Cantor_distribution
「カントール分布」
カントール分布は、ある確率分布その累積分布関数であるカントール関数。
カンター
累積分布関数
パラメーター
なし
サポート
カントール集合 PMF なし CDF カントール関数
平均 1/2 中央値
のどこでも
モード
該当なし
分散 1/8 歪度 0 元。尖度
−8 / 5MGF e t / 2 ∏ k = 1 MGF0
コッシュ（（ t 3 k）。
{ e ^ {t / 2} prod _ {k = 1} ^ { infty} cosh left（{ frac {t} {3 ^ {k}}} right）}CF e I t / 2 ∏ k = CF0 CF1 CF2（（ t 3 k）。
{ e ^ {it / 2} prod _ {k = 1} ^ { infty} cos left（{ frac {t} {3 ^ {k}}} right）}
この分布には、確率密度関数も確率質量関数もありません。累積分布関数は連続関数ですが、分布はLebesgueメジャーに関して完全に連続ではなく、点質量もありません。したがって、これは離散確率分布でも絶対連続確率分布でもありません。また、これらの混合でもありません。むしろ、それは特異分布の例です。
その累積分布関数はどこでも連続ですが、ほとんどどこでも水平であるため、悪魔の階段と呼ばれることもありますが、その用語はより一般的な意味を持っています。
コンテンツ
1 特性評価
2 瞬間
3 参考文献
4 参考文献
特性評価
カントール分布のサポートは、カントール集合であり、それ自体が（可算無限に多くの）集合の共通部分です。C 0 =
[ 0 1
] 1 = [ 0 1/ 3 ] ∪ 2 / 3 1
] 2 = [ 0 1/ 9 ] ∪ 2 / 9 1 / 3 /0 /1 /2 /33 7 / 9 ] ∪ 8 / 9 1
] 3 = [ 0 1/ 27 ] ∪ 2 / 27 1 / 9 /0 /1 /2 /39 7 / 27 ] ∪ 8 / 27 1 / 9 70 9 71 9 72
[ 2/ 3 19 / 27 ] ∪ 20 / 27 7 /0 /1 /2 /3 8 / 9 25 / 27 ] ∪ 26 / 80
] 4 = [ 0 1/ 81 ] ∪ 2 / 81 1 / 27 /0 /1 /2 /3
27 7/ 81 ] ∪ 8 / 81 1 / 9 /0 /1 /2 /39 19 / 81 ] ∪ 20 / 81 7 / 9 190 9 191 9 192
[ 8/ 27 25 / 81 ] ∪ 26 / 81 1 /0 /1 /2 /3
[ 2/ 3 55 / 81 ] ∪ 56 / 81 19 /0 /1 /2 /3 20 / 27 61 / 81 ] ∪
[ 62/ 81 21 / 27 ] ∪ 8 / 9 73 /0 /1 /2 /3
[ 74/ 81 25 / 27 ] ∪ 26 / 27 79 /0 /1 /2 /3 80 / 81 1
] 5= ⋯
{ { begin {aligned} C_ {0} = {}＆ \ C_ {1} = {}＆ cup \ C_ {2} = {}＆ cup cup cup \ C_ {3} = {}＆ cup [2 / 27，1 / 9] cup [2 / 9，7 / 27] cup cup \ {}＆[2 / 3，19 / 27] cup [20 / 27，7 / 9] cup [8 / 9，25 / 27] cup \ C_ {4} = {}＆ cup [2 / 81，1 / 27] cup [2 / 27，7 / 81] cup [ 8 / 81，1 / 9] cup [2 / 9，19 / 81] cup [20 / 81，7 / 27] cup \ ＆[8 / 27，25 / 81] cup [ 26 / 81，1 / 3] cup [2 / 3，55 / 81] cup [56 / 81，19 / 27] cup [20 / 27，61 / 81] cup \ ＆[ 62 / 81，21 / 27] cup [8 / 9，73 / 81] cup [74 / 81，25 / 27] cup [26 / 27，79 / 81] cup \ C_ {5} = {}＆ cdots end {aligned}}}
カントール分布は、いずれかの対象のユニークな確率分布であり、CのT（T ∈{0、1、2、3、…}）内の特定の間隔の確率CのTカントール分布確率変数を含むが同一であります2t間隔のそれぞれで2 − t。
瞬間
この分布を持つ確率変数 Xの場合、その期待値E（X）= 1/2であり、Xのすべての奇数の中心モーメントが0であることは対称的に簡単にわかります。
全分散の法則を使用して、次のように分散var（X）を見つけることができます。上記セットのためにC 1、聞かせて、Yが場合= 0 X 場合∈、及び1 X ∈。それで： var （（ X
）。= E（（ var（（ X ∣ Y ）。 ）。+ var（（ E（（ X ∣ Y ）。 ）。=1 9 var （（ X
）。+ var
{{1 / 6
確率で 1 /2 5/ 6
確率で1 / 2 }=1 9 var （（ X ）。 +1 9
{ { begin {aligned} operatorname {var}（X）＆= operatorname {E}（ operatorname {var}（X mid Y））+ operatorname {var}（ operatorname {E}（ X mid Y））\＆= { frac {1} {9}} operatorname {var}（X）+ operatorname {var} left {{ begin {matrix} 1/6＆{ mbox {確率付き}} 1/2 \ 5/6＆{ mbox {確率付き}} 1/2 end {matrix}} right } \＆= { frac {1} {9}} operatorname {var}（X）+ { frac {1} {9}} end {aligned}}}
operatorname{var}(operatorname{E}(Xmid Y)) \
& = frac{1}{9}operatorname{var}(X) +
operatorname{var}
left{
begin{matrix} 1/6 & mbox{with probability} 1/2 \
5/6 & mbox{with probability} 1/2
end{matrix}
right} \
& = frac{1}{9}operatorname{var}(X) + frac{1}{9}end{align}””> これから、次のことがわかります。 var （（ X
）。= 1
8 { operatorname {var}（X）= { frac {1} {8}}。}
偶数のキュムラントを最初に取得することにより、任意の中心モーメントの閉形式の式を見つけることができます。 κ 2 n =2 2n − 1（（ 22 n − 1
）。B 2 n n （（ 32 n − 1
）。 { kappa _ {2n} = { frac {2 ^ {2n-1}（2 ^ {2n} -1）B_ {2n}} {n 、（3 ^ {2n} -1）}} 、、！}
{n， (3^{2n}-1)}， ，!”> ここで、B 2 、N 2 、N番目のベルヌーイ数、及びその後キュムラントの関数としての瞬間を表します。
参考文献
^ モリソン、ケント（1998-07-23）。「ステップが減少するランダムウォーク」 （PDF）。カリフォルニアポリテクニック州立大学数学科。アーカイブ元 （PDF） 2015年12月2日に。
参考文献
ヒューイット、E。; ストロンバーグ、K。（1965）。リアルおよびアブストラクト分析。ベルリン-ハイデルベルク-ニューヨーク：Springer-Verlag。 これは、他の標準テキストと同様に、カントール関数とその片側派生物を持っています。
フー、ティエン-あなた; ラウ、カー・シング（2002）。「無限大でのカンター型測度のフーリエ漸近解析」。Proc。AMS。130（9）。pp。2711–2717。 これは、このリファレンスリストの他のテキストよりも最新のものです。
Knill、O。（2006）。確率論と確率過程。インド：海外プレス。
Mattilla、P。（1995）。ユークリッド空間における集合の幾何学。サンフランシスコ：ケンブリッジ大学出版局。 これはフラクタルに関するより高度な資料を持っています。”