二重剰余類

Double_coset
数学の分野である群論では、二重剰余類は、 2 つの部分群から生じる対称性の下で等価な群要素の集まりです。 より正確には、Gを群とし、HとKを部分群とします。HをGに左掛けで作用させ、KをGに右掛けで作用させる。Gの各xについて、( H ， K ) – xの二重剰余類は集合ですHX K = {
時間Xk :
時間ε H k ε K } .
{ HxK={hxkcolon hin H，kin K}.}
H = Kの場合、これはxのH二重剰余類と呼ばれます。同様に、HxKは同値関係に基づくxの同値類です。
hxk = yとなるよう Hにhが存在し、 Kに kが存在する場合に限り、
x ~ yです。
すべての二重剰余類の集合は、H ∖ G / K .
{ H，バックスラッシュ G/K.}

コンテンツ
1 プロパティ
2 例
3 二重剰余類の集合上の自由アーベル群の積
4 アプリケーション
5 参考文献

プロパティ
Gは部分群HとKがそれぞれ左と右の乗算によって作用する群であると仮定します。Gの( H ， K )二重剰余類は、 ( h ， k ) ⋅  x = hxk −1によってGに作用する積群H × Kの軌道として等価的に記述できます。二重剰余類の基本的な性質の多くは、それらが軌道であるという事実からすぐに導かれます。ただし、Gは群であり、HとKは乗算によって作用する部分群であるため、二重剰余類は任意の群作用の軌道よりも構造化されており、より一般的な作用に対して偽である追加のプロパティが
2 つの二重剰余類HxKとHyKは互いに素であるか同一です。
Gはその二重剰余類の互いに素な和集合です。
HxKをKx −1 Hと同一視することによって与えられる2 つの二重剰余空間H G / KとK G / Hの間には、1 対 1 の対応が
H = {1}の場合、H G / K = G / K . K = {1}の場合、H G / K = H G .
二重剰余類 HxKは、Hの右剰余類とKの左剰余類の和集合です。具体的には、X K= ⋃ kε K HX k = ∐ X
kε H ∖ HX K HX k HX K =⋃ 間 ε H
時間XK = ∐ 間X K ε HX K / K 時間XK .
{ {begin{aligned}HxK&=bigcup _{kin K}Hxk=coprod _{Hxk，in ，Hバックスラッシュ HxK}Hxk，\HxK&=bigcup _{h in H}hxK=coprod _{hxK，in ，HxK/K}hxK.end{aligned}}}
( H ， K ) -double cosetsのセットは、軌道H ( G / K )で全単射であり、写像の下で軌道( H G ) / KでもH g K H( gK )
{ HgKto H(gK)}

とH g K( Hg ) K
{ HgKto (Hg)K}

それぞれ。
Hが通常の場合、H Gはグループであり、このグループに対するKの正しいアクションは、 H HKの正しいアクションによって因数分解されます。H G / K = G / HKとなります。同様に、Kが正規の場合、H G / K = HK G .
HがGの正規部分群である場合、H二重剰余類は左 (および右) H剰余類と 1 対 1 で対応します。
HxKを、右H剰余類のK軌道の結合と見なします。Kの右作用に関する右H剰余類 Hxk ∈ H HxKのスタビライザーはK ∩ ( xk ) −1 Hxkです。同様に、H の左作用に関する左K剰余類hxK ∈ HxK / KのスタビライザーはH ∩ hxK ( hx ) −1です。
したがって、 HxKに含まれるHの右剰余類の数はインデックス[ K :  K ∩ x −1 Hx ]であり、 HxKに含まれるKの左剰余類の数はインデックス[ H  : H ∩ xKx −1 ]です。したがって
| |X K
| | = [ H: H ∩X KX − 1 ]
| | K | | = | | H | | K : K ∩X − 1 HX
] [ G: H ] = ∑ X Kε H ∖ G
/ K [ K: K ∩X − 1 HX
] [ G: K ] = ∑ X Kε H ∖ G
/ K [ H: H ∩X KX − 1 ] . { {begin{aligned}|HxK|&=[H:Hcap xKx^{-1}]|K|=|H|[K:Kcap x^{-1}Hx]， \left&=sum _{HxK，in ，Hバックスラッシュ G/K}[K:Kcap x^{-1}Hx]，\left&=sum _{HxK，in ，Hbackslash G/K}[H:Hcap xKx^{-1}].end{aligned}}}

G、H、およびKが有限である場合、次も従います。
| |X K
| | = | | H | |
| | K | |
| |H ∩X KX − 1
| | = | | H | |
| | K | |
| |K ∩X − 1 HX
| | [ G: H ] = ∑ X Kε H ∖ G
/ K | | K | |
| |K ∩X − 1 HX
| | [ G: K ] = ∑ X Kε H ∖ G
/ K | | H | |
| |H ∩X KX − 1
| | . { {begin{aligned}|HxK|&={frac {|H||K|}{|Hcap xKx^{-1}|}}={frac {|H||K| }{|Kcap x^{-1}Hx|}}，\left&=sum _{HxK，in ，Hバックスラッシュ G/K}{ frac {|K|}{|Kcap x^{-1}Hx|}}，\left&=sum _{HxK，in ，Hバックスラッシュ G /K}{frac {|H|}{|Hcap xKx^{-1}|}}.end{aligned}}}

xをGに固定し、( H × K ) xをダブルスタビライザー{( h ， k ) : hxk = x } とする。この場合、二重安定器はH × Kの部分群です。
Gは群であるため、Hの各hに対して、hxg = x、つまりg = x −1 h −1 xとなるGのgが正確に 1 つ存在します。ただし、gはKに含まれない場合が同様に、K の各kに対して、 g ′ xk = xとなるGのg ′は正確に 1 つ存在しますが、g ′はHに存在しない場合がしたがって、ダブルスタビライザーには説明があります( H× K)X= { ( 時間X − 1
時間
− ) :
時間ε H } ∩ H × K= { (X
k− X − k ) : k
εK } ∩ H × K .
{ (Htimes K)_{x}={(h，x^{-1}h^{-1}x)コロン hin H}cap Htimes K={ (xk^{-1}x^{-1}，k)コロン kin K}cap Htimes K.}
(軌道安定定理) HxKと( H × K ) / ( H × K ) xの間には全単射があり、その下でhxkは( h ， k −1 )( H × K ) xに対応します。G、H、およびKが有限である場合| |HX K
| | = [ H× K 🙁 H × K)X] = | |H × K
| | / | |( H× K)X
| | . { |HxK|=[Htimes K:(Htimes K)_{x}]=|Htimes K|/|(Htimes K)_{x}|.}
( Cauchy–Frobenius lemma ) G ( h ， k )を( h ， k )の作用によって固定された要素とする。それで
| |H ∖ G
/ K | |= 1
| | H | |
| | K | | ∑ ( 時間 k) ε
H × K
| | G ( 時間 k ) | | . { |H，バックスラッシュ G/K|={frac {1}{|H||K|}}sum _{(h，k)in Htimes K}|G^{( h，k)}|.}

特に、G、H、およびKが有限の場合、倍精度剰余類の数は、群要素のペアごとに固定された点の平均数に等しくなります。
単一剰余類に関して、二重剰余類の同等の説明がHとKの両方がGの右乗算によって作用するとします。次に、Gは余剰空間G / H × G / Kの積に左乗算によって作用します。このアクションの軌道はH G / Kと 1 対 1 で対応しています。この対応は、 ( xH ， yK )を二重剰余類Hx −1 yKと識別します。簡単に言えば、これは、すべてのG軌道が( H ， xK )の形式の代表を受け入れ、代表xがHの要素による左乗算までしか決定されないためです。同様に、GはH G × K Gに正積で作用し、この作用の軌道は二重剰余集合H G / Kと 1 対 1 で対応します。概念的には、これは二重剰余類空間H G / KをH剰余類とK剰余類の相対配置の空間と同一視します。さらに、この構成は、任意の数のサブグループの場合に一般化されます。部分群H 1 ， …， H nが与えられると、( H 1 ， …， H n ) -多重剰余類の空間はG / H 1 × … × G / H nのG軌道の集合です。
二重剰余類に対するラグランジュの定理の類推は誤りです。これは、二重剰余類のサイズがGの次数を割る必要がないことを意味します。たとえば、G = S 3を 3 文字の対称群とし、 HとKをそれぞれ転置(1 2)と(1 3)によって生成される巡回部分群とします。eが恒等順列を表す場合、H e K = H K = { e ( 12
) ( 13
) ( 132) } .
{ HeK=HK={e，(12)，(13)，(132)}.}

これには 4 つの要素があり、4 はS 3の次数である 6 を割ることはありません。異なる倍精度剰余類が同じサイズであることも誤りです。同じ例を続けると、 H ( 23) K = { ( 23 ) ( 123 ) } { H(23)K={(23)，(123)}，}

4 つではなく 2 つの要素が
ただし、Hが正常であるとします。前述のように、この場合、二重剰余類空間は左剰余類空間G / HKに等しくなります。同様に、Kが正規の場合、H G / Kは右余剰空間HK Gです。左剰余類空間と右剰余類空間に関する標準的な結果は、次の事実を意味します。
| | HxK | = | 中国香港| Gのすべてのxに対して。つまり、二重剰余類はすべて同じ基数を持ちます。
Gが有限の場合、| ガ| = | 中国香港| ⋅ | H G / K | . 特に、| 中国香港| と| H G / K | 割る| ガ| .

例
G = S nを対称群とし、集合{1， …， n }の順列と見なします。nを安定化するサブグループH = S n −1を考えます。このときS n −1 S n / S n −1は 2 つの二重剰余類からなります。これらの 1 つはH = S n −1であり、もう 1 つはnを固定しない任意の順列γに対するS n −1 γ S n −1です。これは、S n / S n −1とは対照的です。 n { n}

要素 S n −
1 γ
2S n −
1 . . . γ
nS n − 1
{ gamma _{1}S_{n-1}，gamma _{2}S_{n-1}，…，gamma _{n}S_{n-1}}

、それぞれ ( n) = I
{ gamma _{i}(n)=i}
. Gを群GL n ( R )とし、Bを上三角行列の部分群とする。二重剰余空間B G / Bは G のブルハット分解です。double 剰余類は正確にBwBであり、wの範囲はすべての n 行 n 列の順列行列です。たとえば、n = 2の場合、B ∖ GL 2 (R )
/B =
{ B ( 1 0 ) B B( 0 1 ) B } .
{ B，バックスラッシュ !operatorname {GL} _{2}(mathbf {R} )/B=left{B{begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}} B， B{begin{pmatrix}0&1\1&0end{pmatrix}}Bright}.}

二重剰余類の集合上の自由アーベル群の積
Gが群で、H、K、およびLが部分群であるとします。特定の有限性条件下では、( H ， K ) – および( K ， L ) – 二重剰余類によって生成される自由アーベル群に、 ( H ， L ) – 二重剰余類によって生成される自由アーベル群の値を持つ積が. これは、双一次関数があることを意味しますZ H ∖ G /
K] × Z K ∖ G /
L] Z H ∖ G /
L] .
{ mathbf {Z} [Hbackslash G/K]times mathbf {Z} [Kbackslash G/L]to mathbf {Z} [Hbackslash G/L].}

簡単にするために、 Gは有限であると仮定します。積を定義するには、これらの自由アーベル群を次のように G の群代数で再解釈します。Z のすべての要素は次の形式を持ちます。∑ X K ε H ∖ G
/K へ HX K ⋅
[ HX K ] { sum _{HxKin Hバックスラッシュ G/K}f_{HxK}cdot ，}

ここで、{ f HxK }は、 H G / Kの要素によってインデックス付けされた整数のセットです。この要素は、 H G / K上のZ値関数、具体的にはHxK ↦ f HxKとして解釈される場合がこの関数は、射影G H G / Kに沿って引き戻すことができ、 xを二重剰余類 HxKに送ります。これにより、関数x ↦ f HxKが得られます。この関数が作成された方法により、Hの下で左不変、 Kの下で右不変です。群代数Z の対応する元は、 ∑ Xε G へ HX K ⋅
{ sum _{xin G}f_{HxK}cdot ，}

この要素は、 Hによる左乗算およびKによる右乗算の下で不変です。概念的には、この要素は、HxKをそれに含まれる要素で置き換えることによって取得され、 Gの有限性により、合計が依然として有限であることが保証されます。逆に、Hの下で左不変でKの下で右不変であるZ のすべての要素は、 Z 上の関数の引き戻しです。Z とZ については、並列ステートメントが真です。
Z 、Z 、およびZ の要素がZ の不変要素として解釈される場合、上で存在が主張された積は正確にはZ の乗算です。実際、左H不変要素と右L不変要素の積が左H不変で右L不変であり続けることを確認するのは自明です。積の双線形性は、Z の乗算の双線形性からすぐに従います。また、MがGの 4 番目の部分群である場合、( H ， K ) -、( K ， L ) -、および( L ， M ) -二重剰余類の積は結合的です。Z の積はG上の関数の畳み込みに対応するため、この積は畳み込み積と呼ばれることが
重要な特殊なケースは、H = K = Lの場合です。この場合、積は双一次関数です。Z H ∖ G /
H] × Z H ∖ G /
H] Z H ∖ G /
H] .
{ mathbf {Z} [Hバックスラッシュ G/H]times mathbf {Z} [Hバックスラッシュ G/H]to mathbf {Z} [Hバックスラッシュ G/H].}
  この積は、Z を自明二重剰余類の類を恒等元とする連想環に変換します。一般に、この環は非可換です。たとえば、H = {1}の場合、環は群代数Z であり、基になる群がabelianである場合に限り、群代数は可換環です。
Hが正規で、H倍剰余類が商群G / Hの元と同じである場合、Z 上の積は群代数Z [ G / Hの積です。 ] . 特に、これはG / H上の関数の通常の畳み込みです。この場合、環は、G / Hがアーベルである場合にのみ可換であり、同等に、HがGの交換子部分群を含む場合にのみ可換です。
Hが正規でない場合、 Gが非可換であってもZ は可換である可能性が古典的な例は、2 つのHecke 演算子の積です。これはヘッケ代数の積であり、群Gが非可換群であるモジュラー群であっても可換であり、部分群は算術部分群であり、特に交換子部分群を含まない. 畳み込み積の可換性は、Gelfand ペアと密接に結びついています。
群Gが位相群である場合、各二重剰余類の左右の剰余類の数が有限であるという仮定を弱めることができます。群代数Z は、 L 2 ( G )やC ∞ ( G )などの関数の代数に置き換えられ、和は積分に置き換えられます。製品は引き続き畳み込みに対応します。たとえば、これは局所コンパクト群 のヘッケ代数で起こります。

アプリケーション
グループのとき G { G}

 セットに対して推移的なグループ アクションがある S { S}

 、特定の二重剰余類分解の計算 G { G}

 のアクションの構造に関する追加情報を明らかにします G { G}

 の上 S { S}

 . 具体的には、 H { H}

 ある元素の安定化部分群ですs ε S
{ sin S}

 、 それから G { G}

 の正確に 2 つの倍精度剰余類として分解される( H H ) { (H，H)}

 場合に限り G { G}

 の異なる対の集合に推移的に作用する S { S}

 . このアクションの詳細については、2 推移性グループを参照して
Hの表現を使用してGの誘導表現を構築し、それをKに制限する場合、二重剰余類は表現論に関連して重要です。対応する二重剰余類構造は、結果の表現がどのように分解されるかについての情報を運びます。有限群の場合、これはマッケイの分解定理です。
それらは関数解析においても重要であり、いくつかの重要なケースでは、サブグループKによる左不変関数と右不変関数が畳み込みの下で可換環を形成できます: Gelfand ペアを参照して
幾何学では、クリフォード・クライン形式は二重剰余類空間Γ G / Hであり、ここでGは簡約リー群、Hは閉部分群、Γは ( Gの) 離散部分群であり、同次上で適切に不連続に作用します。スペース G / H .
数論では、剰余群の合同部分群Γに対応するヘッケ代数は、二重剰余空間の要素によって張られるΓ ∖ G L 2 + Q) / Γ
{ Gamma backslash mathrm {GL} _{2}^{+}(mathbb {Q} )/Gamma }

 ; 代数構造は、上記の二重剰余類の乗算から得られるものです。特に重要なのは Hecke 演算子です。 T メートル
{ T_{m}}

 二重剰余類に対応Γ 0 N ) g Γ 0 N )
{ Gamma _{0}(N)gGamma _{0}(N)}

 またΓ 1 N ) g Γ 1 N )
{ Gamma _{1}(N)gGamma _{1}(N)}

 、 どこg =( 10 0
メートル ) { g=left({begin{smallmatrix}1&0\0&mend{smallmatrix}}right)}

 (これらは、 mとNが互いに素であるかどうかによって異なるプロパティを持ちます)、およびダイヤモンド演算子⟨ d ⟩
{ langle drangle }

 二重剰余類によって与えられるΓ 1 N )( ab c d
) 1 N )
{ Gamma _{1}(N)left({begin{smallmatrix}a&b\c&dend{smallmatrix}}right)Gamma _{1}(N)}

 どこd ε ( Z /N Z) ×
{ din (mathbb {Z} /Nmathbb {Z} )^{times }}

 そして私たちは要求します( ab c d ) ε Γ 0 N )
{ left({begin{smallmatrix}a&b\c&dend{smallmatrix}}right)in Gamma _{0}(N)}

 ( a 、 b 、 c の選択は答えに影響しません)。

参考文献
^ Hall， Jr.， Marshall (1959)， The Theory of Groups ， New York: Macmillan， pp. 14–15
^ Bechtell， Homer (1971)， The Theory of Groups ， Addison-Wesley， p. 101″