コーシー製品

Cauchy_product
数学では、より具体的には数学的分析では、コーシー積は2 つの無限級数の離散畳み込みです。フランスの数学者、オーギュスタン・ルイ・コーシーにちなんで名付けられました。

コンテンツ
1 定義
1.1 2 つの無限級数のコーシー積 1.2 2 ベキ級数のコーシー積
2 収束とメルテンスの定理
2.1 例 2.2 メルテンスの定理の証明
3 セザーロの定理
3.1 定理
4 例
5 一般化
5.1 有限個の無限級数の積 5.2 証拠
6 関数の畳み込みとの関係
7 ノート
8 参考文献

定義
コーシー積は、無限級数 またはベキ級数に適用できます。 人々がそれを有限数列または有限級数に適用する場合、それは有限数の非ゼロ係数を持つ級数の積の特定のケースとしてのみ見ることができます (離散畳み込みを参照)。
収束の問題については、次のセクションで説明します。

2 つの無限級数のコーシー積
させて∑ I = 0 ∞a I
{textstyle sum _{i=0}^{infty}a_{i}}
と ∑ j = 0∞ b j
{textstyle sum _{j=0}^{infty}b_{j}}

複雑な項を持つ2 つの無限級数になります。これら 2 つの無限級数のコーシー積は、離散畳み込みによって次のように定義されます。( ∑I = 0 ∞ aI ) ⋅ ( ∑j = 0 ∞ bj )= ∑ k= 0 ∞
c k { left(sum _{i=0}^{infty}a_{i}right)cdot left(sum _{j=0}^{infty}b_{j}right )=sum _{k=0}^{infty}c_{k}}

    どこ    c k = ∑
l= 0 k a lb k − l
{ c_{k}=sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{kl}}

.

2 ベキ級数のコーシー積
次の 2 つのベキ級数を考えてみましょう ∑ I= 0 ∞
a私X I
{ sum _{i=0}^{infty}a_{i}x^{i}}

    と     ∑ j= 0 ∞ bjX j { sum _{j=0}^{infty}b_{j}x^{j}}

複素係数付き{ a I } { {a_{i}}}
と { b j } { {b_{j}}}

. これら 2 つのベキ級数のコーシー積は、離散畳み込みによって次のように定義されます。( ∑I = 0 ∞ a私X I ) ⋅ ( ∑j = 0 ∞ bjX j )= ∑ k= 0 ∞ ckX k { left(sum _{i=0}^{infty}a_{i}x^{i}right)cdot left(sum _{j=0}^{infty}b_ {j}x^{j}right)=sum _{k=0}^{infty}c_{k}x^{k}}

    どこ    c k = ∑
l= 0 k a lb k − l
{ c_{k}=sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{kl}}

.

収束とメルテンスの定理
素数の分布に関する
メルテンスの定理
と混同しないでください ( a n ) n ≥0および( b n ) n ≥0を実数列または複素数列とします。フランツ・メルテンスによって証明されたのは、∑ n = 0 ∞a n
{textstyle sum _{n=0}^{infty}a_{n}}

に収束し、∑ n = 0 ∞b n
{textstyle sum _{n=0}^{infty}b_{n}}

がBに収束し、そのうちの少なくとも 1 つが絶対収束する場合、それらのコーシー積はABに収束します。この定理はバナッハ代数でも有効です(次の証明の最初の行を参照)。
両方の級数が収束するだけでは不十分です。次の例に示すように、両方のシーケンスが条件付きで収束する場合、コーシー積は 2 つのシリーズの積に向かって収束する必要はありません。

例
次の 2 つの交互級数を考えます。a n = b n = ( −
1 ) nn +
1{ a_{n}=b_{n}={frac {(-1)^{n}}{sqrt {n+1}}}，，}

これらは条件付きでのみ収束します (絶対値の系列の発散は、直接比較テストと調和級数の発散から生じます)。彼らのコーシー積の項は、c n = ∑ k =0 ( −
1 ) kk + 1 ⋅( −
1 ) n− k n −
k+ 1 =( −1 ) n ∑ k=0 1( k+ 1 )( n − k+ 1 )
{ c_{n}=sum _{k=0}^{n}{frac {(-1)^{k}}{sqrt {k+1}}}cdot {frac {( -1)^{nk}}{sqrt {n-k+1}}}=(-1)^{n}sum _{k=0}^{n}{frac {1}{sqrt {(k+1)(n-k+1)}}}}

すべての整数n ≥ 0 に対して。すべてのk ∈ {0， 1， …， n }に対して不等式k + 1 ≤ n + 1およびn – k + 1 ≤ n + 1があるので、分母の平方根は√ ( k + 1)( n − k + 1) ≤ n +1なので、 n + 1個の被加数があるため、
| |c n
| | ≥ ∑ k =0 1n + 1 = 1
{ |c_{n}|geq sum _{k=0}^{n}{frac {1}{n+1}}=1}

すべての整数n ≥ 0 に対して。したがって、c nはn ∞のようにゼロに収束しないため、 ( c n ) n ≥0の級数は項 testによって発散します。

メルテンスの定理の証明
簡単にするために、複素数について証明します。しかし、これから与えようとしている証明は、任意のバナッハ代数に対して形式的には同じです(可換性や結合性さえも必要ありません)。
一般性を失うことなく、級数∑ n = 0 ∞a n
{textstyle sum _{n=0}^{infty}a_{n}}

絶対収束します。部分和を定義する
あn = ∑ I=0 a 私B n = ∑ I =0 b I と ハ n= ∑ I=0 c I
{ A_{n}=sum _{i=0}^{n}a_{i}，quad B_{n}=sum _{i=0}^{n}b_{i}quad {text{and}}quad C_{n}=sum _{i=0}^{n}c_{i}}
と c I = ∑ k =0 a k b I −k .
{ c_{i}=sum _{k=0}^{i}a_{k}b_{ik}，.}

それでハ n = ∑ I=0 a n − I B I { C_{n}=sum _{i=0}^{n}a_{ni}B_{i}}

したがって、再配置によって、ハ n=∑ I = 0 n
an − I B I
−B ) + あ n
B . { C_{n}=sum _{i=0}^{n}a_{ni}(B_{i}-B)+A_{n}B，.}
( 1 )
ε > 0を固定します。以来∑ k ε N | |
a k | |< ∞
{textstyle sum _{kin mathbb {N} }|a_{k}|
絶対収束によって、そしてB nはn ∞としてBに収束するので、すべての整数n ≥ Nに対して、
| |
B n − B | |≤ ε / 3 ∑k ε N | |
a k | |+ 1
{ |B_{n}-B|leq {frac {varepsilon /3}{sum _{kin mathbb {N} }|a_{k}|+1}}}
( 2 )(これは、絶対収束が使用される唯一の場所です)。( a n ) n ≥0の級数は収束するので、個体a nは項 testまでに 0 に収束しなければなりません。したがって、すべての整数n ≥ Mに対して、
| |
a n | |≤ ε
3 N (最大I ε { 0 … N − 1 } | |
B I − B | |+ 1 ) .
{ |a_{n}|leq {frac {varepsilon}{3N(max _{iin {0，dots ，N-1}}|B_{i}-B|+ 1)}}，.}
( 3 )
また、A nはn ∞としてAに収束するため、すべての整数n ≥ Lに対して、
| |
あ n − あ | |≤ ε / 3
| | B | |+ 1 .
{ |A_{n}-A|leq {frac {varepsilon /3}{|B|+1}}，.}
( 4 )
次に、すべての整数n ≥ max{ L ， M + N }に対して、 C nの表現 ( 1 ) を使用し、合計を 2 つの部分に分割し、絶対値に三角形の不等式を使用し、最後に 3 つの推定値 ( 2 )、( 3 ) および ( 4 ) を使用して、
| |
ハ n −あ B
| | = | |∑ I = 0 na n − IB I −B ) +(あ n −あ ) B
| |≤ ∑ I = 0N − 1 | |a n − I ⏟
≥ M | |
| |B I − B
| |
⏟≤ ε / ( 3N )
 によって (3)+ ∑
I= N n
| |a n − I
| |
| |B I − B
| |
⏟ ≤ ε 3
 によって (2) + | |あ n − あ
| |
| | B | |
⏟ ≤ ε 3
 によって (4)≤ ε .
{ {begin{aligned}|C_{n}-AB|&={biggl |}sum _{i=0}^{n}a_{ni}(B_{i}-B)+( A_{n}-A)B{biggr |}\&leq sum _{i=0}^{N-1}underbrace {|a_{underbrace {scriptstyle ni} _{scriptscriptstyle geq M}}|，|B_{i}-B|} _{leq ，varepsilon /(3N){text{ by (3)}}}+{}underbrace {sum _{i =N}^{n}|a_{ni}|，|B_{i}-B|} _{leq ，varepsilon /3{text{ by (2)}}}+{}underbrace {|A_{n}-A|，|B|} _{leq ，varepsilon /3{text{ by (4)}}}leq varepsilon ，.end{aligned}}}

級数 の収束の定義により、必要に応じてC n ABとなります。

セザーロの定理
では、情報源を一切引用し 信頼できる情報源への引用を追加して、このセクションの改善にご協力（ 2017年12月）
2 つのシーケンスが収束しているが完全には収束していない場合でも、コーシー積は依然としてCesàro summableです。具体的には：
もしも( an ) n ≥ 0 {textstyle (a_{n})_{ngeq 0}}
( bn ) n ≥ 0 {textstyle (b_{n})_{ngeq 0}}

は実数列∑ a n あ
{textstyle sum a_{n}to A}
と ∑ b n B
{textstyle sum b_{n}to B}

 それから
1 N ( ∑
n= 1 N ∑
I= 1 n ∑
k= 0 I a k
bI − k ) あB .
{ {frac {1}{N}}left(sum _{n=1}^{N}sum _{i=1}^{n}sum _{k=0}^{ i}a_{k}b_{ik}right)to AB.}

これは、2 つのシーケンスが収束せず、単に Cesàro 可算である場合に一般化できます。

定理
為にr > − 1
{textstyle r>-1}
-1}””>
 とs > − 1
{textstyle s>-1}
-1}””>
 、シーケンスを仮定します( an ) n ≥ 0 {textstyle (a_{n})_{ngeq 0}}
は ( ハ r ) {textstyle (C，;r)}

 合計Aと合計可能であり、( bn ) n ≥ 0 {textstyle (b_{n})_{ngeq 0}}
は ( ハ s ) {textstyle (C，;s)}

 sum Bで合計可能。次に、彼らのコーシー積は( ハ r+ s + 1 )
{textstyle (C，;r+s+1)}

 合計ABで合計可能。

例
いくつかのためのX yε R
{textstyle x，yin mathbb {R} }

 、 させて
an =X n /
n ! {textstyle a_{n}=x^{n}/n!}

 と
bn = y n /
n ! {textstyle b_{n}=y^{n}/n!}

 . それで
cn = ∑
I= 0 nX I 私! y n − I ( n− I ) !=1 ! ∑
I= 0 n (n I)X
Iy n − I =(X + y ) n n ! { c_{n}=sum _{i=0}^{n}{frac {x^{i}}{i!}}{frac {y^{ni}}{(ni)! }}={frac {1}{n!}}sum _{i=0}^{n}{binom {n}{i}}x^{i}y^{ni}={frac {(x+y)^{n}}{n!}}}

定義および二項式により。以来、正式には、
指数(X ) = ∑ a n {textstyle exp(x)=sum a_{n}}

 と
指数( y) = ∑ b n
{textstyle exp(y)=sum b_{n}}

 、我々はそれを示しました
指数(X + y ) =∑ c n
{textstyle exp(x+y)=sum c_{n}}

 . 2 つの絶対収束級数のコーシー積の極限は、これらの級数の極限の積に等しいので、次の公式が証明されました。
指数(X + y ) =
指数(X )
指数( y ) {textstyle exp(x+y)=exp(x)exp(y)}

 すべてのためにX yε R
{textstyle x，yin mathbb {R} }

 .
2 番目の例として、
an = b n = 1 {textstyle a_{n}=b_{n}=1}

 すべてのためにn ε N
{textstyle nin mathbb {N} }

 . それで
cn = n + 1
{textstyle c_{n}=n+1}

 すべてのためにn ε N
{ nin mathbb {N} }

 コーシー積∑ c n =( 1 1+ 2 1 + 2 +
3 1+ 2 + 3 +
4 … ) { sum c_{n}=(1，1+2，​​1+2+3，1+2+3+4，dots )}

収束しません。

一般化
前述のすべては、 ハ {textstyle mathbb {C} }

 (複素数)。コーシー積は、R n
{textstyle mathbb {R} ^{n}}

 乗算が内積である空間 (ユークリッド空間) 。この場合、2 つの級数が絶対的に収束する場合、それらのコーシー積は極限の内積に絶対的に収束するという結果が得られます。

有限個の無限級数の積
させてn ε N
{ nin mathbb {N} }

 そのようなn ≥ 2
{ ngeq 2}

 （実際には、次のことも当てはまりますn = 1
{ n=1}

 しかし、その場合、ステートメントは些細なことになります）としましょう∑ k
1= 0 ∞ a 1 k
1 … ∑ k n= 0 ∞ a n k n {textstyle sum _{k_{1}=0}^{infty }a_{1，k_{1}}，ldots ，sum _{k_{n}=0}^{infty }a_{ n，k_{n}}}

 複素係数を持つ無限級数であり、その中から n { n}

 1 つは絶対収束し、 n { n}

 1 つが収束します。そしたら限界
リムN ∞ ∑ k 1+… + k n ≤N a 1 k 1 ⋯ an k n
{ lim _{Nto infty}sum _{k_{1}+ldots +k_{n}leq N}a_{1，k_{1}}cdots a_{n，k_{ n}}}

存在し、次のものが∏ j =1 ( ∑k j 0 ∞
ajk j) =
リムN ∞ ∑ k 1+… + k n ≤N a 1 k 1 ⋯ an k n
{ prod _{j=1}^{n}left(sum _{k_{j}=0}^{infty }a_{j，k_{j}}right)=lim _ {Nto infty}sum _{k_{1}+ldots +k_{n}leq N}a_{1，k_{1}}cdots a_{n，k_{n}}}

証拠
なぜなら∀ N ε
N: ∑ k 1 +
…+ k n ≤ Na 1 k 1 ⋯
an k n = ∑ k 1 =0 ∑ k 2 = 0k 1 ⋯
∑k n = 0 k
n− 1 a 1 k n
a2 k n − 1 −k n ⋯
an k 1 − k 2
{ forall Nin mathbb {N} :sum _{k_{1}+ldots +k_{n}leq N}a_{1，k_{1}}cdots a_{n，k_ {n}}=合計_{k_{1}=0}^{N}合計_{k_{2}=0}^{k_{1}}cdots 合計_{k_{n}=0 }^{k_{n-1}}a_{1，k_{n}}a_{2，k_{n-1}-k_{n}}cdots a_{n，k_{1}-k_{2} }}

この命題は、上の帰納法によって証明することができます n { n}

 : の場合n = 2
{ n=2}

 コーシー積に関する主張と同じです。これが私たちの誘導基地です。
誘導ステップは次のようになります。n ε N
{ nin mathbb {N} }

 そのようなn ≥ 2
{ ngeq 2}

 、そしてみましょう∑ k
1= 0 ∞ a 1 k
1 … ∑ k n+ 1 = 0 ∞a n + 1 k + 1 {textstyle sum _{k_{1}=0}^{infty }a_{1，k_{1}}，ldots ，sum _{k_{n+1}=0}^{infty } a_{n+1，k_{n+1}}}

 複素係数を持つ無限級数であり、その中からn + 1
{ n+1}

 1 つは絶対収束し、n + 1
{ n+1}

 – 1 つが収束します。最初に帰納仮説を系列に適用します∑ k
1= 0 ∞
| |
a 1 k 1
| | … ∑ k n= 0 ∞
| |
a n k n
| |
{textstyle sum _{k_{1}=0}^{infty }|a_{1，k_{1}}|，ldots ，sum _{k_{n}=0}^{infty } |a_{n，k_{n}}|}

 . シリーズ∑ k 1=0 ∑ k 2 = 0k 1 ⋯
∑k n = 0 kn − 1
| |a 1 k n a 2 k
n− 1 − k n ⋯ an k 1 − k 2
| |
{ sum _{k_{1}=0}^{infty}sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}cdots sum _{k_{n}=0} ^{k_{n-1}}|a_{1，k_{n}}a_{2，k_{n-1}-k_{n}}cdots a_{n，k_{1}-k_{2} }|}

収束し、したがって、三角形の不等式とサンドイッチ基準により、級数∑ k 1 =0 | | ∑ k2 0k1 ∑ k n 0 kn −
1a 1k n a 2k n − k n
⋯a nk1 k 2
| |
{ sum _{k_{1}=0}^{infty}left|sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}cdots sum _{k_{n} =0}^{k_{n-1}}a_{1，k_{n}}a_{2，k_{n-1}-k_{n}}cdots a_{n，k_{1}-k_{ 2}}右|}

収束し、したがって級数∑ k 1=0 ∑ k 2 = 0k 1 ⋯
∑k n = 0 k
n− 1 a 1 k n
a2 k n − 1 −k n ⋯
an k 1 − k 2
{ sum _{k_{1}=0}^{infty}sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}cdots sum _{k_{n}=0} ^{k_{n-1}}a_{1，k_{n}}a_{2，k_{n-1}-k_{n}}cdots a_{n，k_{1}-k_{2}} }

絶対収束します。したがって、誘導仮説、メルテンスの証明、および変数の名前の変更により、次のようになります。∏ j = 1 n+ 1( ∑k j=0 a j k j ) =( ∑k n + 1=0 a n+ 1 k n + 1 ⏞ =:a k n + 1)( ∑k 1=0 ∑ k
2= 0 k
1⋯ ∑ k
n= 0 k
n− 1 a 1 k
na 2 k
n− 1
− ⋯ a n k 1 − ⏞ =:b k 1) =( ∑k 1=0 ∑ k
2= 0 k
1∑ k
3= 0 k
2⋯ ∑ k
n= 0 k
n− 1 a 1 k
na 2 k
n− 1
− ⋯ a n k 1 − ⏞ =:a k 1)( ∑k n + 1=0 a n+ 1 k n + 1 ⏞ =:b k n + 1) = ( ∑k 1=0 ∑ k
3= 0 k
1∑ k
4= 0 k
3⋯ ∑ k
n+ 1 = 0 k
na 1 k
n+ 1 a 2 k n − + 1 ⋯ a n k 1 − ⏞ =:a k 1)( ∑k 2=0 a n+ 1 k 2 ⏞=:b n + 1k 2: b k 2) = ( ∑k 1=0 a k 1 )( ∑k 2=0 b k 2 ) =( ∑k 1=0 ∑ k 2 = 0
k1 a k 2 b
k1 − k 2 ) = ( ∑k 1=0 ∑ k 2 = 0k 1( ∑
k3 0k 2 ⋯ ∑ k
n 1= 0 k n a
1kn + 1 a 2k n −k n + 1 ⋯a nk2 k3 =:a k 2 )( an + 1 ， k 1 − ⏞ =:b k 1 − k2 ) ) =( ∑k 1=0 ∑ k 2 = 0k 1 ∑ k
3= 0 k
2⋯ ∑ k
n+ 1 = 0 k
na 1 ， k
n+ 1 a 2 ， k n
− + 1 ⋯ a n， k 2 − ⏞ =:a k 2 a
n+ 1 ， k 1− k 2 ⏞=:b k1 k 2) =
∑k 1 = 0 ∞
∑k 2 = 0 k1
n+ 1 ， k 1
− 2 k 3 = 0 k
2⋯ ∑ k n +
1= 0 k n 1 ，k n+1 2， k n −
kn + 1 ⋯ an ， k 2
− 3
{ {begin{aligned}prod _{j=1}^{n+1}left(sum _{k_{j}=0}^{infty }a_{j，k_{j}}right)&=left(sum _{k_{n+1}=0}^{infty }overbrace {a_{n+1，k_{n+1}}} ^{=:a_{k_{n+1}}}right)left(sum _{k_{1}=0}^{infty }overbrace {sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}cdots sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1，k_{n}}a_{2，k_{n-1}-k_{n}}cdots a_{n，k_{1}-k_{2}}} ^{=:b_{k_{1}}}right)\&=left(sum _{k_{1}=0}^{infty }overbrace {sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}cdots sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1，k_{n}}a_{2，k_{n-1}-k_{n}}cdots a_{n，k_{1}-k_{2}}} ^{=:a_{k_{1}}}right)left(sum _{k_{n+1}=0}^{infty }overbrace {a_{n+1，k_{n+1}}} ^{=:b_{k_{n+1}}}right)\&=left(sum _{k_{1}=0}^{infty }overbrace {sum _{k_{3}=0}^{k_{1}}sum _{k_{4}=0}^{k_{3}}cdots sum _{k_{n}+1=0}^{k_{n}}a_{1，k_{n+1}}a_{2，k_{n}-k_{n+1}}cdots a_{n，k_{1}-k_{3}}} ^{=:a_{k_{1}}}right)left(sum _{k_{2}=0}^{infty }overbrace {a_{n+1，k_{2}}} ^{=:b_{n+1，k_{2}}=:b_{k_{2}}}right)\&=left(sum _{k_{1}=0}^{infty }a_{k_{1}}right)left(sum _{k_{2}=0}^{infty }b_{k_{2}}right)\&=left(sum _{k_{1}=0}^{infty }sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}a_{k_{2}}b_{k_{1}-k_{2}}right)\&=left(sum _{k_{1}=0}^{infty }sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}left(overbrace {sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}cdots sum _{k_{n}+1=0}^{k_{n}}a_{1，k_{n+1}}a_{2，k_{n}-k_{n+1}}cdots a_{n，k_{2}-k_{3}}} ^{=:a_{k_{2}}}right)left(overbrace {a_{n+1，k_{1}-k_{2}}} ^{=:b_{k_{1}-k_{2}}}right)right)\&=left(sum _{k_{1}=0}^{infty }sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}overbrace {sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}cdots sum _{k_{n}+1=0}^{k_{n}}a_{1，k_{n+1}}a_{2，k_{n}-k_{n+1}}cdots a_{n，k_{2}-k_{3}}} ^{=:a_{k_{2}}}overbrace {a_{n+1，k_{1}-k_{2}}} ^{=:b_{k_{1}-k_{2}}}right)\&=sum _{k_{1}=0}^{infty }sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}a_{n+1，k_{1}-k_{2}}sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}cdots sum _{k_{n+1}=0}^{k_{n}}a_{1，k_{n+1}}a_{2，k_{n}-k_{n+1}}cdots a_{n，k_{2}-k_{3}}end{aligned}}}

Therefore， the formula also holds forn + 1
{ n+1}

 .

関数の畳み込みとの関係
A finite sequence can be viewed as an infinite sequence with only finitely many nonzero terms， or in other words as a functionf : N C
{ f:mathbb {N} to mathbb {C} }

  with finite support. For any complex-valued functions f， g on N { mathbb {N} }

  with finite support， one can take their convolution: f ∗ g )( n) = ∑ i +j = n f( i) g( j) .
{ (f*g)(n)=sum _{i+j=n}f(i)g(j).}
Then ∑( f∗ g )( n ) {textstyle sum (f*g)(n)}

  is the same thing as the Cauchy product of∑ f( n ) {textstyle sum f(n)}

  and∑ g( n ) {textstyle sum g(n)}

 .
More generally， given a unital semigroup S， one can form the semigroup algebra C [ S ] { mathbb {C} }

  of S， with the multiplication given by convolution. If one takes， for example，S = N d
{ S=mathbb {N} ^{d}}

 ， then the multiplication on C [ S ] { mathbb {C} }

  is a generalization of the Cauchy product to higher dimension.

ノート
^ Canuto & Tabacco 2015， p. 20. ^ Bloch 2011， p. 463. ^ Friedman & Kandel 2011， p. 204. ^ Ghorpade & Limaye 2006， p. 416. ^ Hijab 2011， p. 43. ^ Montesinos， Zizler & Zizler 2015， p. 98. ^ Oberguggenberger & Ostermann 2011， p. 322. ^ Pedersen 2015， p. 210. ^ Ponnusamy 2012， p. 200. ^ Pugh 2015， p. 210. ^ Sohrab 2014， p. 73. ^ Canuto & Tabacco 2015， p. 53. ^ Mathonline， Cauchy Product of Power Series. ^ Weisstein， Cauchy Product. ^ Rudin， Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill. p. 74.

参考文献
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Bloch， Ethan D. （2011)， The Real Numbers and Real Analysis， Springer， ISBN 9780387721767.
Canuto， Claudio; Tabacco， Anita （2015)， Mathematical Analysis II (2nd ed.)， Springer.
Friedman， Menahem; Kandel， Abraham （2011)， Calculus Light， Springer， ISBN 9783642178481.
Ghorpade， Sudhir R.; Limaye， Balmohan V. （2006)， A Course in Calculus and Real Analysis， Springer.
Hardy， G. H. (1949)， Divergent Series， Oxford University Press， p. 227–229.
Hijab， Omar （2011)， Introduction to Calculus and Classical Analysis (3rd ed.)， Springer.
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Montesinos， Vicente; Zizler， Peter; Zizler， Václav （2015)， An Introduction to Modern Analysis， Springer.
Oberguggenberger， Michael; Ostermann， Alexander （2011)， Analysis for Computer Scientists， Springer.
Pedersen， Steen （2015)， From Calculus to Analysis， Springer.
Ponnusamy， S. （2012)， Foundations of Mathematical Analysis， Birkhäuser， ISBN 9780817682927.
Pugh， Charles C. （2015)， Real Mathematical Analysis (2nd ed.)， Springer.
Sohrab， Houshang H. （2014)， Basic Real Analysis (2nd ed.)， Birkhäuser.
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