Cantor_space
では、数学、カントール空間のために名付けられ、ゲオルク・カントールは、あるトポロジカル古典の抽象カントール集合：位相空間であるカントール空間のそれがある場合に同相にカントール集合。で集合論、位相空間2 ωは「」カントール空間と呼ばれます。
コンテンツ
1 例
2 特性評価
3 プロパティ
4 も参照してください
5 参考文献
例
カントール集合自体はカントール空間です。しかし、カントール空間の標準的な例は、離散2点空間{0、1}の可算無限 位相積です。これは通常、次のように記述されます2 N
{ 2 ^ { mathbb {N}}}
または2ω（2は離散トポロジーを持つ2要素セット{0，1}を示します）。2ωの点は無限の2進シーケンス、つまり値0または1のみを想定するシーケンスです。このようなシーケンスa 0、a 1、a 2、…が与えられると、実数にマップできます。∑ n = 0
∞2 n3 +
1 { sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {2a_ {n}} {3 ^ {n +1}}}。}
このマッピングは、2から同相写像を与えるωにカントール集合2ことを実証し、ωは確かにカントール空間です。
カントール空間は、実際の分析で豊富に発生します。例えば、彼らはすべての中に部分空間として存在し、完璧な、完全な 距離空間。（これを確認するには、このような空間では、空でない完全集合には、任意に小さい直径の2つの互いに素な空でない完全集合が含まれているため、通常のカントール集合の構成を模倣できます。）また、数えられないすべての、分離可能で完全に測定可能なスペースには、サブスペースとしてカントールスペースが含まれています。これには、実際の分析における一般的なタイプのスペースのほとんどが含まれます。
特性評価
カントール空間の位相的特徴は、ブラウワーの定理によって与えられます：
任意の二つの空でない
コンパクト
ハウスドルフ空間なしで
孤立点と可算有する
塩基からなる
開かつ閉集合は、互いに同相です。
開かつ閉集合からなる基底を持つ位相的性質は、「ゼロ次元性」として知られることもブラウワーの定理は次のように言い換えることができます。
位相空間は、それが空ではなく、完全で、
コンパクトで、
完全に切断されており、
距離化可能である場合に限り、カントール空間です この定理は、（ブール代数のストーンの表現定理を介して）任意の2つのカウント可能な原子のないブール代数が同型であるという事実とも同等です。
プロパティ
ブラウワーの定理から予想できるように、カントール空間はいくつかの形で現れます。しかし、カントール空間の多くの特性は、2ωを使用して確立できます。これは、製品としての構造により、分析が容易になるためです。
カントール空間には次の特性が
カントール空間のカーディナリティは
2ℵ 0
{ 2 ^ { aleph _ {0}}}
、つまり、連続体のカーディナリティ。
2つの（または有限または可算数の）カントール空間の積は、カントール空間です。カントール関数とともに、このファクトを使用して空間充填曲線を作成できます。（空ではない）Hausdorff位相空間は、カントール空間の連続画像である場合に限り、コンパクトな距離化可能です。
してみましょうC（X）位相空間上のすべての実数値、有界連続関数のスペース表すXを。してみましょうKはコンパクト距離空間を示し、Δはカントールの集合を表します。次に、カントール集合には次のプロパティが
C（K）は、C（Δ）の閉じた部分空間に対して等角です。
一般に、この等長写像は一意ではないため、カテゴリの意味で適切に普遍的なプロパティではありません。
カントール空間のすべての同相写像のグループは単純です。
も参照してください
宇宙（数学）
カントール集合
カントールの立方体
参考文献
^ Brouwer、LEJ（1910）、「完全な点の集合の構造について」 （PDF）、Proc。Koninklijke Akademie van Wetenschappen、12：785–794。
^ NL Carothers、 Banach Space Theoryの短期コース、London Mathematical Society Student Texts 64、（2005）Cambridge UniversityPress。第12章を参照してください
^ ウィラード、 op.cit。、セクション30.7を参照
^ https://imgur.com/a/UDgthQm
^ Carothers、 op.cit。
^ RDアンダーソン、同相群の特定のグループの代数的単純さ、American Journal of Mathematics 80（1958）、pp.955-963。
ケクリス、A。（1995）。古典的記述集合論（数学の大学院テキスト156版）。スプリンガー。ISBN 0-387-94374-9。”