Cantor_function
数学、カントール関数は一例である関数である連続ではなく、絶対連続。これは、連続性、導関数、および測定に関する素朴な直感に挑戦するため、分析における名高い反例です。それはどこでも連続であり、ほとんどどこでも導関数がゼロですが、その引数が0から1に達すると、その値は0から1になります。したがって、ある意味では、関数は成長できない定数のように見えます。 、それは実際に構造によって単調に成長します。
単位区間のカントール関数のグラフの近似
それはとも呼ばれるカントールの三元機能、ルベーグ関数、 ルベーグの特異機能、カントール-ビタリ機能、デビルの階段、カントール階段関数、とカントール-ルベーグ機能。 Georg Cantor （1884）は、Cantor関数を導入し、Scheefferが、Harnackが主張する微積分学の基本定理の拡張に対する反例であると指摘したと述べました。カントール関数は、Scheeffer（1884）、Lebesgue（1904）、およびVitali（1905）によって議論され、普及しました。
コンテンツ
1 意味
2 プロパティ
2.1 絶対連続性の欠如
3 代替定義
3.1 反復構造 3.2 フラクタルボリューム
4 自己相似性
5 一般化
6 も参照してください
7 ノート
8 参考文献
9 外部リンク
意味
図を参照してカントール関数c ：を正式に定義するには、xをとし、次の手順でc（x）を取得します。
xを基数3で表現します。
xに1が含まれている場合は、最初の1の後のすべての数字を厳密に0に置き換えます。
残りの2を1に置き換えます。
結果を2進数として解釈します。結果はc（x）です。
例えば：
1/4は基数3の0.02020202 …です。1がないので次のステージはまだ0.02020202です…これは0.01010101として書き直されます…基数2で読み取ると、これは1/3に対応するため、c（ 1/4）= 1/3。
1/5は基数3の0.01210121 …です。最初の1の後の数字は、0.01000000を生成するために0に置き換えられます… 2がないため、これは書き換えられません。基数2で読み取ると、これは1/4に対応するため、c（1/5）= 1/4になります。
200/243は、基数3で0.21102（または0.211012222 …）です。最初の1の後の数字は、0.21を生成するために0に置き換えられます。これは0.11と書き直されます。基数2で読み取ると、これは3/4に対応するため、c（200/243）= 3/4になります。
同等に、 C { { mathcal {C}}}
はに設定されたカントールであり、カントール関数c ：は次のように定義できます。 c （（ X
）。 = {{∑ n = 1 ∞ a 2 X = ∑ ∑0 ∑1 ∑2
∞2 n3 ∈ C
f o r a n ∈ {{0 1 } ; sup y
≤X y∈ C c（（ y
）。 X ∈ [ 0 1] ∖
C{ c（x）= { begin {cases} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {a_ {n}} {2 ^ {n}}}、＆x = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {2a_ {n}} {3 ^ {n}}} in { mathcal {C}} mathrm {for} a_ {n} in {0，1 }; \ sup _ {y leq x、、y in { mathcal {C}}} c（y）、＆x in setminus { mathcal { C}}。\ end {cases}}}
カントール集合のすべてのメンバーには、0または2の数字のみを含む一意の基数3表現があるため、この式は明確に定義されています。 C { { mathcal {C}}}
、三元展開は末尾の2で繰り返され、1で終わる代替の非反復展開がたとえば、1/3 = 0.1 3 = 0.02222 … 3はカントール集合のメンバーです）。以来、C（0）= 0およびC（1）= 1、およびcが単調です C { { mathcal {C}}}
それは明らかである0≤ C（X）≤1もすべて当てはまりますX ∈ [ 0 1] ∖ C
{ x in setminus { mathcal {C}}}
。
プロパティ
カントール関数は、連続性と測定に関する素朴な直感に挑戦します。それはどこでも連続であり、ほとんどどこでも導関数がゼロですが、 c （（ X ）。 { textstyle c（x）}
0から1になりますX
{ textstyle x}
0から1になり、その間のすべての値を取ります。カントール関数は、一様連続（正確には、指数α = log 2 / log 3のヘルダー連続）であるが絶対連続ではない実関数の最も頻繁に引用される例です。これは、フォーム（0の間隔で一定であり、X 1 、X 2 、X 3 … X N 022222 …、0 X 1 X 2 X 3 … X N 200000 …）、そして全ての点ではありませんカントール集合のはこれらの区間の1つにあるため、その導関数はカントール集合の外では0です。一方、上記の区間エンドポイントを含むカントール集合の非可算サブセットのどの時点でも導関数はありません。
カントール関数は、カントール集合でサポートされている1 / 2-1 / 2ベルヌーイ測度μの累積確率分布関数と見なすこともできます。 c （（ X
）。= μ（（ [ 0 X ] ）。
{ textstyle c（x）= mu（）}
。カントール分布と呼ばれるこの確率分布には、離散部分がありません。つまり、対応するメジャーはアトムレスです。これが、関数にジャンプの不連続性がない理由です。このようなジャンプは、メジャーのアトムに対応します。
ただし、カントール関数の非定数部分は、確率密度関数の積分として表すことはできません。任意の区間でほとんどどこでもゼロではない推定確率密度関数を統合すると、この分布が確率ゼロを割り当てる区間に正の確率が与えられます。特に、Vitali（1905）が指摘したように、導関数はほとんどどこにでも存在しますが、関数はその導関数の積分ではありません。
カントール関数は、特異関数の標準的な例です。
カントール関数は減少しないため、特にそのグラフは修正可能な曲線を定義します。Scheeffer（1884）は、グラフの弧長が2であることを示しました。
絶対連続性の欠如
ためルベーグ測度の非可算無限 カントール集合が0である、任意の正のためにε <1及びδの有限のシーケンスが存在するペアワイズ互いに素の全長<有するサブ間隔 δカントール関数は、累積以上上昇その上 εは。
実際には、すべてのためのδ > 0有限個のペアワイズのディスジョイント間隔（あるのx K、Y 、K）（1≤ K ≤ M）とは∑ k = 1 M（（ yk X
k）。< δ
{ sum Limits _ {k = 1} ^ {M}（y_ {k} -x_ {k}）< delta}
と
∑k = 1 M （ c （（ y
k）。− c（（ X
k）。
）。= 1
{ sum Limits _ {k = 1} ^ {M}（c（y_ {k}）-c（x_ {k}））= 1}
。
代替定義
反復構造
我々は{シーケンス定義以下F Nカントール関数に収束する単位区間上の機能を}。
ましょうfは0（X）= X。
次いで、すべての整数をN ≥0 、次関数F N +1（X）で定義されるF N（X次のように）。
ましょうfはN +1（X）= 1/2× F N（3 X）場合、0≤ X ≤1/3 。
ましょうF N +1（xは場合）1/2 = 1/3≤ X ≤2/3 。
ましょうfはN +1（X）= 1/2 + 1/2× F N（3 X – 2） 、2/3≤ X ≤1 。
3つの定義は、エンドポイント1/3及び2/3に互換性があるためであり、F N（0）= 0とF N毎に（1）= 1 N誘導により、。一つのことをチェックすることができるF N収束は、上記で定義カントール関数に点状。さらに、収束は均一です。確かに、の定義によれば、3つのケースに分離F N +1、1はそれを見て
最大X ∈ [ 0 1] | f n + 1（（ X
）。− f n（（ X ）。 | 1 2
最大X ∈ [ 0 1] | f n（（ X
）。− f n − 1（（ X ）。 | n ≥ 1.1。
{ max _ {x in } | f_ {n + 1}（x）-f_ {n}（x）| leq { frac {1} {2}} 、 max _ {x in } | f_ {n}（x）-f_ {n-1}（x）|、 quad n geq 1.}
場合fは制限機能を示し、それはすべてのために、それに続くN 、≥0
最大X ∈ [ 0 1] | f （（ X
）。− f n（（ X ）。 | 2− n + 1
最大X ∈ [ 0 1] | f 1（（ X
）。− f 0（（ X ）。 | { max _ {x in } | f（x）-f_ {n}（x）| leq 2 ^ {-n + 1} 、 max _ {x in } | f_ {1}（x）-f_ {0}（x）|。}
また、f 0（0）= 0、f 0（1）= 1、およびf 0が制限されている場合、開始関数の選択は実際には重要ではありません。
フラクタルボリューム
カントール関数は、カントール集合と密接に関連しています。カントール集合Cは、1の後にゼロのみが続く場合を除いて、3進数（3進数）の展開に数字1を含まない区間の数値の集合として定義できます（テール1000の場合 … { ldots}
0222に置き換えることができます … { ldots}
1）を取り除くために。カントール集合は、（数え切れないほど）無限に多くの点（ゼロ次元の体積）を持つフラクタルですが、長さはゼロ（1次元の体積）であることがわかります。D次元ボリュームのみH D
{ H_ {D}}
（ハウスドルフ測度の意味で）有限値を取ります。ここでD =
ログ （ 2 ）。 / ログ （ 3 ）。
{ D = log（2）/ log（3）}
はCのフラクタル次元です。カントール関数を、カントール集合のセクションのD次元ボリュームとして定義することもできます。 f （（ X
）。= H D（（ C ∩ （（ 0 X ）。 ）。 { f（x）= H_ {D}（C cap（0、x））。}
自己相似性
カントール関数にはいくつかの対称性がにとって0 ≤X ≤ 1
{ 0 leq x leq 1}
、反射対称性があります c （（ X
）。= 1 − c（（ 1 −X ）。
{ c（x）= 1-c（1-x）}
倍率のペア、1つは左側、もう1つは右側： c （（ X 3 ）。= c （（ X
）。 2 { c left（{ frac {x} {3}} right）= { frac {c（x）} {2}}}
と c（（ X +2 3 ）。 1+ c（（ X
）。 2 { c left（{ frac {x + 2} {3}} right）= { frac {1 + c（x）} {2}}}
倍率はカスケードできます。それらは二項モノイドを生成します。これは、いくつかのヘルパー関数を定義することによって示されます。反射を次のように定義します r （（ X
）。= 1 −X
{ r（x）= 1-x}
最初の自己対称性は次のように表すことができますr ∘ c = c ∘ r
{ r circ c = c circ r}
ここでシンボル ∘ { circ}
関数の合成を示します。あれは、（（ r∘ c ）。 （（ X
）。= r（（ c（（ X ）。 ）。= 1 − c（（ X ）。 {（r circ c）（x）= r（c（x））= 1-c（x）}
他の場合も同様です。左右の倍率については、左マッピングを記述しますL D（（ X
）。=X 2
{ L_ {D}（x）= { frac {x} {2}}}
とL C（（ X
）。=X 3
{ L_ {C}（x）= { frac {x} {3}}}
次に、カントール関数は次のようになりますL D ∘ c = c ∘ L C
{ L_ {D} circ c = c circ L_ {C}}
同様に、適切なマッピングを次のように定義しますR D（（ X
）。= 1 +X 2
{ R_ {D}（x）= { frac {1 + x} {2}}}
とR C（（ X
）。= 2 +X 3
{ R_ {C}（x）= { frac {2 + x} {3}}}
そして、同様に、R D ∘ c = c ∘ R C
{ R_ {D} circ c = c circ R_ {C}}
両側を一方から他方にミラーリングすることができます。L D ∘ r = r ∘ R D
{ L_ {D} circ r = r circ R_ {D}}
同様に、L C ∘ r = r ∘ R C
{ L_ {C} circ r = r circ R_ {C}}
これらの操作は任意に積み重ねることができます。たとえば、左右の動きのシーケンスを考えてみましょうL R L L
R {LRLLR。}
下付き文字CとDを追加し、わかりやすくするために、合成演算子を削除します ∘ { circ}
いくつかの場所を除いて、1つは次のとおりです。L D R D L D L D R L0 L1 L2 L3c ∘ L C R C L C L c0 c1 c2
{ L_ {D} R_ {D} L_ {D} L_ {D} R_ {D} circ c = c circ L_ {C} R_ {C} L_ {C} L_ {C} R_ {C} }
文字LとRの任意の有限長文字列は、すべての2進有理数を両方として記述できるという点で、2進分数に対応します。y = n /
2 m { y = n / 2 ^ {m}}
整数nおよびmの場合、およびビットの有限長としてy = 0。 b 1 b 2 b3 b y0
{ y = 0.b_ {1} b_ {2} b_ {3} cdots b_ {m}}
と
b k ∈
{{ 0 1 } { b_ {k} in {0，1 }。}
したがって、すべての2進有理数は、カントール関数の自己対称性と1対1で対応しています。
一部の表記法の再配置により、上記の表現が少し簡単になります。させてg 0
{ g_ {0}}
と 1
{ g_ {1}}
LとRの略です。関数の合成はこれをモノイドに拡張します。g010 g 0 g 1 g 0
{ g_ {010} = g_ {0} g_ {1} g_ {0}}
そして一般的に、
gA g B=g A B
{ g_ {A} g_ {B} = g_ {AB}}
数字A、Bのいくつかのバイナリ文字列の場合、ABはそのような文字列の通常の連結です。二項モノイドMは、そのようなすべての有限長の左右の動きのモノイドです。書き込みγ ∈ M
{ gamma in M}
モノイドの一般的な要素として、カントール関数の対応する自己対称性が γ D∘ c = c ∘ γ C { gamma _ {D} circ c = c circ gamma _ {C}}
二項モノイド自体にはいくつかの興味深い特性がこれは、有限数の左右が無限の二分木を下に移動するものと見なすことができます。ツリー上の無限に離れた「葉」はカントール集合上の点に対応するため、モノイドはカントール集合の自己対称性も表します。実際、一般的に発生するフラクタルの大規模なクラスは、二項モノイドによって記述されます。追加の例は、ド・ラーム曲線に関する記事に自己相似性を持つ他のフラクタルは、他の種類のモノイドで記述されます。二項モノイドはそれ自体がモジュラー群のサブモノイドですS L（（ 2 Z
）。 { SL（2、 mathbb {Z}）。}
カントール関数は、ミンコフスキーの疑問符関数とは一見似ているだけではないことに注意して特に、形式は変更されていますが、まったく同じ対称関係に従います。
一般化
させてy = ∑
k= 1 ∞
bk 2 − k
{ y = sum _ {k = 1} ^ { infty} b_ {k} 2 ^ {-k}}
ことダイアディック実数0≤の（バイナリ）膨張Y進数の点で≤1 B K ∈{0，1}。この拡張については、2進変換に関する記事で詳しく説明されています。次に、関数を検討しますC z（（ y
）。= ∑
k= 1 ∞ bk z k { C_ {z}（y）= sum _ {k = 1} ^ { infty} b_ {k} z ^ {k}。}
以下のために、Z = 1/3、関数の逆関数X = 2 C 1/3（yは）カントール関数です。つまり、y = y（x）はカントール関数です。一般に、z <1/2の場合、C z（y）はカントール関数が横向きになっているように見え、zがゼロに近づくにつれてステップの幅が広くなります。
上記のように、カントール関数は、カントール集合のメジャーの累積分布関数でもカントール集合または他のフラクタルでサポートされているさまざまなアトムレス確率測度を考慮することにより、さまざまなカントール関数または悪魔の階段を取得できます。カントール関数はほとんどすべての場所で導関数0を持ちますが、現在の研究では、右上の導関数が右下の導関数とは異なり、導関数が存在しないポイントのセットのサイズの問題に焦点が当てられています。この微分可能性の分析は通常、フラクタル次元の観点から行われ、ハウスドルフ次元が最も一般的な選択肢です。この一連の研究は、1990年代にダーストによって開始され、カントール関数の非微分可能性のセットのハウスドルフ次元がカントール集合の次元の二乗であることを示しました。（（ ログ
2 / ログ 3 ）。 2 {（ log 2 / log 3）^ {2}}
。その後、Falconer は、この二乗関係がAhlforのすべての通常の特異測度に当てはまることを示しました。
薄暗い H {{X： f ′ （ X ）。 = リムh 0 + μ（（ [X X+ h ]
）。 h 存在しません
} = （（ 薄暗い H 供給（（ μ）。）。 2 { dim _ {H} left {x：f ‘（x）= lim _ {h to 0 ^ {+}} { frac { mu（）} {h}} { text {は存在しません}} right } = left（ dim _ {H} operatorname {supp}（ mu） right）^ {2}}
後で、Troscheit
は、自己相似および自己相似集合でサポートされるより一般的な正規化されたギブの測度の導関数が存在しない集合のより包括的な画像を取得し Hermann Minkowskiの質問マーク関数は、視覚的にはCantor関数に大まかに似ており、後者の「滑らかな」形式として表示されます。カントール関数が3進展開から2進展開に渡されるのと同じように、連分数展開から2進展開に渡されることによって構築できます。疑問符関数には、すべての有理数で導関数が消えるという興味深い特性が
も参照してください
二進変換
ノート
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外部リンク
数学百科事典でのカンター三項関数
ダグラスリバーズによるカントール関数、Wolframデモンストレーションプロジェクト。
ワイスタイン、エリックW. 「カントール関数」。MathWorld。”