DeGroot_learning
DeGroot学習は、経験則タイプの社会的学習プロセスを指します。このアイデアは、アメリカの統計学者モリスH.デグルートによって一般的な形で述べられました。の前身は、ジョンRPフレンチとフランクハラリーによって明確に表現されました。このモデルは、物理学、コンピューターサイエンス、そして最も広くソーシャルネットワークの理論で使用されてきました。
コンテンツ
1 セットアップと学習プロセス
2 信念とコンセンサスの収束
2.1 強く接続されたケース
2.2 一般的なケース
2.3 コンセンサス
3 社会的影響
4 例
4.1 信念の収束
4.2 非収束的信念
5 大社会における漸近的性質：知恵
6 参考文献
セットアップと学習プロセス
の社会を取る n { n}
確率のベクトルで表される、主題について全員が意見を持っているエージェント p （（ 0
）。 = （（ p 1 （（ 0
）。 … p n （（ 0 ）。 ）。
{ p（0）=（p_ {1}（0）、 dots、p_ {n}（0））}
。エージェントは、意見を更新するための新しい情報を取得しませんが、他のエージェントと通信します。エージェント（誰が誰を知っているか）とエージェントがお互いの意見に重きを置くことの間のリンクは、信頼マトリックスによって表されます T { T}
どこ TI j { T_ {ij}}
そのエージェントの重量です I { i}
エージェントを着る j { j}
の意見。したがって、信頼マトリックスは、間にエッジがある加重有向グラフと1対1の関係に I { i}
と j { j}
場合に限り
T I j>> 0 { T_ {ij}> 0}
0 “”>
。信頼行列は確率的であり、その行は非負の実数で構成され、各行の合計は1になります。
正式には、信念は各期間で次のように更新されます p （（ t
）。= T p（（ t− 1 ）。 { p（t）= Tp（t-1）}
だから t { t}
期間の意見は、によって最初の意見に関連しています p （（ t
）。= T t p（（ 0 ）。 { p（t）= T ^ {t} p（0）}
信念とコンセンサスの収束
重要な問題は、信念が限界に収束し、長期的には互いに収束するかどうかです。信頼行列は確率論的であるため、マルコフ連鎖理論の標準的な結果を使用して、限界が存在する条件を示すことができます。 p （（ ∞
）。 = リムt ∞ p（（ t
）。 = リムt ∞ Tt p （（ 0 ）。 { p（ infty）= lim _ {t to infty} p（t）= lim _ {t to infty} T ^ {t} p（0）}
初期の信念のために存在します p （（ 0
）。 ∈ [ 0 1] n
{ p（0） in ^ {n}}
。以下のケースは、Golub and Jackson （2010）で扱われています。
強く接続されたケース
ソーシャルネットワークグラフ（信頼マトリックスで表される）が強く関連している場合、信念の収束は次の各プロパティと同等です。
で表されるグラフ T { T}
非周期的です
固有の左固有ベクトルがあります s { s}
の T { T}
固有値1に対応し、そのエントリの合計は1になり、p ∈
[ 0 1] n
{ p in ^ {n}}
、（（ リムt ∞ T t p
）。I = s ⋅ p
{ left（ lim _ {t to infty} T ^ {t} p right）_ {i} = s cdot p}
すべてのためのI ∈ {{ 1 … n } { i in {1、 dots、n }}
どこ ⋅ { cdot}
内積を示します。
最後の2つの間の同等性は、ペロン-フロベニウスの定理からの直接の結果です。
一般的なケース
信念を収束させるために強く結びついたソーシャルネットワークを持つ必要はありませんが、信念を制限することの平等は一般的に成り立ちません。
エージェントのグループと言いますC ⊆ {{ 1 … n } { C subseteq {1、 dots、n }}
ある場合は閉じていますI ∈ C
{ i in C}
、
T I j>> 0 { T_ {ij}> 0}
0 “”>
の場合のみj ∈ C
{ j in C}
。信念は、強く接続されて閉じられているノードのすべてのセット（個人を表す）も非周期的である場合にのみ収束します。
コンセンサス
グループ C { C}
個人の_p I（（ ∞
）。= p j（（ ∞ ）。 { p_ {i}（ infty）= p_ {j}（ infty）}
任意のI j ∈ C
{ i、j in C}
。これは、学習プロセスの結果として、限界において、彼らは主題に対して同じ信念を持っていることを意味します。
強力に接続された非周期的なネットワークにより、グループ全体がコンセンサスに達します。一般的に、強く結びついていて閉じているグループ C { C}
それが非周期的である場合に限り、個人の数は、信念のすべての初期ベクトルについてコンセンサスに達します。たとえば、これらの仮定を満たす2つのグループがある場合、それらはグループ内でコンセンサスに達しますが、必ずしも社会レベルでのコンセンサスはありません。
社会的影響
強く接続された非周期的なソーシャルネットワークを利用してこの場合、一般的な制限の信念は、を介して最初の信念によって決定されます p （（ ∞
）。= s ⋅ p（（ 0 ）。 { p（ infty）= s cdot p（0）}
どこ s { s}
の一意の単位長左固有ベクトルです T { T}
固有値1に対応します。ベクトル s { s}
は、エージェントがコンセンサス制限で互いの最初の信念にかける重みを示しています。したがって、高い方がs I
{ s_ {i}}
、より影響力のある個人 I { i}
コンセンサスの信念を持っています。
固有ベクトルプロパティs = s T
{ s = sT}
ことを意味しますs I = ∑
j= 1 n T j I s j
{ s_ {i} = sum _ {j = 1} ^ {n} T_ {ji} s_ {j}}
これは、 I { i}
それらのエージェントの影響の加重平均です
s j { s_ {j}}
注意を払う人 I { i}
、信頼のレベルの重みで。したがって、影響力のあるエージェントは、影響力の大きい他の個人から信頼されているという特徴が
例
これらの例は、Jackson （2008）に記載されています。
信念の収束
信念が収束する社会
次の信頼マトリックスを持つ3つの個人の社会を考えてみましょう。T =（（ 0 1 /2 1
/2 1 0 0 0 1 0 ）。 { T = { begin {pmatrix} 0＆1/2＆1/2 \ 1＆0＆0 \ 0＆1＆0 \ end {pmatrix}}}
したがって、最初の人は他の2人の信念を等しく重み付けし、2人目は最初の人だけに耳を傾け、3人目は2番目の人だけに耳を傾けます。この社会的信頼構造には、限界が存在し、等しい
リムt ∞ Tt p （（ 0
）。 = （（ リムt T t
）。 p （（ 0
）。 = （（ 2 /5 2 /5 1 /5 2 /5 2 /5 1 /5 2 /5 2 /5 1/ 5
）。 p （（ 0 ）。 { lim _ {t to infty} T ^ {t} p（0）= left（ lim _ {t to infty} T ^ {t} right）p（0）= { begin {pmatrix} 2/5＆2/5＆1/5 \ 2/5＆2/5＆1/5 \ 2/5＆2/5＆1/5 \ end {pmatrix}} p（0）}
したがって、影響ベクトルはs =（（ 2/ 5 2 / 5 1 /
5）。
{ s = left（2 / 5，2 / 5，1 / 5 right）}
そしてコンセンサスの信念は2 / 5 p 1 （ 0 ）。+ 2 / 5 p 2 （ 0 ）。+ 1 / 5 p 3 （ 0 ）。
{ 2 / 5p_ {1}（0）+ 2 / 5p_ {2}（0）+ 1 / 5p_ {3}（0）}
。言い換えれば、最初の信念とは関係なく、個人は、最初の人と2番目の人の最初の信念が3番目の人の2倍の影響力を持つというコンセンサスに達します。
非収束的信念
非収束的な信念を持つ社会
前の例を変更して、第三者も最初の例を排他的にリッスンするようにすると、次の信頼マトリックスが得られます。T =（（ 0 1 /2 1
/2 1 0 0 1 0 0 ）。 { T = { begin {pmatrix} 0＆1/2＆1/2 \ 1＆0＆0 \ 1＆0＆0 \ end {pmatrix}}}
この場合、k ≥ 1
{ k geq 1}
我々は持っていますT 2 k − 1 =（（ 0 1 /2 1
/2 1 0 0 1 0 0 ）。 { T ^ {2k-1} = { begin {pmatrix} 0＆1/2＆1/2 \ 1＆0＆0 \ 1＆0＆0 \ end {pmatrix}}}
と T 2 k =（（ 10 0 0 1 /2 1 /2 0 1
/2 1/ 2 ）。 { T ^ {2k} = { begin {pmatrix} 1＆0＆0 \ 0＆1/2＆1/2 \ 0＆1/2＆1/2 \ end {pmatrix}}}
それでム t
∞T t
{ lim _ {t to infty} T ^ {t}}
存在せず、信念は限界に収束しません。直感的には、1は2と3の信念に基づいて更新されますが、2と3は1の信念のみに基づいて更新されるため、各期間で信念が交換されます。
大社会における漸近的性質：知恵
大規模な社会、つまり、n ∞
{ n to infty}
制限。
人々が意見を持っている主題を「真の状態」としましょうμ ∈
[ 0 1 ] { mu in }
。個人が独立したノイズの多い信号を持っていると仮定しますp I（（ 0 ）。 （（ n ）。 { p_ {i} ^ {（0）}（n）}
の μ { mu}
（現在、上付き文字は時間、社会の大きさへの議論を指します）。すべてのためにそれを仮定します n { n}
信頼マトリックス T （（ n ）。 { T（n）}
制限的な信念が
p I （（ ∞）。 （ n ）。
{ p_ {i} ^ {（ infty）}（n）}
最初の信念から独立して存在します。その後、社会のシーケンス（（ T（（ n ）。 ）。n = 1 ∞
{ left（T（n） right）_ {n = 1} ^ { infty}}
賢明と呼ばれる
最大I ≤ n | p I（（ ∞
）。− μ |
p 0
{ max _ {i leq n} | p_ {i} ^ {（ infty）}- mu | { xrightarrow { p }} 0}
どこ p { { xrightarrow { p }}}
確率の収束を示します。これは、社会が際限なく成長する場合、時間の経過とともに、不確実な主題について共通の正確な信念を持つことを意味します。
知恵のための必要十分条件は、影響ベクトルの助けを借りて与えることができます。一連の社会は、次の場合にのみ賢明です。
リムn ∞ 大 I ≤ n s I（（ n
）。= 0
{ lim _ {n to infty} max _ {i leq n} s_ {i}（n）= 0}
つまり、最も影響力のある個人の影響力でさえ、大きな社会の限界で消えるとき、社会は正確に賢明です。さらなる特性評価と例については、Golub and Jackson （2010）を参照して
参考文献
^ Groot、Morris H.1974。「コンセンサスに達する。」 Journalof the American Statistics Association、69（345）：118–21。
^ フランス語、ジョンRP1956。「社会的権力の正式な理論」心理学レビュー、63：181–94。
^ ハラリー、フランク。1959年。「フランスの社会的権力理論における全会一致の基準」、ドーウィン・カートライト（編）、社会的権力の研究、ミシガン州アナーバー：社会研究所。
^ Jackson、Matthew O.2008。社会的および経済的ネットワーク。プリンストン大学出版局。
^ Golub、Benjamin＆Matthew O. Jackson 2010.「ソーシャルネットワークにおけるナイーブラーニングと群衆の叡智」、American Economic Journal：Microeconomics、American Economic Association、vol。2（1）、112〜49ページ、2月。”