キューブを 2 倍にする

Doubling_the_cube
立方体を 2 倍にすることは、デリアン問題とも呼ばれ、古代の : 9  の幾何学的問題です。立方体の辺が与えられた場合、この問題では、最初の立方体の 2 倍の体積を持つ 2 番目の立方体の辺を作成する必要が円の 2 乗と角度の 3 等分に関連する問題と同様に、立方体を 2 倍にすることは、コンパスと定規だけを使用して構築することは現在不可能であることが知られていますが、古代でさえ、他のツールを使用する解決策が知られていました。
単位立方体 (辺 = 1) と体積が 2 倍の立方体 (辺 =2 3
{ {sqrt{2}}}= 1.2599210498948732… OEIS :  A002580 )。
エジプト人、インド人、そして特にギリシャ人はこの問題を認識しており、頑固だが解決可能な問題と彼らが見たものを解決するために多くの無駄な試みを行った. しかし、 1837 年にピエール ヴァンツェルによって、コンパスと定規の解決策が存在しないことが最終的に証明されました。
代数的に言えば、単位立方体を 2 倍にするには、長さxの線分を作成する必要がここでx 3 = 2です。つまり、x =2
{ {sqrt{2}}}
、2 の立方根。これは、一辺の長さが 1 の立方体の体積が1 3 = 1であり、その体積の 2 倍 (体積 2) の立方体の立方根の辺の長さが2 であるためです。したがって、立方体を 2 倍にすることは不可能です。というステートメントに相当する2 3
{ {sqrt{2}}}
は構成可能な数ではありません。これは、コンパスと定規によって作成された新しいポイントの座標が、前のポイントの座標によって生成されたフィールド上の多項式の根であり、次数が2 次以下であるという事実の結果です。これは、構成可能な点によって生成されるフィールド拡張の次数が2 の累乗でなければならないことを意味します。2 3
{ {sqrt{2}}}
ただし、次数は 3 です。

コンテンツ
1 不可能の証明
2 歴史
3 コンパスと定規以外の手段による解決
3.1 マーク付き定規の使用
4 音楽理論では
5 ノート
6 参考文献
7 外部リンク

不可能の証明
平面の点(0，0) と (1，0)によって定義される単位線分から始めます。の距離だけ離れた 2 点で定義される線分を作成する必要が2 3
{ {sqrt{2}}}

. コンパスと定規の作図により、このような線分を自由に動かして単位線分と平行に原点に接触させることができることは簡単に示されます。したがって、同様に、(0，0) から( 2 3 { {sqrt{2}}}

， 0)、これには点 ( 2 3 { {sqrt{2}}}

、0)。
それぞれ、コンパスと定規のツールを使用すると、以前に定義した 1 つの点を中心とし、別の点を通る円 を作成したり、以前に定義した 2 つの点を通る線を作成したりできます。新しく定義された点は、円と線の交点として、または 2 つの線の交点として、そのような 2 つの円の交点の結果として発生します。基本的な解析幾何学の演習では、3 つのケースすべてで、新しく定義された点のx 座標とy座標の両方が、2 次以下の次数の多項式を満たし、係数が加算、減算、乗算、および除算を含むことを示します。以前に定義された点 (および有理数) の座標。より抽象的な用語で言い換えると、新しいx 座標とy座標は、次の部分体で最大 2次の最小多項式を持ちます R { mathbb {R} }

前の座標によって生成されます。したがって、それぞれの新しい座標に対応するフィールド拡張の次数は 2 または1です。
したがって、構築された任意の点の座標が与えられると、元の点( 0，0 )と(1， 0)。すべてのフィールド拡張は次数 2 または 1 を持ち、フィールド拡張は Q { mathbb {Q} }

点の元のペアの座標の次数は明らかに 1 であり、体の拡張の次数は次数であるというタワー ルールに従います。 Q { mathbb {Q} }

構築された点の任意の座標のは 2 のべき乗です。
ここで、p ( x ) = x 3 − 2 = 0が既約であることが容易にわかります。 Z { mathbb {Z} }
– 任意の因数分解には、あるk ∈ に対して線形因子 ( x − k )が含まれます。 Z { mathbb {Z} }

したがって、kはp ( x )の根でなければなりません。ただし、kは 2 を除算する必要がつまり、k = 1、2、−1、または−2であり、これらのいずれもp ( x )の根ではありません。ガウスの補題により、p ( x )も既約です。 Q { mathbb {Q} }

、したがって、最小多項式 Q { mathbb {Q} }

為に2 3
{ {sqrt{2}}}

. フィールド拡張 Q ( 23 ) : Q
{ mathbb {Q} ({sqrt{2}}):mathbb {Q} }

したがって、次数は 3 です。ただし、これは 2 のべき乗ではないため、上記により、2 3
{ {sqrt{2}}}

は構成可能な点の座標ではないため、2 3
{ {sqrt{2}}}

立方体を2倍にすることはできません。

歴史
この問題の名前は、アポロンから送られたペストを倒す方法を学ぶためにデルフィの神託に相談したデロスの市民に関する話に由来しています。 : 9 プルタルコスによると、しかし、デロスの市民は、市民間の関係を強化していた当時の内部の政治的問題の解決策を見つけるために、デルファイのオラクルに相談しました。オラクルは、通常の立方体であるアポロの祭壇のサイズを2倍にしなければならないと答えました. その答えはデロス人には奇妙に思えたので、彼らはプラトンに相談した。プラトンは神託を与えられた立方体の体積を 2 倍にする数学的な問題として解釈することができたので、神託はデロスの市民が専念するためのアポロンの助言であると説明した.彼らの情熱を落ち着かせるために、幾何学と数学の研究を行いました。
プルタルコスによれば、プラトンはエウドクサスとアルキタスとメナエクムスに問題を与え、機械的手段を使って問題を解決し、純粋な幾何学を使って問題を解決しなかったことでプラトンから叱責を受けました。これが、この問題が紀元前 350 年代に疑似プラトンのシーシュポス(388e) の著者によってまだ未解決であると言及された理由である可能性がしかし、物語の別のバージョン (アスカロンのユートシウスによるエラトステネスの作) では、3 人全員が解決策を見つけたが、抽象的すぎて実用的ではなかったと述べています。
この問題の解決策を見つける上で重要な進展は、ヒポクラテス (ヒポクラテス)による発見であり、それは 2 倍の長さの線分と別の線分との間の 2 つの平均比例を見つけることと同等であるということでした。現代の表記法では、これは、長さaと2 aのセグメントが与えられた場合、立方体の複製は、長さrとs のセグメントを見つけることと等価であるため、次のようになることを意味します。a r = r s = s
2a .
{ {frac {a}{r}}={frac {r}{s}}={frac {s}{2a}}.}

つまり、これは次のことを意味します。r = a
⋅2 . { r=acdot {sqrt{2}}.}

しかし、ピエール・ヴァンツェルは 1837 年に 2の立方根は構成できないことを証明しました。つまり、直定規とコンパスでは作成できません。

コンパスと定規以外の手段による解決
メナエクムスの最初の解法は、2 つの円錐曲線の交点を含みます。立方体を 2 倍にする他のより複雑な方法には、ノイシス、ディオクレスのシソイド、ニコメデスのコンコイド、またはフィロラインが含まれます。おそらく古代ギリシャの女性数学者であるパンドロシオンは、3 次元の平面を使用して数値的に正確な近似解を発見しましたが、適切な数学的証明を提供していないとしてアレクサンドリアのパップスから激しく批判されました。アルキタスは、紀元前 4 世紀に 3 次元の幾何学的構成を使用して問題を解決し、3 つの回転面の交点として特定の点を決定しました。
コンパスと直定規で立方体を 2 倍にするという誤った主張は、数学的クランクに関する文献 (疑似数学) にあふれています。
折り紙 は 、紙 を 折る こと で 二 の 立方 根 を作る のに も 使用 さ れます 。

マーク付き定規の使用

別の長さの 2 倍の立方根である長さのマーク付き定規を使用する単純なノイシス構造が
指定された長さの定規をマークします。これは最終的にGHになります。
指定された長さを辺とする正三角形 ABC を作成します。
AB を D まで同じ量だけ延長します。
線 BC を延長して線 CE を形成します。
ラインCFを形成するラインDCを延長します
印を付けた定規を A を通り、印を付けた長さの一方の端 G が光線 CF に当たり、印を付けた長さのもう一方の端 H が光線 CE に当たるように置きます。したがって、GH は与えられた長さです。
次に、AGは指定された長さの時間です2 3
{ {sqrt{2}}}

.

音楽理論では
音楽理論では、倍加の自然な類似物はオクターブ(トーンの周波数を 2 倍にすることによって生じる音楽間隔) であり、立方体の自然な類似物はオクターブを 3 つの部分に分割し、それぞれが同じ間隔です。この意味で、キューブを 2 倍にする問題は、平均律の長 3 度によって解決されます。これはちょうど 1/3 オクターブの音程です。トーンの周波数を乗算します。2 4
/12 2 1
/3 2 3
{ 2^{4/12}=2^{1/3}={sqrt{2}}}

、デリアン立方体の辺の長さ。

ノート
^ デリアン問題はプラトンの共和国(紀元前 380 年頃) VII.530 に現れる ^ Plato’s Republic ， Book VII は、「都市全体がこれらのことを尊重し、団結して主導し監督するならば、彼らは従うだろう.

参考文献
^ カーン、ウィリス F.; ブランド、ジェームズR.（1934）。証明付きの固体計測。ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ。
^ギルボー、ルーシー (1930)。「三次方程式の解の歴史」. 数学ニュースレター。5 (4): 8–12. ドイ：10.2307/3027812。JSTOR  3027812 .
^ スチュワート、イアン。ガロア理論。p。75。
^ L. Zhmud古典古代における科学史の起源、p.84 、プルタルコスとスマーナのテオンを引用 ^ プルタルコス、 De E apud Delphos 386.E.4 ^ プルタルコス、デ・ジェニオ・ソクラティス 579.B ^ (Plut.， Quaestiones convivales VIII.ii ， 718ef) ^ Carl Werner Müller， Die Kurzdialoge der Appendix Platonica ， Munich: Wilhelm Fink， 1975， pp. 105–106
^ Knorr， Wilbur Richard (1986)， The Ancient Tradition of Geometric Problems ， Dover Books on Mathematics， Courier Dover Publications， p. 4、ISBN 9780486675329. ^ TL Heath A history of Greek mathematics、Vol. 1]
^ リュッツェン、イェスパー （2010 年 1 月 24 日)。「幾何学的不可能性の代数: 立方体の複製と角度の三等分の不可能性に関するデカルトとモントゥクラ」 . ケンタウロス。52 (1): 4–37. ドイ: 10.1111/j.1600-0498.2009.00160.x .
^ クノール、ウィルバー・リチャード(1989)。「立方体の複製に関するパップスのテキスト」. 古代および中世の幾何学におけるテキスト研究。ボストン：ビルクホイザー。pp.63–76。  _ ドイ: 10.1007/978-1-4612-3690-0_5 .
^ ハインリッヒ・ドーリー (1965)。初等数学の100大問題。ドーバー。p。171.ISBN _ 0486-61348-8.
^ Phillips， RC (1905 年 10月）、「平均律」、Musical Opinion and Music Trade Review、29 (337): 41–42、
 プロクエスト7191936

外部リンク

  コモンズの 2 倍の立方体に関連するメディア
「立方体の複製」、数学百科事典、EMS プレス、2001
キューブを 2 倍にします。MacTutor History of Mathematics アーカイブの JJ O’Connor と EF Robertson。
立方体を 2 倍にする – Archytas のソリューション. Thomas Heath 著 A History of Greek Mathematics から許可を得て抜粋。
デリアンの問題が解決しました。またはそれは？カット・ザ・ノットで。
立方体を2倍にして、アニメーションとしての近接構築 (side = 1.259921049894873)
Mathologer のビデオ: 「2000 年未解決: 立方体の 2 倍と円の 2 乗はなぜ不可能なのか?」”