C*-algebra

 「C *-代数」  
数学では、具体的に機能解析、C * -代数(発音は「C-スター」)であるバナッハ環と共に退縮の性質を満足随伴します。特定のケースは、2つの追加プロパティを持つ複素ヒルベルト空間上の連続線形演算子の複素 代数 Aのケースです。
Aは、位相幾何学である閉集合における規範トポロジ演算子の。
Aは、随伴作用素をとる操作で閉じられます。
非ヒルベルトC *-代数の別の重要なクラスには、連続関数の代数が含まれます
C 0 (( X ) { 画像注釈 C_ {0}(X)} C *-代数は、物理的観測量の代数をモデル化するための量子力学での使用を主な目的として最初に検討されました。この一連の研究は、ヴェルナーハイゼンベルクの行列力学から始まり、1933年頃にパスクアルヨルダンとともにより数学的に発展した形で始まりました。その後、ジョンフォンノイマンはこれらの代数の一般的なフレームワークを確立しようとしました。 。これらの論文は、現在フォンノイマン代数として知られている特別なクラスのC *-代数を検討しました。
1943年頃、IsraelGelfandとMarkNaimarkの研究により、ヒルベルト空間の演算子を参照せずにC *-代数の抽象的な特性が得られました。
C *-環は現在、局所コンパクト群のユニタリ表現の理論における重要なツールであり、量子力学の代数定式化でも使用されています。もう1つの活発な研究分野は、分離可能な単純な核C *-代数について、分類を取得するプログラム、または分類が可能な範囲を決定するプログラムです。
内容
1 抽象的特徴
2 いくつかの歴史:B *-代数とC *-代数
3 C *-代数の構造
3.1 自己随伴要素 3.2 商と近似単位元
4 例
4.1 有限次元のC *-代数 4.2 C *-演算子の代数 4.3 C *-コンパクト演算子の代数 4.4 可換C *-代数 4.5 C *-包絡代数 4.6 フォンノイマン代数
5 C *-代数のタイプ
6 C *-代数と場の量子論
7 も参照してください
8 ノート
9 参考文献
抽象的特徴
まず、GelfandとNaimarkによる1943年の論文で与えられたC *-代数の抽象的な特徴づけから始めます。
AC *-代数Aは、複素数のフィールド上のバナッハ代数であり、マップとともにX ↦X ∗
{ textstyle x mapsto x ^ {*}}

  ためにX ∈ A
{ textstyle x in A}

  次のプロパティを使用します。
それは退縮すべてのために、XでA:
X ∗ ∗ = ((X∗ ) ∗=X
{ 画像注釈 x ^ {**} =(x ^ {*})^ {*} = x}
 
すべてのためのX、YでA:
(( X + y) ∗ =
X ∗ +
y ∗ { 画像注釈(x + y)^ {*} = x ^ {*} + y ^ {*}}
 
(( X y) ∗ = y ∗X ∗
{ 画像注釈(xy)^ {*} = y ^ {*} x ^ {*}}
 
Cのすべての複素数λとAのすべてのxについて:
(( λX) ∗ = λ ¯X
∗ { 画像注釈( lambda x)^ {*} = { overline { lambda}} x ^ {*}。}
 
すべてのためのxにおけるA: ‖ X ∗ X ‖ = ‖X ‖ ‖ X ∗ ‖ { 画像注釈 | x ^ {*} x | = | x | | x ^ {*} |。}
 
リマーク。最初の3つの恒等式は、Aが*代数であることを示しています。最後のIDはC * IDと呼ばれ、次のものと同等です。 ‖XX ∗
‖ = ‖X ‖ 2 { 画像注釈 | xx ^ {*} | = | x | ^ {2}、}

これは、B *アイデンティティと呼ばれることもC *-およびB *-代数という名前の背後にある履歴については、以下の履歴セクションを参照して
C *アイデンティティは非常に強力な要件です。たとえば、スペクトル半径の式とともに、C *ノルムが代数的構造によって一意に決定されることを意味します。 ‖X ‖ 2 = ‖ X ∗ X ‖ = sup {{
| λ | : X ∗ X− λ 1 可逆ではありません
} { 画像注釈 | x | ^ {2} = | x ^ {*} x | = sup {| lambda |:x ^ {*} x- lambda 、1 { text {is反転不可}} }。}
 
有界線形マップ、π  :A → B、C * -環の間にAとBが呼ばれている* -homomorphism場合
以下のためのX及びYでA π (( Xy ) = π (( X ) π
(( y ) { 画像注釈 pi(xy)= pi(x) pi(y)、}
 
以下のためのxにおけるA π ((X
∗) = π
(( X) ∗ { 画像注釈 pi(x ^ {*})= pi(x)^ {*} 、}
 
C *-代数の場合、C *-代数間の*-準同型πは収縮的です。つまり、ノルム≤1で制限されます。さらに、C *-代数間の単射*-準同型は等尺性です。これらはC *アイデンティティの結果です。
全単射*-準同型πはC *-同型と呼ばれ、この場合、AとBは同型であると言われます。
いくつかの歴史:B *-代数とC *-代数
B *代数という用語は、1946年にCE Rickartによって導入され、次の条件を満たすバナッハ*代数を説明しています。
‖XX∗ ‖ = ‖X ‖ 2
{ 画像注釈 lVert xx ^ {*} rVert = lVert x rVert ^ {2}}

 与えられたB *代数のすべてのxに対して。(B *-状態)
この条件は、*-対合が等角であることを自動的に意味します。 ‖X ‖ = ‖X ∗ ‖
{ 画像注釈 lVert x rVert = lVert x ^ {*} rVert}

 。したがって、 ‖XX ∗
‖ = ‖X ‖ ‖X ∗ ‖
{ 画像注釈 lVert xx ^ {*} rVert = lVert x rVert lVert x ^ {*} rVert}

 、したがって、B *-代数はC *-代数でも逆に、C *条件はB *条件を意味します。これは重要であり、条件を使用せずに証明することができます ‖X ‖ = ‖X ∗ ‖
{ 画像注釈 lVert x rVert = lVert x ^ {*} rVert}

 。これらの理由から、B *-代数という用語は現在の用語ではめったに使用されず、「C *-代数」という用語に置き換えられました。
C *-代数という用語は、1947年にIE Segalによって導入され、B(H)のノルム閉部分代数、つまり、ヒルベルト空間H上の有界作用素の空間を表します。「C」は「closed」の略です。 Segalは彼の論文で、C *-代数を「ヒルベルト空間上の有界作用素の均一に閉じた自己隣接代数」と定義しています。
C *-代数の構造
C *-代数には、技術的に便利な多数のプロパティがこれらの特性のいくつかは、連続汎関数計算を使用するか、可換C *-代数に還元することによって確立できます。後者の場合、これらの構造がGelfand同型写像によって完全に決定されるという事実を使用できます。
自己随伴要素
自己随伴要素は、x = x *の形式の要素です。x * xの形式のC *-代数Aの要素のセットは、閉じた凸錐を形成します。この円錐は、xx *形式の要素と同じです。この円錐の要素は非負と呼ばれます(または、この用語がRの要素の使用と矛盾する場合でも、正の場合もあります)。
C *-代数Aの自己隣接要素のセットは、当然、半順序 ベクトル空間の構造を持っています。通常、順序は≥で示されます。この順序で、自己随伴元素XのAを満たすX ≥0場合にのみスペクトルのxは非負であり、場合にのみ、X = S * S一部のsは。2つの自己随伴元素XとYのA満たすがX ≥ yの場合のx – yの≥0。
この半順序部分空間により、C *-環の正線形汎関数を定義できます。これは、C *-環の状態を定義するために使用され、C *-環のスペクトルを構築するために使用できます。GNS構造を使用した代数。
商と近似単位元
すべてのC *-代数Aは近似単位元を持っています。実際には、有向ファミリー{あるE λ } λ∈Iの自己随伴元素のように X e λ →X
{ 画像注釈 xe _ { lambda} rightarrow x}
 
0 ≤ e λ ≤
e μ ≤ 1  いつでも 
λ ≤ μ { 画像注釈 0 leq e _ { lambda} leq e _ { mu} leq 1 quad { mbox {when}} lambda leq mu。}
 
Aが分離可能である
場合 Aは順次近似単位元を持ちます。より一般的には、
Aが厳密に正の要素、つまりhAhがAに密集している
ような正の要素hを含む場合に限り、Aは
順次近似単位 元 を
持ちます。
近似単位元を使用すると、自然ノルムを使用した、閉じた適切な両側イデアルによるC *-代数の代数商がC *-代数であることを示すことができます。
同様に、C *-代数の閉じた両面イデアルはそれ自体がC *-代数です。 例 有限次元のC *-代数
代数M(N、C)のN × N 行列を超えるCは、我々がユークリッド空間上の演算子としての行列を考慮すれば、C * -代数となり、C 、N、および使用作用素ノルム||・||を 行列について。対合は、共役転置によって与えられます。より一般的には、行列代数の有限直和を考えることができます。実際、ベクトル空間として有限次元であるすべてのC *-代数は、同型写像までこの形式です。自己結合要件は、有限次元のC *-代数が半単純であることを意味します。この事実から、Artin-Wedderburnタイプの次の定理を推測できます。
定理。有限次元のC *-代数Aは、有限の直和と正準同型です。A = ⨁e∈ 分 A A e{ 画像注釈 A = bigoplus _ {e in min A} Ae}

分どこAは最小の非ゼロ自己随伴中央投影の集合であるA。
各C *-代数Aeは、完全な行列代数M(dim(e)、C)と同型(非標準的な方法で)です。分にインデックス付け有限ファミリーA {DIM(で与えられるE)} Eが呼び出され次元ベクトルのAを。このベクトルは、有限次元C *-代数の同型クラスを一意に決定します。言語でK-理論、このベクターは、正円錐のK 0の群A。
† -代数(または、より明確に、A †-closed代数)時々で使用される名前である物理の有限次元C * -代数のために。短剣は、†、物理学者は、一般的に表すためにシンボルを使用するための名前で使用されている随伴作用素を、しばしば寸法の無限の数に関連した微妙な心配はありません。(数学者は通常、アスタリスク*を使用して、エルミート随伴を示します。)†-代数は、量子力学、特に量子情報科学で顕著に機能します。
有限次元C *-代数の直接の一般化は、ほぼ有限次元のC *-代数です。
C *-演算子の代数
C *-環の典型的な例は、複素ヒルベルト空間Hで定義された有界(同等に連続)線形演算子の代数B(H)です。ここで、x *は、演算子x  :H → Hの随伴演算子を示します。実際、すべてのC *-代数Aは、適切なヒルベルト空間Hに対して、B(H)のノルム閉随伴閉部分代数と*-同型です。これは、ゲルファント・ナイマルクの定理の内容です。
C *-コンパクト演算子の代数
してみましょうHがあること、分離無限次元ヒルベルト空間。代数K(Hの)コンパクトオペレータにHがあるノルム閉鎖の部分代数B(H)。また、革命の下で閉鎖されています。したがって、それはC *-代数です。
コンパクト演算子の具体的なC *-代数は、有限次元のC *-代数に対するウェダーバーンの定理と同様の特性を認めています。
定理。場合Aは、のC * -subalgebraあるK(H)は、ヒルベルト空間{存在H Iを}私は∈私はそのようなA ≅ ⨁私∈ 私 K (( H 私 ){ 画像注釈 A cong bigoplus _ {i in I} K(H_ {i})、}

ここで、(* C – )直接合計は要素から構成さ(T Iデカルト積Πの)K(H Iを有する)|| T i || →0。
けれどもK(Hが)アイデンティティの要素を持っていない、シーケンシャルおおよそのアイデンティティのためのK(Hが)を開発することができます。具体的には、Hは、正方形summable配列の空間に同形であるL 2。我々は仮定することができることH = L 2。各自然数のNせH nはシーケンスの部分空間であるL 2の指標のために消えるK ≤ Nおよびlet E nは直交射影することへのH N。シーケンス{ EのN } Nのおおよそ同一であるK(H)。
K(H)は、B(H)の両側の閉じた理想です。分離可能なヒルベルト空間にとって、それはユニークな理想です。K(H)によるB(H)の商はカルキン代数です。
可換C *-代数
ましょXはなり局所コンパクトハウスドルフ空間。スペース C 0
(( X ) { 画像注釈 C_ {0}(X)}

 無限遠で消えるX上の複素数値の連続関数(局所コンパクトに関する記事で定義)は、可換C *-代数を形成します。 C 0
(( X ) { 画像注釈 C_ {0}(X)}

 点ごとの乗算と加算の下で。対合は点ごとの活用です。 C 0
(( X ) { 画像注釈 C_ {0}(X)}

  乗法単位要素があるのは、X
{ 画像注釈 X}

 コンパクトです。他のC *-代数と同様に、 C 0
(( X ) { 画像注釈 C_ {0}(X)}

 おおよそのアイデンティティを持っています。の場合 C 0
(( X ) { 画像注釈 C_ {0}(X)}

  これは即時です:のコンパクトサブセットの有向集合を検討してくださいX
{ 画像注釈 X}

 、および各コンパクト用 K { 画像注釈 K}

  しましょう
f K { 画像注釈 f_ {K}}

  コンパクトサポートの機能であり、同じように1 K { 画像注釈 K}

 。このような関数は、局所コンパクトハウスドルフ空間に適用されるティーツの拡張定理によって存在します。そのような一連の機能
{{ f K } { 画像注釈 {f_ {K} }}

  おおよそのアイデンティティです。
Gelfand表現ごと可換C * -代数は*代数に-isomorphicであると述べています C 0
(( X ) { 画像注釈 C_ {0}(X)}

 、 どこX
{ 画像注釈 X}

 弱い*トポロジーを備えた文字のスペースです。さらに、 C 0
(( X ) { 画像注釈 C_ {0}(X)}

 ある同型へ C 0
(( Y ) { 画像注釈 C_ {0}(Y)}

  C *-代数として、次のようになりますX
{ 画像注釈 X}

  そして Y { 画像注釈 Y}

 ある同相。この特性評価は、非可換トポロジーおよび非可換幾何学プログラムの動機の1つです。
C *-包絡代数
バナッハ* -代数のを考えるとAとのおおよそのアイデンティティ、ユニークな存在である(Cまでは* -isomorphism)C * -代数E(A)と* -morphismπからAへのE(A)と普遍的であり、 、他のすべての連続*-射π ‘:A → Bはπを介して一意に因数分解されます。代数E(A)は、バナッハ*代数AのC *包絡代数と呼ばれます。
特に重要なのは、局所コンパクト群 GのC *-代数です。これは、Gの群代数の包み込むC *-代数として定義されます。C * -代数Gは一般のコンテキストを提供する高調波解析のG場合、Gは非アーベル特に、局所コンパクト群の双対は、群C *代数の原始イデアル空間であると定義されています。C *-代数のスペクトルを参照して
フォンノイマン代数
1960年代以前はW *代数として知られていたフォン・ノイマン代数は、特殊な種類のC *-代数です。これらは、通常のトポロジよりも弱い弱い演算子トポロジで閉じる必要が
シャーマン・武田定理は、このようなことを通してWへの準同型は、* -代数の要因という、任意のC * -代数は、* -代数Wユニバーサルエンベロープを持っていることを意味します。
C *-代数のタイプ
AC * -代数Aは型であるI場合にのみ、すべての非縮退表現は、πのためにAノイマン代数π(A) ”(すなわち、πの二重交換団(Aが))タイプIノイマンであります代数。実際、因子表現、つまりπ(A) ”が因子である表現πのみを考慮するだけで十分です。
局所コンパクト群は、その群C *-代数が型Iである場合に限り、型Iであると言われます。
ただし、C *-代数にタイプI以外の表現がある場合、James Glimmの結果により、タイプIIおよびタイプIIIの表現もしたがって、C *代数と局所コンパクト群の場合、タイプIと非タイプIのプロパティについて話すことだけが意味が
C *-代数と場の量子論
量子力学、一つは典型的にはCとの物理的なシステムを説明* -代数のA部要素と; 自己随伴元素Aは、(要素がxはで、X * = X)として考えられている観測システムの、測定可能な量、。状態システムのは、上に正の機能として定義されているA(C:-linearマップφ A → Cとφ(U * U)≥0に対するすべてのu ∈ A φ(1)= 1が期待するように)システムが状態φにある場合、観測可能なxの値はφ(x)です。
このC *-代数アプローチは、局所場の量子論のHaag-Kastler公理化で使用されます。ここでは、ミンコフスキー空間のすべての開集合がC *-代数に関連付けられています。
も参照してください
バナッハ代数
バナッハ*-代数
*-代数
ヒルベルトC *-モジュール
作用素K理論
演算子システム、*-閉じているC *-代数の単位部分空間。
Gelfand–Naimark–Segal構造
ノート
^ Doran&Belfi 1986、pp。5–6、 Googleブックス。 ^ Doran&Belfi 1986、p。6、 Googleブックス。 ^ Segal 1947 ^ Segal 1947、p。75 ^ John A. Holbrook、David W. Kribs、およびRaymondLaflamme。「ノイズのないサブシステムと量子誤り訂正における交換団の構造」。量子情報処理。第2巻、第5巻、381〜419ページ。2003年10月。
参考文献
Arveson、W。(1976)、C * -Algebraへの招待、Springer-Verlag、ISBN 0-387-90176-0。基本的な機能分析の知識を持っている人がアクセスできる、主題への優れた入門書。
Connes、Alain、非可換幾何学、ISBN 0-12-185860-X。この本は、新しい研究資料の出典として広く認められており、多くの支持的な直感を提供しますが、それは困難です。
ディキシミエ、ジャック(1969)、Les C *-algèbresetleursreprésentations、Gauthier-Villars、ISBN 0-7204-0762-1。これはやや時代遅れのリファレンスですが、それでも高品質の技術博覧会と見なされています。North HollandPressから英語で入手できます。
ドラン、ロバートS。; Belfi、Victor A.(1986)、C *代数の特性評価:Gelfand-Naimarkの定理、CRC Press、ISBN 978-0-8247-7569-8。
Emch、G。(1972)、統計力学および量子場理論における代数的方法、Wiley-Interscience、ISBN 0-471-23900-3。広範な物理学の背景を提供する数学的に厳密なリファレンス。
AI Shtern(2001)、「C * -algebra」、数学百科事典、EMS Press
境正一郎(1971)、C *-環およびW *-代数、Springer、ISBN 3-540-63633-1。
Segal、Irving(1947)、「作用素環の既約表現」、アメリカ数学会紀要、53(2):73–88、doi:10.1090 / S0002-9904-1947-08742-5。

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カテゴリー: C