Delta-functor
Delta-function と混同しないでください ホモロジー代数では、 2 つのアーベル圏AとBの間のδ 関手は、 AからBへの関手の集合であり、派生関手 の性質を一般化する性質を満たす射の集合です。普遍的なδ関手は、「次数0」を超えて射を拡張することに関連する特定の普遍的な性質を満たすδ関手です。これらの概念は、導関数に適切な設定を提供するために、 Alexander Grothendieckによって彼の「東北論文」で導入されました。 特に、派生ファンクターはユニバーサル δ ファンクターです。
ホモロジカルδ関手とコホモロジカルδ関手という用語は、射が「下がる」場合(ホモロジカル)と「上がる」場合(コホモロジカル)を区別するために使用されることが特に、これらの修飾子の 1 つは、明示されていないことがよくありますが、常に暗黙的です。
コンテンツ
1 意味
1.1 δ関手の射 1.2 普遍的なδ関手
2 こちらもご覧ください
3 ノート
4 参考文献
意味
2 つのアーベル圏 A と B が与えられると、AとBの間の共変コホモロジー δ 関手は、共変加法関手T n : A Bの族 { T n } であり、非負の整数によってインデックス付けされ、それぞれの短い完全数列に対して
0M 」 M M 」 」 0
{ 0rightarrow M^{prime}rightarrow Mrightarrow M^{prime prime}rightarrow 0}
射の族 δ n: T n( M」 」 ) T n + 1( M」 )
{ delta ^{n}:T^{n}(M^{prime prime })rightarrow T^{n+1}(M^{prime })}
次の 2 つのプロパティを満たす非負の整数によってインデックス付けされます。
1. 上記の各短い完全シーケンスに対して、長い完全シーケンスが
2. 短い完全数列の各射について
そして、負でないnごとに、誘導された二乗
は交換可能です (上の δ nはMの短い完全シーケンスに対応するもので、下の δ n はNの短い完全シーケンスに対応します)。
2 番目のプロパティは、δ ファンクタの関数性を表します。修飾子「コホモロジー」は、δ nがTのインデックスを上げることを示します。AとBの間の共変ホモロジカル δ 関手は同様に定義されます (そして一般に下付き文字を使用します) が、δ nは射T n ( M ”) T n-1 ( M’ ) です。A とBの間の反変コホモロジー δ 関手とAとBの間の反変ホモロジカル δ関手の概念は、「矢印を逆にする」ことによって定義することもできます。
δ関手の射
δ-ファンクターの射は、それぞれの短い正確なシーケンスに対して、射 δ と交換する自然な変換のファミリです。たとえば、SとTで示される 2 つの共変コホモロジー δ 関手の場合、 SからTへの射はF n : S n T nの自然な変換の族であり、短い正確なシーケンスごとに0 M 」 M M 」 」 0 { 0rightarrow M^{prime}rightarrow Mrightarrow M^{prime prime}rightarrow 0}
次の図は通勤します。
普遍的なδ関手
普遍的な δ 関手は、それから ( AとBの間の)他の δ 関手への射を与えることはF 0だけを与えることと同等であるという (普遍的な) 特性によって特徴付けられます。SがAとBの間の共変コホモロジー δ 関手を表す場合、Sは他の (共変コホモロジー) δ 関手T ( AとBの間) が与えられ、任意の自然な変換が与えられた場合に普遍的です。ふ 0 : S 0 T 0
{ F_{0}:S^{0}rightarrow T^{0}}
族 { F n } n ≥ 0が δ 関手の射であるように、正の整数によってインデックス付けされた一意のシーケンスF nが
こちらもご覧ください
Effaceable 関手
ノート
^ グロタンディーク 1957
参考文献
Grothendieck， Alexander (1957)， “Sur quelques points d’algèbre homologique”， The Tohoku Mathematical Journal ， Second Series， 9 (2–3)， MR 0102537
セクション XX.7
Lang， Serge （2002)， Algebra ， Graduate Texts in Mathematics ， vol. 211 (改訂第 3 版)、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-95385-4、MR 1878556、Zbl 0984.00001
のセクション 2.1
Weibel、チャールズ A. (1994)。ホモロジー代数の紹介。高度な数学のケンブリッジ研究。巻。38. ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-55987-4. MR 1269324 . OCLC 36131259。”