Cantor’s_paradox
で集合論、カントールのパラドックスは何もありませんと述べセットすべてのカーディナリティが。これは、最大の基数がないという定理から導き出されます。非公式に言えば、パラドックスは、すべての可能な「無限サイズ」のコレクションが無限であるだけでなく、それ自体の無限サイズがコレクション内の無限サイズのいずれにもなり得ないほど無限に大きいということです。この難しさは、このコレクションが集合ではなく適切なクラスであると宣言することにより、公理的集合論で処理されます。ノイマンBernays-ゲーデルの集合論は、このから以下の大きさの制限の公理この適切なクラスは、すべてのセットのクラスと全単射でなければなりません。したがって、無限に多くの無限大が存在するだけでなく、この無限大は、それが列挙するどの無限大よりも大きくなります。
このパラドックスは、1899年（または1895年から1897年）に最初にそれを特定したとしばしば信じられているゲオルク・カントールにちなんで名付けられました。多くの「パラドックス」のように、それは実際には矛盾していませんが、この場合は無限の性質と集合の概念についての誤った直感を示しているにすぎません。言い換えれば、それはナイーブ集合論の範囲内で逆説的であり、したがって、この理論の不注意な公理化が一貫していないことを示しています。
コンテンツ
1 ステートメントと証明
2 議論と結果
3 歴史的メモ
4 参考文献
5 外部リンク
ステートメントと証明
パラドックスを述べるためには、基数が順序付けを認めていることを理解する必要がそうすれば、あるものが別のものよりも大きいか小さいかについて話すことができます。次に、Cantorのパラドックスは次のとおりです。
定理：最大の基数はありません。
この事実は、集合のべき集合のカーディナリティに関するカントールの定理の直接的な結果です。
証明：反対のことを仮定し、
Cを最大の基数とします。次に、（カーディナリティのフォンノイマン定式化では）
Cは集合であるため、カントールの定理により、カーディナリティがCよりも厳密に大きいべき集合
2Cを持ち最大の基数であると想定されたCより大きいカーディナリティ（つまり2 Cのカーディナリティ ） を示すと、Cの定義が誤りになります。この矛盾は、そのようなカーディナルが存在できないことを証明します。
カントールの定理のもう1つの結果は、基数が適切なクラスを構成することです。つまり、それらすべてを1つのセットの要素としてまとめることはできません。これはもう少し一般的な結果です。
定理：場合
Sは任意のセットで、その後
Sは、すべてのカーディナリティの要素を含めることはできません。実際、Sの要素のカーディナリティには厳密な上限があり 証明：レッツ
Sはセットで、と聞かせて
Tは、の要素の組合も
S。その場合、Sのすべての要素は
Tのサブセットである
ため、カーディナリティはTのカーディナリティ以下になりカントールの定理は、Sのすべての要素が2Tのカーディナリティよりも厳密にカーディナリティが低い
ことを意味し 議論と結果
基数は、序数でインデックスを付けることによって順序付けられているため（基数、正式な定義を参照）、これにより、最大の序数がないことも証明されます。逆に、後者のステートメントは、Cantorのパラドックスを意味します。この索引付けをブラリ・フォルティのパラドックスに適用することにより、基数が集合ではなく適切なクラスであるという別の証明が得られます。（少なくともZFCまたはフォンノイマンベルネイスゲーデル集合論では）このことから、は、枢機卿のクラスとすべてのセットのクラスの間の偏見です。すべてのセットはこの後者のクラスのサブセットであり、すべてのカーディナリティはセットのカーディナリティであるため（定義上！）、これは直感的に、カーディナルのコレクションの「カーディナリティ」がどのセットのカーディナリティよりも大きいことを意味します。真の無限大よりも無限大。これがカンターの「逆説」の逆説的な性質です。
歴史的メモ
Cantorは通常、基数集合のこの特性を最初に特定したとされていますが、一部の数学者は、1899年または1901年に同様の定理を定義したBertrandRussellにこの区別を与えています。
参考文献
アネリス、IH（1991）。ドラッカー、トーマス（編）。「最初のラッセルのパラドックス」、数理論理学の歴史に関する展望。マサチューセッツ州ケンブリッジ：Birkäuserボストン。pp。33–46。
ムーア、GH; ガルシアディエゴ、A。（1981）。「ブラリフォルティのパラドックス：その起源の再評価」。ヒストリア数学。8（3）：319–350。土井：10.1016 / 0315-0860（81）90070-7。
外部リンク
抽象化の公理によって引き起こされた集合論的アンチノミーの歴史的説明：アリゾナ大学数学科のジャスティンT.ミラーによる報告。
PlanetMath.org：記事。