Cantor_cube
数学では、カントール キューブは、あるインデックス セットAの形式 {0， 1} Aのトポロジー グループです。その代数構造とトポロジー構造は、次数 2 の巡回群(それ自体が離散トポロジーを与えられている)上の群直積および積トポロジーです。
Aが可算無限集合の場合、対応するカントール キューブはカントール空間です。通常は準同型画像ではありませんが、すべてのコンパクト群は 1 つの連続画像であるため、カントール立方体はコンパクト群の中で特別です。(文献は不明確な場合があるため、安全のために、すべての空間がHausdorffであると想定して)
トポロジー的に、カントール キューブは次のとおりです。
同種;
コンパクト;
ゼロ次元;
AE(0)、コンパクトなゼロ次元空間の絶対エクステンサー。(そのような空間の閉じたサブセットからカントール キューブへのすべてのマップは、空間全体に拡張されます。)
シェパンの定理により、これら 4 つの性質はカントール立方体を特徴付けます。プロパティを満たすすべての空間は、カントール立方体に同相です。
実際、すべての AE(0) 空間はカントール立方体の連続 像であり、少し努力すればすべてのコンパクト群が AE(0) であることを証明できます。したがって、すべてのゼロ次元コンパクト群はカントール立方体に同相であり、すべてのコンパクト群はカントール立方体の連続イメージです。
参考文献
Todorcevic、Stevo (1997)。トポロジ のトピック。ISBN 3-540-62611-5.
AA Mal’tsev （2001) 、「コロン」、数学百科事典、EMS プレス