デ ラム コホモロジー

De_Rham_cohomology

多様体のグロタンディークのド ラム コホモロジーに代数ド ラム コホモロジーを参照して
数学では、de Rham コホモロジー( Georges de Rhamにちなんで名付けられた) は、代数トポロジーと微分トポロジーの両方に属するツールであり、特に計算とコホモロジー クラスの具体的な表現に適した形式で滑らかな多様体に関する基本的なトポロジー情報を表現できます。これは、所定の性質を持つ微分形式の存在に基づくコホモロジー理論です。
この空間のド ラム コホモロジーが非自明であることを示す、閉じているが正確ではない
、パンクチャされた平面上の微分形式に対応するベクトル場 すべての正確な形式は閉じていますが、その逆は必ずしも真ではありません。一方、正確さの失敗と「穴」の存在には関係がDe Rham コホモロジー群は、前述の関係を定量的にする滑らかな多様体の不変量の集合であり、で説明します。
フォームの統合概念は、微分トポロジー、幾何学、および物理学において基本的に重要であり、コホモロジーの最も重要な例の 1 つ
、つまりド
ラム コホモロジーを
もたらします。微積分は、高次元および一般多様体では失敗します。— テレンス・タオ、微分形式と積分

コンテンツ
1 意味
2 計算された De Rham コホモロジー
2.1 n球_ 2.2 nトーラス_ 2.3 穴の開いたユークリッド空間 2.4 メビウスの帯
3 デラムの定理
4 層理論ド ラム同型
4.1 証拠
5 関連するアイデア
5.1 高調波フォーム 5.2 ホッジ分解
6 こちらもご覧ください
7 引用
8 参考文献
9 外部リンク

意味
ド ラム複体は、ある滑らかな多様体M上の微分形式の共鎖複体であり、微分として外導関数を使用します。0 Ω 0 ( M) d
  Ω 1( M) d
  Ω 2( M) d
  Ω 3( M ) ⋯ { 0to Omega ^{0}(M) {stackrel {d}{to }} Omega ^{1}(M) {stackrel {d}{to }} オメガ ^{2}(M) {stackrel {d}{to }} \オメガ ^{3}(M)to cdots ，}

ここで、Ω 0 ( M )は M 上の滑らかな関数の空間、 Ω 1 ( M )は1形式の空間などです。外導関数 とΩ 0 ( M )の定数0関数の下にある他の形式のイメージである形式は厳密と呼ばれ、外導関数が0である形式は閉と呼ばれます (閉微分形式と厳密微分形式を参照)。関係d 2 = 0は、正確な形式が閉じていることを示しています。
対照的に、閉じたフォームは必ずしも正確ではありません。実例となるケースは多様体としての円であり、1形式はその中心の基準点からの角度の導関数に対応し、通常はdθと書かれます(閉じた微分形式と正確な微分形式で説明されています)。dθがその導関数であるような円全体で定義された関数θはありません。正の方向に円を 1 周する際の2 πの増加は、多値関数θを意味します。円の 1 つの点を削除すると、これが回避され、同時に多様体のトポロジが変更されます。
すべての閉じた形式が正確である場合の顕著な例の 1 つは、下にある空間が点に収縮可能である場合、つまり単純に接続されている場合(穴のない状態) です。この場合、外微分 d { d}

閉じた形式に制限された には、ホモトピー演算子と呼ばれるローカル逆が また、冪零であるため、この場合、de Rham 複合体と比較して矢印が逆になった二重鎖複合体を作成します 。これは、ポアンカレの補題で説明されている状況です。
ド ラム コホモロジーの背後にある考え方は、多様体上の閉形式の同値類を定義することです。2 つの閉じた形式α ， β ∈ Ω k ( M )が正確な形式で異なる場合、つまりα − βが正確である場合、それらをコホモロガスとして分類します。この分類は、Ω k ( M )の閉じた形式の空間に同値関係を誘導します。次に、 k番目のド ラム コホモロジー群を定義します。
Hd R k M )
{ H_{mathrm {dR} }^{k}(M)}

は等価クラスの集合、つまり正確な形式を法とするΩ k ( M )の閉じた形式の集合になります。
それぞれが接続されているm 個の分離されたコンポーネントで構成される任意の多様体Mに対して、次のようになることに注意してH d R 0( M) ≅ R
メートル . { H_{mathrm {dR} }^{0}(M)cong mathbb {R} ^{m}.}

これは、微分がどこでもゼロであるM上の滑らかな関数は、Mの各連結成分上で個別に一定であるという事実から導き出されます。

計算された De Rham コホモロジー
ゼロ コホモロジーとMayer-Vietoris 列に関する上記の事実を使用して、多様体の一般的なド ラム コホモロジーを見つけることがよくもう 1 つの有用な事実は、ド ラム コホモロジーがホモトピー不変量であることです。計算は与えられていませんが、いくつかの一般的な位相オブジェクトの計算されたド ラム コホモロジーを以下に示します。

n球_
n球体の場合、S n
{ S^{n}}

、また、開区間の積と合わせると、次のようになります。n > 0、m ≥ 0とし、I を開実区間とします。それでH d R k( Sn × I
メートル) ≃ { R k = 0
 また k = n 0 k ≠ 0
 と k ≠ n .
{ H_{mathrm {dR} }^{k}(S^{n}times I^{m})simeq {begin{cases}mathbb {R} &k=0{text{ または}}k=n，\0&kneq 0{text{ and }}kneq n.end{cases}}}

nトーラス_編集 n
{ n}
-torus はデカルト積です。T n=S 1 × ⋯ × S 1 ⏟ n
{ T^{n}=underbrace {S^{1}times cdots times S^{1}} _{n}}

. 同様に、n ≥ 1
{ ngeq 1}

ここで、H d R k( Tn ) ≃ R( nk ) . { H_{mathrm {dR} }^{k}(T^{n})simeq mathbb {R} ^{n choose k}.}

微分形式を直接使用して、トーラスのド ラム コホモロジーの明示的な生成元を見つけることもできます。与えられた商多様体π :X X / G
{ pi :Xto X/G}

と微分形式ω ε Ω k X )
{ omega in Omega ^{k}(X)}

私たちはそれを言うことができます ω { omega}
は G
{ G}
-によって誘導された微分同相が与えられた場合、不変 G { G}
⋅g :X X
{ cdot g:Xto X}

我々は持っています( ⋅g ) ∗( ω) = ω
{ (cdot g)^{*}(omega )=omega }

. 特に、任意のフォームの引き戻しX/ G
{ X/G}
は G
{ G}
-不変。また、プルバックは単射射です。私たちの場合、R n / Z n
{ mathbb {R} ^{n}/mathbb {Z} ^{n}}

微分形式dX I
{ dx_{i}}

それはZ n
{ mathbb {Z} ^{n}}
-それ以来不変d (X I+k ) = dX I
{ d(x_{i}+k)=dx_{i}}

. しかし、それに注意してくださいX I + α { x_{i}+alpha }

為にα ε R
{ alpha in mathbb {R} }

は不変ではない 0 { 0}
-形。これは、単射性があることを意味します。
[ dXI ] ε H d R 1( Tn )
{ in H_{dR}^{1}(T^{n})}

トーラスのコホモロジー環はH 1
{ H^{1}}

、これらの形式の外積を取ると、トーラスのド ラム コホモロジーのすべての明示的な代表が得られます。

穴の開いたユークリッド空間
パンクチャド ユークリッド空間は単純にR n
{ mathbb {R} ^{n}}

原点を取り除いた状態。H dR k( Rn ∖ { 0 } ) ≅
{R 2 n = 1 k = 0R n > 1 k = 0 n
−1 0
それ以外は . { H_{text{dR}}^{k}(mathbb {R} ^{n}setminus {0})cong {begin{cases}mathbb {R} ^{2} &n=1，k=0\mathbb {R} &n>1，k=0，n-1\0&{text{otherwise}}end{cases}}.}
1，k=0，n-1\0&{text{otherwise}}end{cases}}.}””>

メビウスの帯
メビウスの帯Mが1球面 (つまり、実単位円) に収縮した変形であるという事実から、次のように推測できます。H d R k( M) ≃ H d R k( S1 ) .
{ H_{mathrm {dR} }^{k}(M)simeq H_{mathrm {dR} }^{k}(S^{1}).}

デラムの定理
ストークスの定理は、ド ラム コホモロジーとチェーンのホモロジーの間の双対性の表現です。微分形式とチェーンのペアリングは、統合を介して、ド ラム コホモロジーから準同型を与えると言います。H d R k M )
{ H_{mathrm {dR} }^{k}(M)}

特異コホモロジー群へ
Hk M ; R ) .
{ H^{k}(M;mathbb {R} )}

1931 年にGeorges de Rhamによって証明されたDe Rham の定理は、滑らかな多様体Mに対して、この写像は実際には同型であると述べています。
より正確には、マップを検討してくださいI : H d R p( M) H p( M ; R) { I:H_{mathrm {dR} }^{p}(M)to H^{p}(M;mathbb {R} )，}

次のように定義されます。
[ ω] ε H d R p M ) { in H_{mathrm {dR} }^{p}(M)}

、I ( ω )を の要素とします。
ホム( Hp M
) R) ≃ H p M ; R ) { {text{Hom}}(H_{p}(M)，mathbb {R} )simeq H^{p}(M;mathbb {R} )}

次のように機能します。H p( M) ∋
[ c] ⟼ ∫
cω .
{ H_{p}(M)ni longmapsto int _{c}omega .}

ド ラムの定理は、これがド ラム コホモロジーと特異コホモロジーの間の同型であると主張します。
外積は、これらのグループの直和に環構造を与えます。この定理のさらなる結果は、2 つのコホモロジー環が (等級環として) 同形であり、特異コホモロジーの類似積がカップ積であるということです。

層理論ド ラム同型
de Rham コホモロジーはČechコホモロジーに同型です。
H ∗ ( う ふ ) { H^{*}({mathcal {U}}，F)}

、 どこ ふ { F}

は、によって決定されるアーベル群の層です。 ふ ( う) = R
{ F(U)=mathbb {R} }

接続されたすべての開集合う ⊂ M
{ Usubset M}

、および開集合の場合
う Ⅴ
{ U，V}

そのようなう ⊂ Ⅴ
{ Usubset V}
、群射 解像度
Ⅴ う :R _ ( Ⅴ) R _( う ) { {text{res}}_{V，U}:{underline {mathbb {R} }}(V)to {underline {mathbb {R} }}(U)}

上の恒等写像によって与えられる
R { mathbb {R} ，}

そしてどこに う { {mathcal {U}}}

の良いオープンカバーです M { M}
(つまり、オープン カバー内のすべてのオープン セット う { {mathcal {U}}}

は点に縮約可能であり、集合のすべての有限交点は う { {mathcal {U}}}

空であるか、ある程度収縮可能です）。言い換えると ふ { F}

定数 presheaf 割り当ての層化によって与えられる定数層です。 ふ ( う) = R
{ F(U)=mathbb {R} }
. 別の言い方をすれば、 M { M}

次元のコンパクトなC m +1 多様体です。
メートル
{ m}

、次にそれぞれk ≤
メートル
{ kleq m}

、同型性があるH d R k( M) ≅ H ˇ k ( M R_ )
{ H_{mathrm {dR} }^{k}(M)cong {check {H}}^{k}(M，{underline {mathbb {R} }})}

左側が k { k}
-th de Rham コホモロジー群で、右辺はファイバーをもつ定数層の Čech コホモロジーです。R .
{ mathbb {R} .}

証拠
させてΩ k
{ オメガ^{k}}

の細菌の束を表す k { k}
-上のフォーム M { M}
（とΩ 0
{ オメガ^{0}}

の束 ハ メートル+ 1
{ C^{m+1}}

の機能 M { M}

）。ポアンカレの補題により、次の層の列は (層のカテゴリで) 正確です。0 R _ Ω0d Ω 1d Ω
2d ⋯ d Ω
メートル 0. { 0to {underline {mathbb {R} }}to Omega ^{0}，xrightarrow {d} ，Omega ^{1}，xrightarrow {d} ，オメガ ^{2}，xrightarrow {d} dots xrightarrow {d} ，オメガ ^{m}to 0.}
  このシーケンスは短い正確なシーケンスに分割されます0 d Ω k −1
Ω d Ω
k 0. { 0to dOmega ^{k-1}，{xrightarrow {subset }}，Omega ^{k}，{xrightarrow {d}}，dOmega ^{k }to 0.}
  これらのそれぞれは、コホモロジーで長い正確なシーケンスを誘導します。の束以来 ハ メートル+ 1
{ C^{m+1}}

 多様体上の関数は 1 の分割、層コホモロジーを認めるH I( Ω k) { H^{i}(オメガ ^{k})}

 消えるI > 0
{ i>0}
0″”>
 . したがって、長い正確なコホモロジー シーケンス自体は、最終的に同型のチェーンに分離されます。鎖の一方の端にはチェフ コホモロジーがあり、もう一方の端にはド ラム コホモロジーが

関連するアイデア
ド ラム コホモロジーは、ドルボー コホモロジー、ホッジ理論、アティヤ シンガー指数定理など、多くの数学的アイデアに影響を与えてきました。しかし、より古典的な文脈においてさえ、この定理は多くの発展に影響を与えてきました。まず、ホッジ理論は、調和形式からなるコホモロジーと厳密形式を法とする閉じた形式からなるド ラム コホモロジーとの間に同型性があることを証明します。これは、調和形式とホッジの定理の適切な定義に依存しています。詳細については、ホッジ理論を参照して

高調波フォーム
参照:
高調波微分
Mがコンパクト リーマン多様体の場合、H d R k M )
{ H_{mathrm {dR} }^{k}(M)}

 には、ちょうど 1 つのハーモニック フォームが含まれます。つまりメンバー全員 ω { omega}

 閉形式の与えられた等価クラスのω = α + γ
{ omega =alpha +gamma }
  どこ α { alpha }

 正確で γ { gamma }

 は高調波です:△ γ = 0
{ Delta gamma =0}

 .
コンパクト連結リーマン多様体上の任意の調和関数は定数です。したがって、この特定の代表的な要素は、多様体上のすべてのコホモロジー的に等価な形式の極値 (最小値) であると理解できます。たとえば、2 -トーラスでは、一定の1 – フォームを、すべての「髪」が同じ方向にきれいに梳かれている (そしてすべての「髪」が同じ長さを持っている) ものとして想像することができます。この場合、2 つのコホモロジー的に異なるコーミングが他のすべては線形結合です。特に、これは2トーラスの 1 番目のベティ数が2 であることを意味します。より一般的には、 n { n}

 -次元トーラスT n
{ T^{n}}

 、さまざまな組み合わせを考えることができます k { k}

 -トーラス上のフォーム。がある n { n}

 選ぶ k { k}

 の基底ベクトルを形成するために使用できるような組み合わせH dR k T n)
{ H_{text{dR}}^{k}(T^{n})}

 ; の k { k}

 のド ラム コホモロジー群の – 番目のベティ数 n { n}

 -トーラスはこうして n { n}

 選ぶ k { k}

 .
より正確には、微分多様体 Mに対して、何らかの補助リーマン計量を装備することができます。次に、ラプラシアン △ { Delta }

 によって定義されます△ = d δ + δ d
{ Delta =ddelta +delta d}

 と d
{ d}

 外微分と δ { delta}

 共微分. ラプラシアンは、微分形式の外代数に作用する同次 (グレーディングにおける)線形 微分演算子です: 次数の各成分に対するその作用を見ることができます。 k { k}

 別々に。
もしも M { M}

 はコンパクトで有向であり、 k形式の空間に作用するラプラシアンの核の次元は (ホッジ理論により) ド ラム コホモロジー群の次数に等しい k { k}

 : ラプラシアンは、閉形式の各コホモロジー クラスで一意の調和 形式を選択します。特に、全高調波の空間 k { k}

 -上のフォーム M { M}

 に同形ですH k M ; R ) .
{ H^{k}(M;mathbb {R} )}

 そのような各空間の次元は有限であり、 k { k}

 -ベティ番号.

ホッジ分解
させて M { M}

 は、コンパクト 指向の リーマン多様体です。ホッジ分解は、 k { k}

 -フォームオン M { M}

 3 つのL 2コンポーネントの合計に一意に分割されます。ω = α + β +
γ { omega =alpha +beta +gamma ，}
  どこ α { alpha }

 正確であり、 β { beta }

 は完全一致であり、 γ { gamma }

 ハーモニックです。
ある人は、フォーム β { beta }

 次の場合は共同閉鎖されますδ β = 0
{ delta beta =0}

 および一致する場合β = δ η
{ beta =delta eta }

 何らかの形で η { eta }

 、そしてそれ γ { gamma }

 ラプラシアンがゼロの場合、 は調和的です。△ γ = 0
{ Delta gamma =0}

 . これは、正確な形式と正確な形式が直交していることに注意することによって続きます。直交補数は、閉じた形式と共閉じた形式の両方で構成されます。つまり、調和形式です。ここで、直交性は上のL 2内積に関して定義されます。Ω k M )
{ オメガ ^{k}(M)}

 🙁 α β) = ∫
Mα ∧ ⋆
β . { (alpha ，beta )=int _{M}alpha wedge {star beta }.}
  ソボレフ空間または分布を使用することにより、分解をたとえば完全な (有向または無向の) リーマン多様体に拡張できます。

こちらもご覧ください
ホッジ理論
ファイバーに沿った積分(ド ラム コホモロジーの場合、プッシュフォワードは積分によって与えられる)
層理論

引用
^ リー 2013、p。440。
^ テレンス、タオ. 「微分形式と統合」 (PDF) .
^ エデレン、ドミニク GB （2011)。応用外微積分（改訂版）．ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-43871-9. OCLC  56347718。
^ワーナー、フランク W. (1983)。微分可能多様体とリー群の基礎。ニューヨーク：スプリンガー。ISBN 0-387-90894-3. OCLC  9683855。
^キチャ、ラドスワフ・アントニ （2020)。「ポアンカレ補題、反厳密形式、およびフェルミオン量子調和振動子」 . 数学の結果。75 (3): 122.ドイ: 10.1007/s00025-020-01247-8 . ISSN  1422-6383。S2CID  199472766 . ^ Jean-Pierre Demailly、複雑な解析と微分幾何学第 VIII 章、§ 3。

参考文献
リー、ジョン M. （2013)。スムーズ マニホールドの紹介。スプリンガー出版社。ISBN 978-1-4419-9981-8.
ボット、ラウル。Tu， Loring W. (1982)， Differential Forms in Algebraic Topology ， Berlin， New York: Springer-Verlag ， ISBN 978-0-387-90613-3
グリフィス、フィリップ。Harris， Joseph (1994)， Principles of algebraic geometry ， Wiley Classics Library， New York: John Wiley & Sons ， ISBN 978-0-471-05059-9、MR  1288523
Warner， Frank (1983)， Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups ， Berlin， New York: Springer-Verlag ， ISBN 978-0-387-90894-6

外部リンク
Mathifold ProjectにおけるDe Rham コホモロジーのアイデア
“”De Rham cohomology” ， Encyclopedia of Mathematics ， EMS Press ， 2001 “