

「C * -algebra」
数学、特に関数解析では、C ∗代数（「C-star」と発音）は、随伴作用素の特性を満たす対合を伴うバナッハ代数です。特定のケースは、2つの追加のプロパティを持つ複雑なヒルベルト空間上の連続線形演算子の複雑な代数Aのケースです。
Aは、演算子のノルムトポロジーにおけるトポロジー的に閉集合です。
Aは随伴作用素の操作により閉鎖されます。
非ヒルベルトC *-代数の別の重要なクラスには、代数が含まれます 0 （ X ）。
{ C_ {0}（X）}
無限遠で消えるX上の複素数値連続関数の数。ここで、 Xは局所コンパクトハウスドルフ空間です。
C *-代数は、物理的観測量の代数をモデル化するための量子力学での使用を主な目的として最初に検討されました。この一連の研究は、ヴェルナーハイゼンベルクの行列力学から始まり、1933年頃にパスクアルヨルダンでより数学的に発展した形で始まりました。その後、ジョンフォンノイマンはこれらの代数の一般的なフレームワークを確立しようとしました。演算子。これらの論文は、現在フォンノイマン代数として知られている特別なクラスのC *-代数を考慮しました。
1943年頃、IsraelGelfandとMarkNaimarkの研究により、ヒルベルト空間上の演算子を参照せずにC *-代数の抽象的な特性が得られました。
C *-代数は現在、局所コンパクト群のユニタリ表現の理論における重要なツールであり、量子力学の代数定式化でも使用されています。もう1つの活発な研究分野は、分離可能な単純な核C *-代数について、分類を取得するプログラム、または分類が可能な範囲を決定するプログラムです。

コンテンツ
1 抽象的特性
2 いくつかの歴史：B *-代数とC *-代数
3 C *-代数の構造
3.1 自己随伴要素 3.2 商と近似単位
4 例
4.1 有限次元C *-代数 4.2 C *-演算子の代数 4.3 C *-コンパクト演算子の代数 4.4 可換C *-代数 4.5 C *-包絡代数 4.6 フォンノイマン環
5 C *-代数のタイプ
6 C *-代数と場の量子論
7 も参照してください
8 ノート
9 参考文献

抽象的特性
まず、ゲルファント・ナイマルクによる1943年の論文で与えられたC *-代数の抽象的な特徴づけから始めます。
AC *-代数Aは、複素数の体上のバナッハ代数であり、マップとともにX↦X ∗
{ textstyle x mapsto x ^ {*}}
${textstyle$
にとってX∈ A
{ textstyle x in A}

次のプロパティを使用します。
これは、Aのすべてのxに対する対合です。
X ∗ ∗ = （（X ∗ ）。∗ =X
{ x ^ {**} =（x ^ {*}）^ {*} = x}

Aのすべてのx、yについて：（（ X + y）。∗ =
X∗ +
y ∗ {（x + y）^ {*} = x ^ {*} + y ^ {*}}
（ X y）。∗ =
y∗X ∗
{（xy）^ {*} = y ^ {*} x ^ {*}}

Cのすべての複素数λとAのすべてのxに対して：（（ λX）。∗ = λ X
∗ {（ lambda x）^ {*} = { overline { lambda}} x ^ {*}。}

Aのすべてのxについて：‖X ∗X ‖ = ‖X ‖ ‖X ∗
‖ { | x ^ {*} x | = | x | | x ^ {*} |。}

述べる。最初の3つの恒等式は、Aが*代数であることを示しています。最後のIDはC * IDと呼ばれ、次のものと同等です。‖XX ∗ ‖ = ‖X ‖
2 { | xx ^ {*} | = | x | ^ {2}、}