C-symmetry

 「C対称性」  
物理学、電荷結合がある変換のすべてのスイッチの粒子を、それらの対応する反粒子こうして全ての符号変化、電荷を:だけでなく、電荷も電荷他の力に関連します。C対称という用語は、「電荷共役対称性」という句の省略形であり、電荷共役下の物理法則の対称性の説明で使用されます。他の重要な離散対称性は、P対称性(パリティ)とT対称性(時間反転)です。
これらの離散対称、C、P及びTは、既知の記述式の対称性である基本的な力:自然の電磁気、重力、強い及び弱い相互作用を。与えられた数式が自然を正しくモデル化するかどうかを検証するには、時間の動きなどの連続対称性だけでなく、その離散対称性にも物理的な解釈を与え、自然がこれらの対称性に準拠しているかどうかを判断する必要が連続対称性とは異なり、離散対称性の解釈は、もう少し知的に要求が厳しく、混乱を招きます。1950年代、Chien Shiung Wuが弱い相互作用がP(したがってC)対称性に違反していることを示したとき、初期の驚きが現れました。までの数十年のために、複合対称CPが保存されていたと思われたCP-違反の相互作用が発見されました。どちらの発見もノーベル賞につながります。
宇宙は反物質ではなく主に物質で満たされているため、C対称性は物理的に特に厄介ですが、物理法則の素朴なC対称性は、両方の量が等しいことを示唆しています。議論は決着していませんが、現在、初期宇宙でのCP対称性の破れが「過剰」な問題の原因であると考えられています。1970年代以前の宇宙論に関する初期の教科書日常的に、おそらく遠方の銀河は完全に反物質でできていて、宇宙の正味のバランスをゼロに保つことを提案しました。
、ディラック方程式や場の量子論の構造など、さまざまな重要な方程式や理論システムのC対称性を明らかにして明確にすることに焦点を当てています。さまざまな素粒子は、電荷共役下の挙動に従って分類できます。これは、Cパリティに関する記事で説明されています。
内容
1 非公式の概要
1.1 場の古典論 1.2 量子論では 1.3 幾何学で
2 ディラック場の電荷共役
2.1 電荷共役、キラリティー、ヘリシティ
2.1.1 ワイルスピノール
2.1.2 キラルベースの電荷共役
2.1.3 マジョラナ状態
2.1.4 幾何学的解釈
2.2 量子化された場の電荷共役 2.3 電弱理論における電荷反転
3 スカラー場
4 電荷とパリティ反転の組み合わせ
5 一般的な設定
6 も参照してください
7 ノート
8 参考文献
非公式の概要
電荷共役は、3つの異なるが密接に関連する設定で対称性として発生します。クライン-ゴルドン方程式やディラック方程式など、いくつかの注目すべき微分方程式の(古典的で非量子化された)解の対称性、対応する場の量子論の対称性、および一般的な設定では、(擬)リーマン多様体の対称性。3つのケースすべてで、対称性は最終的に複素共役下の対称性であることが明らかになりますが、表記法、座標の選択、およびその他の要因によっては、共役されているものが難読化される場合が
場の古典論
電荷共役対称性のものとして解釈される電荷全ての3つのケース(古典的、量子ジオメトリ)で、一方が構築できるので、ネーター電流のものと似ている古典的な電磁気を。これは、マクスウェルの方程式を介して、電気力学自体がU(1) ファイバーバンドル(いわゆる円束)上の構造として解釈できるために発生します。これは電磁気学の幾何学的解釈を提供します:電磁ポテンシャル
A μ { 画像注釈 A _ { mu}}

 円束のゲージ接続(エーレスマン接続)として解釈されます。この幾何学的解釈により、この結合がゲージ不変の方法で行われる場合、複素数値の構造を持つすべてのものを電磁界に結合することができます(文字通りほとんど)。この幾何学的設定におけるゲージ対称性は、円上を動き回るときに、結合されたオブジェクトも「円形の方法」で変形し、対応する方法で追跡する必要があるというステートメントです。より正式には、方程式は円上の局所座標フレームの変化の下でゲージ不変でなければならないと言われています。U(1)の場合、これは、システムが位相因子による乗算の下で不変であるというステートメントにすぎません。e 私 ϕ (( X ) { 画像注釈 e ^ {i phi(x)}}

  それは(時空)座標に依存しますX { 画像注釈x。}

  この幾何学的設定では、電荷共役は離散対称性として理解できます。 z =
(( X+ 私 y ) ↦ z ¯=
(( X− 私 y ) { 画像注釈 z =(x + iy) mapsto { overline {z}} =(x-iy)}

  複素共役を実行し、円の周りの方向の感覚を逆転させます。
量子論では
量子場の理論、電荷結合は交換として理解することができる粒子と反粒子。この声明を理解するには、場の量子論とは何かについて最小限の理解が必要です。(大幅に)簡略化された用語では、摂動論を介して連立微分方程式のシステムの解を得るために計算を実行するための手法です。このプロセスの重要な要素は、システム内の(自由で結合されていない)微分方程式ごとに1つずつ、場の量子論です。場の量子論は慣習的に次のように書かれています ψ (( X) = ∫ d 3 p ∑ σ ne − 私 p ⋅X A (( p
→ σ n ) u
(( p
→ σ n ) +e 私 p ⋅X A †
(( p
→ σ n ) v
(( p
→ σ n ) { 画像注釈 psi(x)= int d ^ {3} p sum _ { sigma、n} e ^ {-ip cdot x} a left({ vec {p}}、 sigma、 n right)u left({ vec {p}}、 sigma、n right)+ e ^ {ip cdot x} a ^ { dagger} left({ vec {p}}、 sigma、n right)v left({ vec {p}}、 sigma、n right)}
  どこ p →
{ 画像注釈 { vec {p}}}

  勢いです、 σ { 画像注釈 sigma}

  スピンラベルです、 n { 画像注釈 n}

 システム内の他の状態の補助ラベルです。ザ・ A { 画像注釈 a}

  そして
A † { 画像注釈 a ^ { dagger}}

 ある生成消滅演算子(昇降演算子)と u v { 画像注釈 u、v}

 問題の(自由で、相互作用しない、結合されていない)微分方程式の解です。一般に、結合された微分質問のシステムの正確な解を取得する方法がわからないため、場の量子論が中心的な役割を果たします。ただし、摂動論を介して、近似解は自由場解の組み合わせとして構築できます。この構築を実行するには、必要に応じて、オンデマンドで任意の1つの自由場ソリューションを抽出して操作できる必要が場の量子論はまさにこれを提供します。それは、生成演算子と消滅演算子を介して、任意の時点でそれらのいずれかを選択できるように、ベクトル空間内のすべての可能な自由場解を列挙します。
生成演算子と消滅演算子は、一方の演算子がもう一方の演算子が「作成」したものを「元に戻す」という点で、正規の交換関係に従います。これは、任意のソリューションが u (( p
→ σ n)
{ 画像注釈 u left({ vec {p}}、 sigma、n right)}

  その「アンチソリューション」と組み合わせる必要があります v (( p
→ σ n)
{ 画像注釈 v left({ vec {p}}、 sigma、n right)}

 一方が他方を元に戻すかキャンセルするようにします。ペアリングは、すべての対称性が保持されるように実行されます。一般にローレンツ不変性に関心があるので、場の量子論には、考えられるすべての運動量の積分として上に書かれた、考えられるすべてのローレンツ座標フレームの積分が含まれます(フレームバンドルのファイバーの積分です)。ペアリングには、 u (( p → )
{ 画像注釈 u left({ vec {p}} right)}

  に関連付けられています v (( p → )
{ 画像注釈 v left({ vec {p}} right)}

 反対の運動量とエネルギーの。場の量子論は、考えられるすべてのスピン状態の合計でもデュアルペアリングは再び反対のスピンに一致します。他の量子数についても同様に、これらも反対のペアになっています。このデュアルペアリングを実行することには技術的な困難が特定のソリューションにとってそれが何を意味するかを説明する必要が u { 画像注釈 u}

  他の解決策と「二重」になる
v { 画像注釈 v、}

  そして、フレームバンドルのファイバー上で統合するとき、スピンを説明するファイバー上で統合(合計)するとき、およびで発生する他のファイバー上で統合(合計)するときに、一貫してデュアルのままであるように説明します。理論。
統合されるファイバーが電磁気学のU(1)ファイバーである場合、デュアルペアリングはファイバーの方向(方向)が逆になるようになります。統合されるファイバーがカラーチャージのSU(3)ファイバーである場合、デュアルペアリングは再び向きを逆にします。これはSU(3)で「正しく機能」します。これは、2つの基本表現が2つあるためです。 3 { 画像注釈 mathbf {3}}

  そして 3 ¯
{ 画像注釈 { overline { mathbf {3}}}}

 自然にペアリングすることができます。場の量子論のこの処方箋は、システムの連続対称性を列挙し、首尾一貫した一貫した方法で双対を定義できるあらゆる状況に自然に一般化されます。ペアリングは、完全に抽象的な意味で反対の電荷を結び付けます。物理学では、電荷は連続対称性の生成器に関連付けられています。異なる料金が異なるの固有空間に関連付けられているカシミール不変の普遍包絡代数それらの対称性のために。これは、基礎となる時空多様体のローレンツ対称性と、時空多様体の上に配置されたファイバーバンドル内のファイバーの対称性の両方に当てはまります。双対性は、対称性のジェネレーターをマイナスジェネレーターに置き換えます。したがって、電荷共役は、対称空間の直線束または決定束に沿った反射に関連付けられます。
上記は、場の量子論における場の量子論の一般的な考え方のスケッチです。物理的な解釈は、その解決策です u (( p
→ σ n)
{ 画像注釈 u left({ vec {p}}、 sigma、n right)}

  粒子、およびソリューションに対応します v (( p
→ σ n)
{ 画像注釈 v left({ vec {p}}、 sigma、n right)}

 反粒子に対応するため、電荷共役は2つのペアになります。このスケッチは、一般的な幾何学的設定で電荷共役がどのように見えるかを示すのに十分なヒントも提供します。摂動展開の仲介者として機能する場の量子論を構築するために、摂動理論を使用するという特別な強制要件はありません。電荷共役は一般的な設定を与えることができます。
幾何学で
一般ためリーマンと擬リーマン多様体、一方が有する接線バンドル、余接束とメトリック結びつき、二つを一緒に。この状況が提示されたときにできる興味深いことがいくつか1つは、滑らかな構造により、微分方程式をマニフォールドに配置できることです。タンジェントとコタンジェントスペースは、実行するための十分な構造を提供多様体上の計算を。重要なのはラプラシアンであり、定数項では、クライン-ゴルドン演算子に相当します。余接束は、その基本的な構造により、常にシンプレクティック多様体です。シンプレクティック多様体は正準座標を持っていますX p
{ 画像注釈 x、p}

 位置と運動量として解釈され、正規の交換関係に従います。これにより、この一般的な設定に二重性を拡張し、したがって電荷共役を拡張するためのコアインフラストラクチャが提供されます。
2つ目の興味深いことは、スピン構造を構築することです。おそらくこれについて最も注目すべきことは、それが非常に認識可能な一般化であるということです
(( p q ) { 画像注釈(p、q)}

 (1,3)次元のミンコフスキー時空に存在するスピノールの従来の物理概念の次元の擬リーマン多様体。構造は、複雑化されたクリフォード代数を通過して、クリフォード束とスピンマニフォールドを構築します。この構築の終わりに、ディラックスピノルとディラック方程式にすでに精通している場合は、非常に馴染みのあるシステムが得られます。この一般的なケースには、いくつかの類似点がまず、スピノールはWeylスピノールであり、複素共役のペアで提供されます。それらは自然に反交換であり(これはクリフォード代数に由来します)、これはまさにパウリの排他原理と接触したいものです。もう1つは、ガンマ行列に類似したキラル元素の存在です。
γ 5 { 画像注釈 gamma _ {5}}

 これらのスピノールを左手系と右手系の部分空間に分類します。複雑化は重要な要素であり、この一般化された設定で「電磁気学」を提供します。スピノルバンドルは下で「ただ」変形しません S O
(( p q ) { 画像注釈 SO(p、q)}

 、ローレンツ群の一般化 S O
(( 1 3 ) { 画像注釈 SO(1,3)}

 、しかしより大きなグループの下では、複雑なスピン群S p 私 n C (( p q
) { 画像注釈 mathrm {Spin} ^ { mathbb {C}}(p、q)。}

 によって二重に覆われているという点で大きいです S O
(( p q ) ×× U (( 1
) { 画像注釈 SO(p、q) times U(1)。}

ザ・ U (( 1 ) { 画像注釈 U(1)}

 ピースは、いくつかの異なる方法で電磁気学で識別できます。1つの方法は、スピンマニフォールドのディラック作用素が2乗されたときに、ピースを含むことです。F = d A { 画像注釈 F = dA}

  と A { 画像注釈 A}

  に関連付けられている接続のその部分から生じる U (( 1 ) { 画像注釈 U(1)}

 ピース。これは、通常のミンコフスキー時空で通常のディラック方程式を二乗したときに起こることと完全に類似しています。2番目のヒントはこれが U (( 1 ) { 画像注釈 U(1)}

 ピースはスピン構造の行列式束に関連付けられており、複雑な共役によって左巻きと右巻きのスピノールを効果的に結び付けています。
残っているのは、上記の構造の離散対称性を処理することです。P対称性とT対称性を一般化するように見えるいくつかがの識別 p { 画像注釈 p}

  時間のある次元、および q { 画像注釈 q}

  スペースのある次元では、の接線ベクトルを逆にすることができます p { 画像注釈 p}

  時間反転を取得するための次元部分空間、および方向を反転する q { 画像注釈 q}

 寸法はパリティに対応します。C対称性は、直線束の反射で識別できます。これらすべてを結び目にするために、クリフォード代数の要素を逆の(転置された)順序で書くことができるという点で、最終的に転置の概念が最終的な結果は、フィールドの従来の物理学のアイデアが一般的なリーマン設定に受け継がれるだけでなく、離散対称性のアイデアも受け継がれるということです。
これに反応する方法は2つ1つは、それを興味深い好奇心として扱うことです。もう1つは、低次元(低次元時空)では、さまざまなリー群と他のさまざまな構造の間に多くの「偶発的な」同型が存在することを認識することです。一般的な設定でそれらを調べることができると、これらの関係が解きほぐされ、「物事がどこから来るのか」がより明確に明らかになります。
ディラック場の電荷共役
電磁気学の法則(古典的および量子的の両方)は、それらの負の電荷との交換の下で不変です。両方とも基本的な粒子フェルミオン場である電子とクォークの場合、単一粒子場の励起はディラック方程式で記述されます。
(( 私 ∂ /− q A/− m ) ψ = 0 { 画像注釈(i { partial !!!{ big /}}-q {A !!!{ big /}}-m) psi = 0}
  電荷共役ソリューションを見つけたい
(( 私 ∂ /+ q A/− m ) ψ c = 0 { 画像注釈(i { partial !!!{ big /}} + q {A !!!{ big /}}-m) psi ^ {c} = 0}
  最初から2番目を取得するには、いくつかの代数操作で十分です。 ディラック方程式の標準的な説明は、共役場を示しています ψ ¯
=ψ † γ 0 { 画像注釈 { overline { psi}} = psi ^ { dagger} gamma ^ {0}、}

  反粒子場として解釈され、複素転置ディラック方程式を満たします ψ ¯
(( − 私 ∂
/− q A/− m ) = 0 { 画像注釈 { overline { psi}}(-i { partial !!!{ big /}}-q {A !!!{ big /}}-m)= 0 }
  すべてではありませんが、一部の標識が反転していることに注意してこれを再び転置すると、4×4の行列を見つけることができれば、ほぼ望ましい形になります。 C { 画像注釈 C}

 これは、ガンマ行列を転置して、必要な符号変更を挿入します。C γ μ C − 1 = −γ μ T { 画像注釈 C gamma _ { mu} C ^ {-1} =- gamma _ { mu} ^ { textsf {T}}}
  次に、電荷共役解は対合によって与えられますψ ↦ ψ c = η c Cψ ¯ T { 画像注釈 psi mapsto psi ^ {c} = eta _ {c} 、C { overline { psi}} ^ { textsf {T}}}
  4×4マトリックス
C { 画像注釈 C、}

 電荷共役行列と呼ばれ、ガンマ行列に関する記事に記載されている明示的な形式を持っています。不思議なことに、この形式は表現に依存しませんが、ガンマグループ(ガンマ行列の代数的特性をキャプチャするクリフォード代数のサブグループ)に対して選択された特定の行列表現に依存します。この行列は、荷電粒子のローレンツ共変を記述するスピングループの複雑化を含む微妙な相互作用のために表現に依存します。複素数 η c
{ 画像注釈 eta _ {c}}

  任意の位相因子です | ηc | = 1 { 画像注釈 | eta _ {c} | = 1、}

  一般的に
η c =
1.1。
{ 画像注釈 eta _ {c} = 1。}

電荷共役、キラリティー、ヘリシティ
キラリティーと電荷共役の相互作用は少し微妙であり、明瞭度が必要です。電荷共役は粒子のキラリティーを変えないとよく言われます。これは、反粒子が粒子の不在として解釈される、粒子の「穴理論」解釈で生じる違いであるフィールドには当てはまりません。これは以下に明確に示されています。
従来、
γ 5 { 画像注釈 gamma _ {5}}

 キラリティー演算子として使用されます。電荷共役の下で、それは次のように変化しますC γ 5 C − 1 = γ 5 T
{ 画像注釈 C gamma _ {5} C ^ {-1} = gamma _ {5} ^ { textsf {T}}}
  そしてかどうか
γ 5 T
{ 画像注釈 gamma _ {5} ^ { textsf {T}}}

  等しい
γ 5 { 画像注釈 gamma _ {5}}

 ガンマ行列の選択された表現に依存します。ディラックとカイラルベースでは、それがありますγ 5 T = γ 5 { 画像注釈 gamma _ {5} ^ { textsf {T}} = gamma _ {5}}

 、ながら
γ5 T = − γ 5 { 画像注釈 gamma _ {5} ^ { textsf {T}} =- gamma _ {5}}

 マヨラナベースで取得されます。実例を次に示します。
ワイルスピノール
質量のないディラックスピノル場の場合、キラリティーは正のエネルギー解のヘリシティに等しい(そして負のエネルギー解のヘリシティを引いた)。これは質量のないディラック方程式を次のように書くことで得られます。私 ∂ / ψ = 0 { 画像注釈 i partial !!!{ big /} psi = 0}
  掛ける
γ5 γ 0=− 私 γ 1 γ 2 γ 3
{ 画像注釈 gamma ^ {5} gamma ^ {0} = -i gamma ^ {1} gamma ^ {2} gamma ^ {3}}

  得る
ϵ私 j m σ 私 j ∂ mψ = γ 5 ∂ t ψ { 画像注釈 { epsilon _ {ij}} ^ {m} sigma ^ {ij} partial _ {m} psi = gamma _ {5} partial _ {t} psi}
  どこ
σ μ ν
=私 [ γμ γ
ν ] / 2 { 画像注釈 sigma ^ { mu nu} = i left [ gamma ^ { mu}、 gamma ^ { nu} right] / 2}

 は角運動量演算子であり、ϵ 私 j k { 画像注釈 epsilon _ {ijk}}

 は完全反対称テンソルです。これは、3Dスピン演算子を定義することにより、もう少し認識しやすい形にすることができます。 Σ m
≡ ϵ 私j m σ 私 j { 画像注釈 Sigma ^ {m} equiv { epsilon _ {ij}} ^ {m} sigma ^ {ij}、}

  平面波状態を取る ψ (( X) = e − 私 k ⋅X ψ (( k ) { 画像注釈 psi(x)= e ^ {-ik cdot x} psi(k)}

 、オンシェル制約を適用します。k ⋅ k = 0 { 画像注釈 k cdot k = 0}

  運動量を3D単位ベクトルに正規化します。k ^ 私=k 私 /k 0 { 画像注釈 { hat {k}} _ {i} = k_ {i} / k_ {0}}

  書く
(( Σ⋅ k ^ )ψ= γ 5 ψ { 画像注釈 left( Sigma cdot { hat {k}} right) psi = gamma _ {5} psi〜。}
  上記を検討すると、角運動量固有状態(ヘリシティ固有状態)はカイラル演算子の固有状態に対応すると結論付けられます。これにより、質量のないディラック場をワイルスピノールのペアにきれいに分割することができます
ψ L { 画像注釈 psi _ { text {L}}}

  そして ψ R { 画像注釈 psi _ { text {R}}、}

 それぞれが個別にWeyl方程式を満たしますが、エネルギーは反対です。
(( −
p 0 +σ ⋅ p → ) ψ R = 0 { 画像注釈 left(-p_ {0} + sigma cdot { vec {p}} right) psi _ { text {R}} = 0}
  そして
(( p 0 +σ ⋅ p → ) ψ L = 0 { 画像注釈 left(p_ {0} + sigma cdot { vec {p}} right) psi _ { text {L}} = 0}
  負のヘリシティを負のエネルギーと同一視しなければならない自由、したがって反粒子を反対のヘリシティの粒子と同一視しなければならないことに注意して明確にするために、 σ { 画像注釈 sigma}

 これがパウリ行列です、そして p μ
=私 ∂ μ { 画像注釈 p _ { mu} = i partial _ { mu}}

  運動量演算子です。
キラルベースの電荷共役
ガンマ行列のWeyl表現をとると、(現在は巨大であると見なされている)ディラックスピノルを次のように書くことができます。 ψ =
(( ψL ψ R ) { 画像注釈 psi = { begin {pmatrix} psi _ { text {L}} \ psi _ { text {R}} end {pmatrix}}}
  対応するデュアル(反粒子)フィールドは
ψ¯ T = (( ψ† γ 0 ) T = (( 0私 私 0 ) (( ψL ∗ ψ R ∗ ) = (( ψR ∗ ψ L ∗ ) { 画像注釈 { overline { psi}} ^ { textsf {T}} = left( psi ^ { dagger} gamma ^ {0} right)^ { textsf {T}} = { begin {pmatrix} 0&I \ I&0 end {pmatrix}} { begin {pmatrix} psi _ { text {L}} ^ {*} \ psi _ { text {R}} ^ {*} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} psi _ { text {R}} ^ {*} \ psi _ { text {L}} ^ {*} end {pmatrix}}}
  電荷共役スピノールはψ c = (( ψL c ψ R c ) = ηc C ψ ¯ T = η c
(( −私 σ 2 0 0 私 σ 2 ) (( ψR ∗ ψ L ∗ ) = η c (( −私 σ 2 ψ R ∗ 私 σ2 ψ L ∗ ) { 画像注釈 psi ^ {c} = { begin {pmatrix} psi _ { text {L}} ^ {c} \ psi _ { text {R}} ^ {c} end {pmatrix }} = eta _ {c} C { overline { psi}} ^ { textsf {T}} = eta _ {c} { begin {pmatrix} -i sigma ^ {2}&0 \ 0&i sigma ^ {2} end {pmatrix}} { begin {pmatrix} psi _ { text {R}} ^ {*} \ psi _ { text {L}} ^ {*} end {pmatrix}} = eta _ {c} { begin {pmatrix} -i sigma ^ {2} psi _ { text {R}} ^ {*} \ i sigma ^ {2} psi _ { text {L}} ^ {*} end {pmatrix}}}
  ここで、前と同じように
η c { 画像注釈 eta _ {c}}

  と見なすことができる位相因子です
η c =
1.1。
{ 画像注釈 eta _ {c} = 1。}

 左右の状態が入れ替わっていることに注意してこれは、パリティ変換で復元できます。パリティの下で、ディラックスピノルは次のように変換されます ψ (( t X → )
↦ ψ p
(( t X → )
=γ 0 ψ (( t −X → )
{ 画像注釈 psi left(t、{ vec {x}} right) mapsto psi ^ {p} left(t、{ vec {x}} right)= gamma ^ {0} psi left(t、-{ vec {x}} right)}
  電荷とパリティを組み合わせた場合、 ψ (( t X → )
↦ψ c p (( t X → ) = (( ψL c p (( t X
→)ψ R c p (( t X
→)) = η c (( −私 σ 2 ψ L ∗ (( t −X
→)私 σ 2 ψ R ∗ (( t −X
→) ) { 画像注釈 psi left(t、{ vec {x}} right) mapsto psi ^ {cp} left(t、{ vec {x}} right)= { begin {pmatrix} psi _ { text {L}} ^ {cp} left(t、{ vec {x}} right)\ psi _ { text {R}} ^ {cp} left(t、 { vec {x}} right) end {pmatrix}} = eta _ {c} { begin {pmatrix} -i sigma ^ {2} psi _ { text {L}} ^ {* } left(t、-{ vec {x}} right)\ i sigma ^ {2} psi _ { text {R}} ^ {*} left(t、-{ vec { x}} right) end {pmatrix}}}
  従来、
η c = 1 { 画像注釈 eta _ {c} = 1}

 グローバルに。ただし、以下の注を参照して
マジョラナ状態
マヨラナ条件フィールドと、それらが等しくなければならないこと、すなわち、その電荷結合体との間の制約を課します。ψ = ψ c { 画像注釈 psi = psi ^ {c}。}

  これはおそらく、マヨラナスピノールが電荷共役対合の固有状態でなければならないという要件として最もよく述べられています。
そのためには、表記上の注意が必要です。電荷共役、対合を議論する多くのテキストでψ ↦ ψ c { 画像注釈 psi mapsto psi ^ {c}}

 ディラック方程式の単一粒子解に適用される場合、明示的な記号名は与えられません。これは、ユニタリ作用素が議論される量子化フィールドが議論される場合とは対照的です。 C { 画像注釈 { mathcal {C}}}

 が定義されています(後のセクションで行うように)。現在のセクションでは、対合に次の名前を付けます。 C :ψ ↦ ψ c { 画像注釈 { mathsf {C}}: psi mapsto psi ^ {c}}

  そのため C ψ = ψ
c { 画像注釈 { mathsf {C}} psi = psi ^ {c}。}

 これを線形演算子とすると、その固有状態を考えることができます。Majorana条件は、そのようなものの1つを選び出します。 C ψ = ψ { 画像注釈 { mathsf {C}} psi = psi。}

  ただし、そのような固有状態は2つ C ψ
(( ±± ) =
±± ψ (( ±±
) { 画像注釈 { mathsf {C}} psi ^ {( pm)} = pm psi ^ {( pm)}。}

  上記のように、ワイル基底で続けると、これらの固有状態は ψ (( + ) =
(( ψL 私 σ 2 ψ L ∗ )
{ 画像注釈 psi ^ {(+)} = { begin {pmatrix} psi _ { text {L}} \ i sigma ^ {2} psi _ { text {L}} ^ {* } end {pmatrix}}}
  そして ψ (( − ) =
(( 私σ 2 ψ R ∗ ψ R )
{ 画像注釈 psi ^ {(-)} = { begin {pmatrix} i sigma ^ {2} psi _ { text {R}} ^ {*} \ psi _ { text {R} } end {pmatrix}}}
  マヨラナスピノールは、従来、正の固有状態、つまり ψ (( +
) { 画像注釈 psi ^ {(+)}。}

  キラル演算子
γ 5 { 画像注釈 gamma _ {5}}

  その中で、これら2つを交換しますγ 5 C = − C γ 5
{ 画像注釈 gamma _ {5} { mathsf {C}} =-{ mathsf {C}} gamma _ {5}}
  これは、直接置換によって簡単に確認できます。そのことを覚えておいてください C { 画像注釈 { mathsf {C}}}

  んではない持っている4×4行列表現を!より正確には、複素数をその複素共役にすることができる複素4×4行列はありません。この反転には、8×8の実数行列が必要です。電荷共役としての複素共役の物理的解釈は、以下の次のセクションで説明するスカラー場の複素共役を検討するときに明らかになります。
キラル固有状態へのプロジェクターは、次のように書くことができます。
P L =
(( 1 − γ
5 ) / 2 { 画像注釈 P _ { text {L}} = left(1- gamma _ {5} right)/ 2}

  そして
P R =
(( 1 + γ
5 ) /
2 { 画像注釈 P _ { text {R}} = left(1+ gamma _ {5} right)/ 2、}

  したがって、上記は次のように解釈されますP L C = C P R { 画像注釈 P _ { text {L}} { mathsf {C}} = { mathsf {C}} P _ { text {R}}〜。}
  これは、ディラック方程式の単一粒子の複素数値の解に適用された電荷共役が、解のキラリティーを反転させることを直接示しています。電荷共役固有空間へのプロジェクターは P (( + ) =
(( 1 + C) P L
{ 画像注釈 P ^ {(+)} =(1+ { mathsf {C}})P _ { text {L}}}

  そして P (( − ) =
(( 1 − C) P R { 画像注釈 P ^ {(-)} =(1-{ mathsf {C}})P _ { text {R}}。}

幾何学的解釈
位相因子
η c { 画像注釈 eta _ {c}}

 幾何学的な解釈を与えることができます。大規模なディラックスピノルの場合、「任意の」位相因子が注目されています。 η c
{ 画像注釈 eta _ {c}}

 運動量とヘリシティの両方に依存する可能性があります(ただし、キラリティーには依存しません)。これは、座標フレームのローカルな選択に応じて、この位相がスピノルバンドルのファイバーに沿って変化する可能性があることを示していると解釈できます。言い換えると、スピノル場はスピノルバンドルのローカルセクションであり、ローレンツブーストと回転は、対応するフレームバンドルのファイバーに沿った動きに対応します(ここでも、ローカル座標フレームの選択のみ)。このように調べると、この余分な位相の自由度は、電磁界から生じる位相として解釈できます。ためマヨラナスピノル、位相が昇圧して回転下で変化しないように制限されることになります。
量子化された場の電荷共役
上記は、単一粒子溶液のみの電荷共役について説明しています。場の量子論のように、ディラック場が第二量子化されると、スピノール場と電磁場は演算子によって記述されます。電荷共役対合は、ユニタリ作用素として現れます C { 画像注釈 { mathcal {C}}}

  として表される粒子場に作用する
ψ↦ ψ c = C ψ C †= η c C ψ ¯ T { 画像注釈 psi mapsto psi ^ {c} = { mathcal {C}} psi { mathcal {C}} ^ { dagger} = eta _ {c} 、C { overline { psi}} ^ { textsf {T}}}

 ψ ¯ ↦ ψ ¯ c = Cψ ¯ C † = η c ∗ψ T C − 1 { 画像注釈 { overline { psi}} mapsto { overline { psi}} ^ {c} = { mathcal {C}} { overline { psi}} { mathcal {C}} ^ { dagger} = eta _ {c} ^ {*} 、 psi ^ { textsf {T}} C ^ {-1}}

 A μ ↦ A μ c = CA μ C † = − A μ
{ 画像注釈 A _ { mu} mapsto A _ { mu} ^ {c} = { mathcal {C}} A _ { mu} { mathcal {C}} ^ { dagger} = -A _ { mu }}
  ここで非書道 C { 画像注釈 C}

  前に示したものと同じ4×4行列です。
電弱理論における電荷反転
電荷共役は粒子のキラリティーを変えません。左巻きのニュートリノは、電荷共役によって左巻きの反ニュートリノに取り込まれますが、これは標準模型では相互作用しません。この特性は、弱い相互作用におけるC対称性の「最大の違反」が意味するものです。
左右モデルのような標準モデルのいくつかの仮定された拡張は、このC対称性を復元します。
スカラー場
ディラック場には「隠された」ものがあります U (( 1 ) { 画像注釈 U(1)}

 ゲージ自由度。ディラック方程式や電磁界自体をさらに変更することなく、電磁界に直接結合できます。これは、電磁気学と結合するために明示的に「複雑化」されなければならないスカラー場には当てはまりません。これは、複素平面の追加要素を「テンソルイン」することによって行われます。 C { 画像注釈 mathbb {C}}

 フィールドに、またはデカルト積を構築する U (( 1 ) { 画像注釈 U(1)}

 。
非常に一般的な手法の1つは、2つの実数スカラー場から始めることです。 ϕ { 画像注釈 phi}

  そして χ { 画像注釈 chi}

  線形結合を作成しますψ = d e f ϕ + 私 χ 2
{ 画像注釈 psi { stackrel { mathrm {def}} {=}} { phi + i chi over { sqrt {2}}}}
  電荷共役の対合はマッピングです C :私 ↦ − 私 { 画像注釈 { mathsf {C}}:i mapsto -i}

 これは電磁ポテンシャルの符号を反転させるのに十分だからです(この複素数がそれに結合するために使用されているため)。実際のスカラー場の場合、電荷共役は単なる恒等写像です。 C :ϕ ↦ ϕ { 画像注釈 { mathsf {C}}: phi mapsto phi}

  そして C :χ ↦ χ { 画像注釈 { mathsf {C}}: chi mapsto chi}

  したがって、複雑なフィールドの場合、電荷共役は C :ψ ↦ ψ ∗ { 画像注釈 { mathsf {C}}: psi mapsto psi ^ {*}。}

  「mapsto」矢印 ↦ { 画像注釈 mapsto}

 「何がどこに行くのか」を追跡するのに便利です。同等の古い表記法は単に書くことです C ϕ = ϕ
{ 画像注釈 { mathsf {C}} phi = phi}

  そして C χ = χ
{ 画像注釈 { mathsf {C}} chi = chi}

  そして C ψ = ψ
∗ { 画像注釈 { mathsf {C}} psi = psi ^ {*}。}

上記は、荷電スカラー場の従来の構築について説明しています。他の方法でフィールドに追加の代数的構造を導入することも可能です。特に、次のように動作する「実際の」フィールドを定義できます。 C :ϕ ↦ − ϕ { 画像注釈 { mathsf {C}}: phi mapsto- phi}

 。それが現実であるように、それはそれ自体で電磁気学に結合することはできませんが、複雑になると、次のように変化する荷電場をもたらします C :ψ ↦ − ψ ∗ { 画像注釈 { mathsf {C}}: psi mapsto- psi ^ {*}。}

 C対称性は離散対称性であるため、特定の物理的現実を正しくモデル化する理論を探すために、これらの種類の代数ゲームを自由にプレイできます。
物理学の文献では、次のような変換 C :ϕ ↦ ϕ c= − ϕ
{ 画像注釈 { mathsf {C}}: phi mapsto phi ^ {c} =- phi}

 それ以上の説明なしに書かれるかもしれません。これの正式な数学的解釈は、フィールドが ϕ { 画像注釈 phi}

  の要素です R ×× Z 2
{ 画像注釈 mathbb {R} times mathbb {Z} _ {2}}

  どこ Z 2 = {{ + 1 − 1 } { 画像注釈 mathbb {Z} _ {2} = {+ 1、-1 }。}

  したがって、適切に言えば、フィールドは次のように記述する必要が ϕ =
(( r c ) { 画像注釈 phi =(r、c)}

  電荷共役の下で次のように動作します C :
(( r c ) ↦
(( r − c ) { 画像注釈 { mathsf {C}} 🙁 r、c) mapsto(r、-c)。}

 このマイナス記号の位置を移動するために、これらを単に乗算することは非常に魅力的ですが、正式には正しくありません。これはほとんど「正常に機能」しますが、適切に追跡できないと混乱を招きます。
電荷とパリティ反転の組み合わせ
しばらくの間、C対称性をパリティ反転変換(P対称性を参照)と組み合わせて、結合されたCP対称性を維持できると考えられていました。ただし、この対称性の違反は、弱い相互作用(特にK中間子とB中間子)で確認されています。標準模型では、このCP対称性の破れはCKM行列の単相によるものです。CPを時間反転(T対称性)と組み合わせると、結果として得られるCPT対称性は、普遍的に従うワイトマンの公理のみを使用して示すことができます。
一般的な設定
電荷共役のアナログは、Weyl-Brauer行列に関する記事に記載されているWeylスピノールの明示的な構成を使用して、高次元ガンマ行列に対して定義できます。ただし、クリフォード代数の表現論で抽象的に定義されているスピノールはフィールドではないことに注意してむしろ、それらはゼロ次元時空に存在すると考えられるべきです。
アナログT-対称性から、以下γ 1 γ 3 { 画像注釈 gamma ^ {1} gamma ^ {3}}

 ディラックスピノルのT共役演算子として。スピノールはまた、スピノールが構築されるクリフォード代数のすべての基底ベクトルの方向を逆にすることによって得られる固有のP対称性を持っています。時空多様体上のフェルミオン場のP対称性とT対称性との関係は少し微妙ですが、大まかに次のように特徴付けることができます。スピノールがクリフォード代数を介して構築される場合、構築には構築するベクトル空間が必要です。慣例により、このベクトル空間は、特定の固定時空点での時空多様体の接空間です(接線多様体の単一のファイバー)。時空多様体に適用されるPおよびT演算は、接空間の座標も反転するものとして理解できます。したがって、2つは一緒に接着されています。一方のパリティまたは時間の方向を反転すると、もう一方のパリティも反転します。これは慣例です。この接続の伝播に失敗すると、接着が解除される可能性が
これは次のように接線空間をとることにより行われるベクトル空間にそれを拡張テンソル代数、次いで使用内積を定義するベクトル空間上のクリフォード代数を。このような各代数をファイバーとして扱うと、クリフォード束と呼ばれるファイバーバンドルが得られます。接空間の基底変換の下で、クリフォード代数の要素はスピングループに従って変換されます。建物原則繊維束中の繊維の結果としてスピングループとのスピン構造。
上記の段落に欠けているのはスピノール自体だけです。これらには、接線多様体の「複素化」が必要です。つまり、複素平面でそれをテンソルします。これが完了すると、Weylスピノールを構築できます。これらは形をしていますw j = 12
(( e 2 j
− 私 e2 j + 1 ) { 画像注釈 w_ {j} = { frac {1} { sqrt {2}}} left(e_ {2j} -ie_ {2j + 1} right)}
  どこ
e j { 画像注釈 e_ {j}}

  ベクトル空間の基底ベクトルですV = T pM
{ 画像注釈 V = T_ {p} M}

 、点での接空間p ∈ M { 画像注釈 p in M}

  時空多様体で
M { 画像注釈 M.}

  ワイルスピノールは、それらの複素共役とともに、次の意味で接空間にまたがっています。V ⊗ C=W ⊕ W ¯ { 画像注釈 V otimes mathbb {C} = W oplus { overline {W}}}
  次数付き交代代 ∧ W
{ 画像注釈 wedge W}

 スピノール空間と呼ばれ、スピノールが生きていて、スピノールの生成物(したがって、ベクトルやテンソルを含む、より高いスピン値を持つオブジェクト)でした。
休憩を取って; このセクションでは、次のステートメントを拡張する必要が
スピン構造を構築する上での障害は、スティーフェル・ホイットニークラスc_2です。
複素共役は2つのスピノールを交換します
ディラック作用素は、ラプラシアンに対する正方形、つまりレヴィ・チヴィタ接続の正方形(およびスカラー曲率と直線束曲率)を定義できます。
直線束の曲率は明示的にF = dA ergoであり、E&Mでなければなりません。
も参照してください
Cパリティ
反粒子
反物質
真に中性粒子
ノート
^ ItzyksonおよびZuber、87ページ以降のセクション2-4-3を参照して ^ Itzykson and Zuber、(セクション2-4-2電荷共役、86ページ、式2-100を参照)。 ^ ビョルケンとドレル、(第15章を参照) ^ ItzyksonおよびZuber、(セクション3-4を参照)。 ^ この自由は明示的に削除され、マヨラナスピノールで制約されます。
参考文献
^ James D. Bjorken、Sidney D. Drell、(1964) “Relativistic Quantum Mechanics”、McGraw-Hill(第5.2章、66〜70ページを参照) ^ Claude Itzykson and Jean-Bernard Zuber、(1980)Quantum Field Theory、McGraw-Hill(第2-4章、85ページ以降を参照) ^ Peskin、ME; Schroeder、DV(1997)。場の量子論入門。アディソンウェスリー。ISBN  0-201-50397-2。
Sozzi、MS(2008)。離散対称性とCP対称性の破れ。オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-929666-8。

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カテゴリー: C