カラテオドリーの存在定理

Carath%C3%A9odory’s_existence_theorem

数学では、カラテオドリーの存在定理は、常微分方程式が比較的穏やかな条件下で解を持つことを示しています。ペアノの存在定理の一般化です。ペアノの定理は、微分方程式の右辺が連続であることを要求しますが、カラテオドリーの定理は、いくつかの不連続方程式に対して (より一般的な意味で) 解が存在することを示します。この定理は、コンスタンティン・カラテオドリーにちなんで名付けられました。

コンテンツ
1 序章
2 定理のステートメント
3 ソリューションの独自性
4 例
5 こちらもご覧ください
6 ノート
7 参考文献

序章
微分方程式を考えてみましょうy 」 t ) = へ ( t y( t) )
{ y'(t)=f(t，y(t))}

初期条件付き y ( t0 ) = y
0 { y(t_{0})=y_{0}，}

ここで、関数 ƒ は次の形式の長方形領域で定義されます。R = {( t y) ε R
×R n :
| |
t− t 0
| | ≤ a | |
y− y 0
| |
≤b } .
{ R={(t，y)in mathbf {R} times mathbf {R} ^{n}，:，|t-t_{0}|leq a，|y- y_{0}|leq b}.}

ペアノの存在定理によれば、ƒ が連続である場合、微分方程式は初期条件の近傍に少なくとも 1 つの解を持ちます。
ただし、方程式のように、右辺が不連続な微分方程式を考慮することもできます。y 」 t ) = H ( t ) y ( 0) =
0 { y'(t)=H(t)，quad y(0)=0，}