Dvoretzky’s_theorem
数学では、ドヴォレツキーの定理は、 1960 年代初頭にAryeh Dvoretzkyによって証明された、ノルム ベクトル空間に関する重要な構造定理であり、 Alexander Grothendieckの質問に答えています。本質的に、十分に高次元のノルム ベクトル空間はすべて、ユークリッドに近い低次元の部分空間を持つことになります。同様に、すべての高次元有界対称凸集合には、ほぼ楕円体である低次元セクションが
1970 年代にVitali Milmanによって発見された新しい証明は、漸近幾何学的解析(漸近汎関数解析またはバナッハ空間の局所理論とも呼ばれる)の開発の出発点の 1 つでした。
コンテンツ
1 オリジナル処方
2 さらなる発展
3 参考文献
4 参考文献
オリジナル処方
すべての自然数k ∈ Nおよびすべてのε > 0 に対して、自然数N ( k ， ε ) ∈ Nが存在し、( X ， ‖·‖) が次元N ( k ， ε )の任意のノルム空間である場合、次元kの部分空間E ⊂ Xと、対応するユークリッドノルム
| | ⋅ | |= Q ( ⋅ ) { |cdot |={sqrt {Q(cdot )}}}
Eは次を満たします。
| | X | |
≤‖X ‖ ≤( 1+ ε )
| | X | |
すべてのためのX ε え .
{ |x|leq |x|leq (1+varepsilon )|x|quad {text{for every}} xin E.}
乗法バナッハ・マズール距離dに関して、定理の結論は次のように定式化できます。 d ( え ℓ 2) ≤ 1 + ε
{ d(E， ell _{k}^{2})leq 1+varepsilon }
どこℓ k 2
{ ell _{k}^{2}}
は標準のk次元ユークリッド空間を表します。
すべてのノルム ベクトル空間の単位球は有界対称凸集合であり、すべてのユークリッド空間の単位球は楕円体であるため、定理は凸集合の楕円体セクションに関するステートメントとして定式化することもできます。
さらなる発展
1971 年、Vitali Milmanはドヴォレツキーの定理の新しい証明を与え、球への測定の集中を利用して、ランダムなk次元部分空間が 1 に非常に近い確率で上記の不等式を満たすことを示しました。 k : N ( k ε) ≤
指数( ハ( ε) k )
{ N(k，varepsilon )leq exp(C(varepsilon )k)}
ここで、定数C ( ε ) はεのみに依存します。
したがって、次のように述べることができます: すべてのε > 0 および次元 N のすべてのノルム空間 ( X ， ‖·‖)に対して、次元k ≥ C ( ε ) log Nの部分空間E ⊂ Xとユークリッド ノルム |·|が存在します。であるようなE
| | X | |
≤‖X ‖ ≤( 1+ ε )
| | X | |
すべてのためのX ε え .
{ |x|leq |x|leq (1+varepsilon )|x|quad {text{for every}} xin E.}
より正確には、S N − 1がX上の何らかのユークリッド構造Qに関する単位球を表し、σがS N − 1上の不変確率測度であるとします。それで：
をもつような部分空間Eが存在するk =
薄暗いえ ≥ ハ( ε ) ( ∫S N − 1 ‖ ξ ‖d σ( ξ ) 最大
ξε S N − 1 ‖ ξ
‖)2 N .
{ k=dim Egeq C(varepsilon )，left({frac {int _{S^{N-1}}|xi |，dsigma (xi )}{max _{xi in S^{N-1}}|xi |}}right)^{2}，N.}
任意のXに対して、かっこ内の項が最大になるようにQを選択できます。 1
ログN N .
{ c_{1}{sqrt {frac {log N}{N}}}.}
ここで、 c 1は普遍定数です。与えられたXとε に対して、可能な最大のkはk * ( X ) で表され、Xのドヴォレツキー次元と呼ばれます。
εへの依存性は、k * ( X ) ≥ c 2 ε 2 log Nであることを示したYehoram Gordon によって研究されました。この結果の別の証明は、Gideon Schechtmanによって与えられました。
Noga AlonとVitali Milmanは、ユークリッド空間またはチェビシェフ空間のいずれかに近い部分空間を受け入れる意思がある場合、ドヴォレツキーの定理の部分空間の次元の対数限界を大幅に改善できることを示しました。具体的には、ある定数c に対して、すべてのn次元空間には、次のいずれかのℓに近い次元k ≥ exp( c √ log N ) の部分空間がk2 _またはℓk∞ _.
関連する重要な結果は、Tadeusz Figiel、 Joram Lindenstraussおよび Milman によって証明されました。
参考文献
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参考文献
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