ダランベールの式

D’Alembert’s_formula

 「ダランベールの式」  
で数学、特に偏微分方程式(PDE類)、ダランベールの式は一次元の一般解である波動方程式
u t t
(( X t) = c 2 uXX
(( X t ) { 画像注釈 u_ {tt}(x、t)= c ^ {2} u_ {xx}(x、t)}
(添え字インデックスが偏微分を示す場合、ダランベール演算子を使用すると、PDEは次のようになります。 u = 0 { 画像注釈 Box u = 0} )。 解決策は、の初期条件によって異なります。t = 0 { 画像注釈 t = 0} : u
(( X 0 ) { 画像注釈 u(x、0)}
そして
u t (( X 0 ) { 画像注釈 u_ {t}(x、0)}
。初期条件の個別の用語で構成されています u (( X 0 ) { 画像注釈 u(x、0)}
そして
u t (( X 0 ) { 画像注釈 u_ {t}(x、0)} : u
(( X t) = 1 2 [ u (( X − c
t 0) + u (( X + c t 0 ) ] + 1 2 c ∫X − c
tX+ c t u t (( ξ 0 ) d
ξ { 画像注釈 u(x、t)= { frac {1} {2}} left [u(x-ct、0)+ u(x + ct、0) right] + { frac {1} {2c}} int _ {x-ct} ^ {x + ct} u_ {t}( xi、0)、d xi。}
これは、1747年に弦の振動の問題の解決策として導き出した数学者ジャン・ル・ロン・ダランベールにちなんで名付けられました。
内容 1 2 不均一な正準双曲型微分方程式の一般化
3 も参照してください
4 ノート
5 外部リンク
PDEの特徴は次のとおりです。X
±±c t = c o n s t
{ 画像注釈 x pm ct = mathrm {const} 、}

  (どこ ±± { 画像注釈 pm 、}

  符号は二次方程式の2つの解を示します)、変数変換を使用できます μ =X+ c t { 画像注釈 mu = x + ct 、}

  (ポジティブソリューションの場合)および η =X− c t { 画像注釈 eta = x-ct 、}

  (負の解の場合)偏微分方程式をに変換する
u μ η
= 0 { 画像注釈 u _ { mu eta} = 0 、}

 。この偏微分方程式の一般的な解決策は次のとおりです。 u (( μ η) = F (( μ) + G (( η ) { 画像注釈 u( mu、 eta)= F( mu)+ G( eta)、}

  どこ F { 画像注釈 F 、}

  そして G { 画像注釈 G 、}

  です
C 1 { 画像注釈 C ^ {1} 、}

 機能。戻るX t
{ 画像注釈 x、t 、}

  座標、 u (( X t) = F (( X+ c t ) + G (( X− c t ) { 画像注釈 u(x、t)= F(x + ct)+ G(x-ct)、}

  u { 画像注釈 u 、}

  です C 2
{ 画像注釈 C ^ {2} 、}

  もし F { 画像注釈 F 、}

  そして G { 画像注釈 G 、}

  です C 2
{ 画像注釈 C ^ {2} 、}

 。
このソリューション u { 画像注釈 u 、}

  一定速度の2つの波として解釈できます c { 画像注釈 c 、}

  x軸に沿って反対方向に移動します。
ここで、コーシーのデータを使用してこのソリューションを検討します u (( X 0) = g (( X
) u t (( X 0) = h (( X ) { 画像注釈 u(x、0)= g(x)、u_ {t}(x、0)= h(x)、}

 。
使用する u (( X 0) = g (( X ) { 画像注釈 u(x、0)= g(x)、}

  我々が得る F (( X) + G (( X) = g (( X ) { 画像注釈 F(x)+ G(x)= g(x)、}

 。
使用する
u t (( X 0) = h (( X ) { 画像注釈 u_ {t}(x、0)= h(x)、}

  我々が得るc F ′ (( X) − c G ′ (( X) = h (( X ) { 画像注釈 cF ‘(x)-cG’(x)= h(x)、}

 。
最後の方程式を統合して、 c F
(( X) − c G (( X) = ∫ − ∞X h (( ξ) d ξ + c 1 { 画像注釈 cF(x)-cG(x)= int _ {- infty} ^ {x} h( xi)、d xi + c_ {1}。、}
  これで、この連立方程式を解いて次のようになります。 F (( X) = − 12 c (( − c g
(( X ) −
(( ∫ − ∞
X h (( ξ ) dξ + c 1 ) ) { 画像注釈 F(x)= { frac {-1} {2c}} left(-cg(x)- left( int _ {- infty} ^ {x} h( xi)、 d xi + c_ {1} right) right)、}

  G (( X) = − 12 c (( − c g
(( X ) +
(( ∫ − ∞
X h (( ξ) d ξ + c 1 ) ) { 画像注釈 G(x)= { frac {-1} {2c}} left(-cg(x)+ left( int _ {- infty} ^ {x} h( xi)d xi + c_ {1} right) right)。、}
  今、を使用して u (( X t) = F (( X+ c t ) + G (( X− c t ) { 画像注釈 u(x、t)= F(x + ct)+ G(x-ct)、}
  ダランベールの式は次のようになります。 u (( X t) = 1 2 [ g (( X− c t ) + g (( X+ c t ) ]+ 1 2 c ∫X − c
tX+ c t h (( ξ ) d
ξ { 画像注釈 u(x、t)= { frac {1} {2}} left [g(x-ct)+ g(x + ct) right] + { frac {1} {2c}} int _ {x-ct} ^ {x + ct} h( xi)、d xi。}
  不均一な正準双曲型微分方程式の一般化
不均一な正準双曲線型微分方程式の一般的な形式は、次の形式を取ります。u t t− c 2 uXX = f (( X t
) u
(( X 0) = g (( X
) u t (( X 0) = h (( X
) { 画像注釈 u_ {tt} -c ^ {2} u_ {xx} = f(x、t)、、u(x、0)= g(x)、、u_ {t}(x、0) = h(x)、}

ために − ∞ ∞ t >> 0 f∈ C 2(( R 2 R )
{ 画像注釈- infty 0、f in C ^ {2}( mathbb {R} ^ {2}、 mathbb {R})}

  )、不均一なものははるかに一般的ですが、 f (( X t ) { 画像注釈 f(x、t)}

 それが連続的であり、2回連続的に区別できる限り、任意の関数である可能性が
上記の方程式の解は次の式で与えられます。 u (( X t) = 1 2((g
(( X+ c t ) + g (( X− c t ) )+1 2 c∫X − c
tX+ c th
(( s) d s + c 2 ∫ 0 t ∫X − c
(( t − τ )X + c (( t− τ )f
(( s τ) d s d τ { 画像注釈 u(x、t)= { frac {1} {2}} { Bigl(} g(x + ct)+ g(x-ct){ biggr)} + { frac {1} {2c}} int limits _ {x-ct} ^ {x + ct} h(s)、{ text {d}} s + { frac {c} {2}} int limits _ { 0} ^ {t} int limits _ {xc(t- tau)} ^ {x + c(t- tau)} f(s、 tau)、{ text {d}} s { text {d}} tau}

 。
場合 g (( X) = 0 { 画像注釈 g(x)= 0}

 、最初の部分が消える場合 h (( X) = 0 { 画像注釈 h(x)= 0}

 、2番目の部分が消え、 f (( X) = 0 { 画像注釈 f(x)= 0}

 、任意の2つの境界間で0関数を積分すると、常に0になるため、3番目の部分は解から消えます。
も参照してください
ダランベール演算子
力学的波
波動方程式
ノート
^ D’Alembert(1747) “Recherches sur la courbe queformeunecordetenduëmiseenvibration”(緊張したコードが振動に設定されたときに形成される曲線の研究)、 Histoiredel’académieroyaledessciences et belles lettres de Berlin、vol。3、214〜219ページ。参照:D’Alembert(1747)「Suitedes recherches sur la courbe queformeunecordetenduëmiseenvibration」(緊張したコードが振動するときに形成される曲線に関するさらなる研究)、 Histoiredel’académieroyale des sciences et belles lettres de Berlin、vol。3、220〜249ページ。参照:D’Alembert(1750)「Additionaumémoiresurlacourbe que formeunecordetenduëmiseenvibration」、 Histoiredel’académieroyaledesscienceset belles lettres de Berlin、vol。6、ページ355-360。 ^ ピンチオーバー、ルビンスタイン(2013)。部分微分方程式の紹介(8回目の印刷)。ケンブリッジ大学出版局。pp。76–92。ISBN 978-0-521-84886-2。
外部リンク
www.exampleproblems.comからの不均一な波動方程式を解く例
https://www.knowledgeablegroup.com/2020/09/equations%20change%20world.html

投稿日:
カテゴリー: D