De_Gua’s_theorem
数学では、ドグアの定理は、ジャンポールドグアデマルベスにちなんで名付けられたピタゴラス定理の3次元類似物です。四面体に直角の角（立方体の角のような）がある場合、直角の角の反対側の面の面積の2乗は、他の3つの面の面積の2乗の合計であると述べています。：
Oに直角の角を持つ四面体A A B C 2 = A A B A0 A1 A2 A3A C O 2 + A B C O A0
{ A_ {ABC} ^ {2} = A _ { color {blue} ABO} ^ {2} + A _ { color {green} ACO} ^ {2} + A _ { color {red} BCO} ^ {2}}
一般化
ピタゴラスの定理とドグアの定理は、直角の角を持つnシンプレックスに関する一般的な定理の特殊なケース（n = 2、3）です。これは、ドナルドR.コナントとウィリアムA.ベイヤーによるさらに一般的な定理の特殊なケースであり、次のように述べることができます。
Uを次のk次元アフィン部分空間の測定可能なサブセットとします。R n
{ mathbb {R} ^ {n}}
（それでk ≤ n
{ k leq n}
）。任意のサブセットの場合I ⊆ {{ 1 … n } { I subseteq {1、 ldots、n }}
正確にk個の要素を使用してU I
{ U_ {I}}
の線形スパンへのUの正射影であるe I
1 … e I k
{ e_ {i_ {1}}、 ldots、e_ {i_ {k}}}
、 どこI =
{{ I 1 … 私 k }
{ I = {i_ {1}、 ldots、i_ {k} }}
と e 1 … e n { e_ {1}、 ldots、e_ {n}}
の標準基底ですR n
{ mathbb {R} ^ {n}}
。それで巻 k 2（（ U
）。= ∑
I巻 k 2（（ U I ）。 { { mbox {vol}} _ {k} ^ {2}（U）= sum _ {I} { mbox {vol}} _ {k} ^ {2}（U_ {I}）、 }
どこ巻 k （ U ）。
{ { mbox {vol}} _ {k}（U）}
はUのk次元ボリュームであり、合計はすべてのサブセットにわたっています。I ⊆ {{ 1 … n } { I subseteq {1、 ldots、n }}
正確にk個の要素を持ちます。
ドグアの定理とその直角角を持つnシンプレックスへの一般化（上記）は、 k = n -1でUが（n -1）シンプレックスである特別な場合に対応します。R n
{ mathbb {R} ^ {n}}
座標軸に頂点がたとえば、n = 3、k = 2で、Uが三角形であるとします。△ A B C
{ triangle ABC}
のR 3
{ mathbb {R} ^ {3}}
頂点A、B、Cが上にあるX 1 { x_ {1}}
-、 2
{ x_ {2}}
– と 3
{ x_ {3}}
-それぞれ軸。サブセット I { I}
の {{ 1 2 3 } { {1，2，3 }}
ちょうど2つの要素で
{{2 3 }
{ {2，3 }}
、
{{1 3 }
{ {1，3 }}
と
{{1 2 }
{ {1，2 }}
。定義により、 U {{2 3 }
{ U _ { {2，3 }}}
の正射影ですU = △ A B C
{ U = triangle ABC}
に X2X 3 { x_ {2} x_ {3}}
-飛行機なので U {{2 3 }
{ U _ { {2，3 }}}
三角形です△ O B C
{ triangle OBC}
頂点O、B、Cを使用します。ここで、Oはの原点です。R 3
{ mathbb {R} ^ {3}}
。同様に、 U {{1 3 }=△ A O C
{ U _ { {1，3 }} = triangle AOC}
と U {{1 2 }=△ A B O
{ U _ { {1，2 }} = Triangle ABO}
、したがって、Conant-Beyerの定理は次のように述べています 2 2（（ △A B C
）。 = 巻2 2（（ △O B C
）。 + 巻2 2（（ △A O C
）。 + 巻2 2（（ △A B O
）。 { { mbox {vol}} _ {2} ^ {2}（ Triangle ABC）= { mbox {vol}} _ {2} ^ {2}（ Triangle OBC）+ { mbox {vol }} _ {2} ^ {2}（ Triangle AOC）+ { mbox {vol}} _ {2} ^ {2}（ Triangle ABO）、}
これはドグアの定理です。
ドグアの定理を直角の角を持つnシンプレックスに一般化することも、ケイリー-メンガー行列式から特別な場合として取得できます。
歴史
ジャンポールドグアデマルベス（1713–85）は、1783年に定理を発表しましたが、ほぼ同時に、もう少し一般的なバージョンが別のフランスの数学者、チャールズデティンソーダモンダン（1746–1818）によっても発表されました。しかし、この定理は、ヨハン・ファウルハーバー（1580–1635）とルネ・デカルト（1596–1650）にもずっと以前から知られていました。
も参照してください
ベクトル面積と投影面積
バイベクトル
ノート
^ Donald R Conant＆William A Beyer（1974年3月）。「一般化されたピタゴラス定理」。アメリカの数学の月刊誌。アメリカ数学協会。81（3）：262–265。土井：10.2307 / 2319528。JSTOR2319528 。_
^ ワイスタイン、エリックW. 「ドグアの定理」。MathWorld。
^ ハワードホイットリーイブス：数学の素晴らしい瞬間（1650年以前）。アメリカ数学協会、1983年、
ISBN 9780883853108、S。37（抜粋、p。37、 Googleブックス）
参考文献
ワイスタイン、エリックW. 「ドグアの定理」。MathWorld。
Sergio A. Alvarez：カーネギーメロン大学のn次元ピタゴラス定理に関する注記。
ドグアの定理、3Dのピタゴラス定理—四面体の図解と関連するプロパティ。
参考文献
Kheyfits、アレキサンダー（2004）。「ピラミッドの余弦定理」。大学数学ジャーナル。アメリカ数学協会。35（5）：385–388。JSTOR4146849 。_ ドグアの定理と任意の四面体およびピラミッドへの一般化の証明。
Lévy-Leblond、Jean-Marc（2020）。「ピラミッドの余弦定理」。数学的インテリジェンス。SpringerLink。ヘロンの公式の特別な場合を証明するためのドグアの定理の適用。”