C 0 -半群

C0-semigroup
数学では、強連続 1 パラメータ半群とも呼ばれるC 0半群は、指数関数の一般化です。指数関数がスカラー線形定数係数常微分方程式の解を提供するように、強連続半群はバナッハ空間の線形定数係数常微分方程式の解を提供します。このようなバナッハ空間の微分方程式は、遅延微分方程式や偏微分方程式などから生じます。
正式には、強連続半群は、強作用素トポロジーで連続なバナッハ空間X上の半群 ( R + ，+)の表現です。したがって、厳密に言えば、強連続半群は半群ではなく、非常に特定の半群の連続表現です。

コンテンツ
1 正式な定義
2 無限小ジェネレータ
3 一様連続半群
4 例
4.1 かけ算半群 4.2 翻訳半群
5 抽象的なコーシー問題
6 生成定理
7 半群の特殊類
7.1 一様連続半群 7.2 解析半群 7.3 収縮半群 7.4 可微分半群 7.5 コンパクト半群 7.6 ノルム連続半群
8 安定
8.1 指数安定性 8.2 強い安定性
9 こちらもご覧ください
10 ノート
11 参考文献

正式な定義
バナッハ空間上の強連続半群X
{ X}

地図ですT : R + L(X )
{ T:mathbb {R} _{+}to L(X)}

そのような T ( 0) = I
{ T(0)=I}

， (上の恒等演算子X
{ X}
)∀ t s ≥ 0 : T ( t+ s ) = T( t) T( s ) { forall t，sgeq 0: T(t+s)=T(t)T(s)}
X 0 εX : ‖ T ( t)X 0 −X 0 ‖ 0 { forall x_{0}in X: |T(t)x_{0}-x_{0}|to 0}

、 なのでt ↓ 0
{ tdownarrow 0}
. 最初の 2 つの公理は代数的であり、次のように述べています。 T { T}

半群の表現です ( R + + ) { {(mathbb {R} _{+}，+)}}

; 最後はトポロジカルであり、マップが T { T}

ストロング オペレータ トポロジでは連続しています。

無限小ジェネレータ
強連続半群Tの無限小生成元 Aは、次のように定義されます。あX =
リム t ↓0 1 t ( T( t) − I )X
{ A，x=lim _{tdownarrow 0}{frac {1}{t}}，(T(t)-I)，x}

制限が存在するときはいつでも。Aの定義域D ( A ) は、この極限が存在するx∈Xの集合です。D ( A ) は線形部分空間であり、Aはこの定義域で線形です。演算子Aは閉じていますが、必ずしも有界ではなく、領域はXで密です。
生成元Aを持つ強連続半群Tは、しばしば記号で表されます。e あ t
{ e^{At}}
(または、同等に、
指数( あt )
{ exp(At)}

）。この表記法は、行列指数の表記法、および関数計算(たとえば、スペクトル定理を介して)によって定義された演算子の関数の表記法と互換性が

一様連続半群
一様連続半群は強連続半群Tで、次のようになります。
リムt 0 +
‖ T ( t) − I ‖ = 0 { lim _{tto 0^{+}}|T(t)-I|=0}

保持します。この場合、Tの無限小生成子Aは有界であり、次のようになります。 D ( あ) =X
{ {mathcal {D}}(A)=X}
と T( t) = e あ t
:= ∑ k= 0 ∞ あ kk ! t k . { T(t)=e^{At}:=sum _{k=0}^{infty}{frac {A^{k}}{k!}}t^{k}.}

逆に、任意の有界演算子あ :X X
{ Acolon Xto X}

で与えられる一様連続半群の無限小生成子です。 T ( t ) :=e あ t
{ T(t):=e^{At}}
. したがって、線形演算子Aは、 Aが有界線形演算子である場合に限り、一様連続半群の無限小生成元になります。 Xが有限次元バナッハ空間の場合、任意の強連続半群は一様連続半群です。一様連続半群ではない強連続半群に対して、無限小生成子Aは有界ではない。この場合、e あ t
{ e^{At}}

収束する必要はありません。

例

かけ算半群
バナッハ空間を考えるハ 0 R )
:={ へ : R ハ
 連続: ∀ ϵ > 0∃ c > 0
 そのような 
| |へ (X )
| |≤ ϵ ∀X ε R ∖ [ −c c ] }
{ C_{0}(mathbb {R} ):={f:mathbb {R} rightarrow mathbb {C} {text{ 連続}}:forall epsilon >0~exists c >0{text{ such that }}vert f(x)vert leq epsilon ~forall xin mathbb {R} setminus }}
0~exists c>0{text{ such that }}vert f(x)vert leq epsilon ~forall xin mathbb {R} setminus }}””>
スーパーノルムに恵まれている‖ へ ‖ := すするX ε R
| |へ (X )
| |
{ Vert fVert :={text{sup}}_{xin mathbb {R} }vert f(x)vert }

. させてq : R ハ
{ q:mathbb {R} rightarrow mathbb {C} }

と連続関数になる
すする s ε ( q ( s) ) < ∞
{ {text{sup}}_{sin mathbb {R} }{text{Re}}(q(s))
. オペレーターM q へ :=q ⋅ へ
{ M_{q}f:=qcdot f}

ドメイン付き D ( M q) :={ へ ε ハ 0( R) : q ⋅ へ
εハ 0 R ) }
{ D(M_{q}):={fin C_{0}(mathbb {R} ):qcdot fin C_{0}(mathbb {R} )}}

密に定義された閉じた演算子であり、乗算半群を生成します( Tq t ) ) t ≥ 0
{ (T_{q}(t))_{tgeq 0}}

どこT q t ) へ
:=e q t
へ . { T_{q}(t)f:=mathrm {e} ^{qt}f.}

乗算演算子は、対角行列の無限次元の一般化と多くのプロパティとして見ることができますM q
{ M_{q}}

のプロパティによって導出できます q { q}

. 例えばM q
{ M_{q}}

に制限されていますハ 0 R )
{ C_{0}(mathbb {R)} }

場合に限り q { q}

制限されています。

翻訳半群
させて ハ あなたb R )
{ C_{ub}(mathbb {R} )}

上の有界一様連続関数の空間とする R { mathbb {R} }

スーパーノルムに恵まれています。(左) 翻訳半群( Tl t ) ) t ≥ 0
{ (T_{l}(t))_{tgeq 0}}

によって与えられますT l t ) へ( s ) := へ ( s+ t ) s t ε R { T_{l}(t)f(s):=f(s+t)quad s，tin mathbb {R} }
. そのジェネレーターは導関数ですあ へ
:=へ 」
{ Af:=f’}

ドメイン付き D ( あ ) :={ へ ε ハ
あなたb R ) : へ
 で微分可能 
へ」 ε ハ
あなたb R ) }
{ D(A):={fin C_{ub}(mathbb {R} ):f{text{ }}f’in C_{ub}(mathbb {R} で微分可能}}

.

抽象的なコーシー問題
抽象的なコーシー問題を考えてみましょう:
あなた」 t ) = あ
あなた ( t ) あなた( 0 ) =X { u'(t)=Au(t)，~~~u(0)=x，}