Carlson_symmetric_form
数学では、楕円積分のカールソン対称形式は、楕円積分の小さな正準集合であり、他のすべてのものを還元することができます。それらはルジャンドル形式に代わる現代的なものです。ルジャンドル形式はカールソン形式で表すことができ、逆もまた同様です。
カールソン楕円積分は次のとおりです。R ふ(X y ぜ ) =1 2
∫0 d t( t+X )( t+ y )( t+ ぜ )
{ R_{F}(x，y，z)={tfrac {1}{2}}int _{0}^{infty}{frac {dt}{sqrt {(t+x )(t+y)(t+z)}}}}R J(X y ぜ p ) =3 2
∫0 d t( t+ p )( t+X )( t+ y )( t+ ぜ )
{ R_{J}(x，y，z，p)={tfrac {3}{2}}int _{0}^{infty}{frac {dt}{(t+p) {sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}}}R ハ(X y) = R ふ(X y y ) =1 2
∫0 d t( t+ y )( t+X )
{ R_{C}(x，y)=R_{F}(x，y，y)={tfrac {1}{2}}int _{0}^{infty}{frac { dt}{(t+y){sqrt {(t+x)}}}}}R D(X y ぜ) = R J(X y ぜ ぜ ) =3 2
∫0 d t( t+ ぜ )( t+X )( t+ y )( t+ ぜ )
{ R_{D}(x，y，z)=R_{J}(x，y，z，z)={tfrac {3}{2}}int _{0}^{infty } {frac {dt}{(t+z)，{sqrt {(t+x)(t+y)(t+z)}}}}}
以来R ハ
{ R_{C}}と R D
{ R_{D}}
の特殊なケースですR ふ
{ R_{F}}と R J
{ R_{J}}
、すべての楕円積分は最終的に次のように評価できますR ふ
{ R_{F}}と R J
{ R_{J}} . 対称という用語は、Legendre 形式とは対照的に、これらの関数は引数の特定のサブセットの交換によって変更されないという事実を指します。の値R ふ(X y ぜ ) { R_{F}(x，y，z)}
はその引数の任意の順列について同じであり、の値はR J(X y ぜ p ) { R_{J}(x，y，z，p)}
最初の 3 つの引数の順列については同じです。
カールソン楕円積分は、Bille C. Carlson (1924-2013) にちなんで名付けられました。
コンテンツ
1 ルジャンドルフォームとの関係
1.1 不完全楕円積分 1.2 完全な楕円積分
2 特殊なケース
3 プロパティ
3.1 均一性 3.2 重複定理
4 シリーズ展開
5 否定的な引数
6 数値評価
7 参考文献と外部リンク
ルジャンドルフォームとの関係編集
不完全楕円積分
不完全楕円積分は、カールソン対称形式を使用して簡単に計算できます。 ふ ( φ k) =
sin φR ふ( コス 2 φ 1− k 2 sin 2
φ 1 ) { F(phi ，k)=sin phi R_{F}left(cos ^{2}phi ，1-k^{2}sin ^{2}phi ，1right )}
え ( φ k) =
sin φR ふ( コス 2 φ 1− k 2 sin 2
φ 1
) 1 3k 2 sin 3 φ R D ( コス 2 φ 1− k 2 sin 2
φ 1 ) { E(phi ，k)=sin phi R_{F}left(cos ^{2}phi ，1-k^{2}sin ^{2}phi ，1right )-{tfrac {1}{3}}k^{2}sin ^{3}phi R_{D}left(cos ^{2}phi ，1-k^{2}sin ^{2}ファイ、1右)}
Π ( φ n k) =
sin φR ふ( コス 2 φ 1− k 2 sin 2
φ 1
) 1 3n sin 3 φ R J( コス 2 φ 1− k 2 sin 2
φ 1 1− n in 2
φ)
{ Pi (phi ，n，k)=sin phi R_{F}left(cos ^{2}phi ，1-k^{2}sin ^{2}phi ， 1right)+{tfrac {1}{3}}nsin ^{3}phi R_{J}left(cos ^{2}phi ，1-k^{2}sin ^ {2}phi ，1，1-nsin ^{2}phi right)}
(注: 上記は、 − π φ ≤ π 2 { -{frac {pi}{2}}leq phi leq {frac {pi}{2}}}
と 0 ≤ k 2sin 2 φ ≤ 1
{ 0leq k^{2}sin ^{2}phi leq 1}
)
え ( φ k) = 完全な楕円積分
完全な楕円積分は、φ = 1 ⁄ 2 πを代入して計算できます 。 K ( k) = R ふ( 0 1− k 2 1 )
{ K(k)=R_{F}left(0，1-k^{2}，1right)}
え ( k) = R ふ( 0 1− k 2 1
) 1 3k 2 R D( 0 1− k 2 1 )
{ E(k)=R_{F}left(0，1-k^{2}，1right)-{tfrac {1}{3}}k^{2}R_{D}左(0，1-k^{2}，1右)}
Π ( n k) = R ふ( 0 1− k 2 1
) 1 3n R J( 0 1− k
2 1 1− n )
{ Pi (n，k)=R_{F}left(0，1-k^{2}，1right)+{tfrac {1}{3}}nR_{J}left( 0，1-k^{2}，1，1-n右)}
特殊なケース
の引数のいずれか 2 つ、または 3 つすべてがR ふ
{ R_{F}}
が同じ場合、次の置換t +X = あなた
{ {sqrt {t+x}}=u}
被積分関数を有理数にします。積分は初等超越関数で表すことができます。R ハ(X y) = R ふ(X y y ) =1 2 ∫ 0∞ d t t +X( t+ y ) = ∫X∞ d
あなた
あなた2 −X + y = { アークコス
X/ y y
−X X< y 1 y X = y アークシュ
X/ yX − y X > y { R_{C}(x，y)=R_{F}(x，y，y)={frac {1}{2}}int _{0}^{infty }{frac { dt}{{sqrt {t+x}}(t+y)}}=int _{sqrt {x}}^{infty}{frac {du}{u^{2}-x+ y}}={begin{cases}{frac {arccos {sqrt {{x}/{y}}}}{sqrt {yx}}}，&x
y\end{cases}}}””>
同様に、最初の 3 つの引数のうち少なくとも 2 つがR J
{ R_{J}}
同じだ、R J(X y y p) = 3 ∫X ∞ d あなた( あなた2 −X + y )( あなた2 −X + p )={ 3 p − y( Rハ X y ) − Rハ X p )
) y≠ p3 2( y−X )( R ハ (X y) − 1 yX
) y= p ≠X 1 y
3/ 2 y = p =X
{ R_{J}(x，y，y，p)=3int _{sqrt {x}}^{infty}{frac {du}{(u^{2}-x+y )(u^{2}-x+p)}}={begin{cases}{frac {3}{py}}(R_{C}(x，y)-R_{C}(x，p) ))，&yneq p\{frac {3}{2(yx)}}left(R_{C}(x，y)-{frac {1}{y}}{sqrt {x }}right)，&y=pneq x\{frac {1}{y^{{3}/{2}}}}，&y=p=x\end{cases}}}
プロパティ編集
均一性
積分定義に代入することによりt = κ
あなた
{ t=kappa u}
任意の定数 κ { kappa }
、それが見つかりましたR ふ( κX κ
y κぜ ) = κ 1 2R ふ(X y ぜ ) { R_{F}left(kappa x，kappa y，kappa zright)=kappa ^{-1/2}R_{F}(x，y，z)}
R J( κX κ
y κ
ぜ κp ) = κ 3 2R J(X y ぜ p ) { R_{J}left(kappa x，kappa y，kappa z，kappa pright)=kappa ^{-3/2}R_{J}(x，y，z，p )}
重複定理R ふ(X y ぜ) = 2 R ふ(X +
λ y + λ ぜ+ λ ) = R
ふ(X + λ y + λ 4 ぜ+ λ 4 ) { R_{F}(x，y，z)=2R_{F}(x+lambda ，y+lambda ，z+lambda )=R_{F}left({frac {x+lambda }{4 }}，{frac {y+lambda}{4}}，{frac {z+lambda}{4}}right)，}