ダランベールの原理

D’Alembert’s_principle
ダランベールの式や
ダランベール演算子
と混同しないでください ダランベールの原理は、ラグランジュ-ダランベールの原理としても知られ、基本的な古典的な運動の法則のステートメントです。発見者であるフランスの 物理学者で数学者の ジャン・ル・ロン・ダランベールにちなんで名付けられました。それはの拡張である仮想仕事の原理から静的に動的システム。ダランベールは、合計システムに作用する力分離する慣性力(の運動に起因する非慣性基準フレーム今として知られている、架空の力)と感動を(他のすべての力)。ダランベールの原理はさまざまな方法で定式化されていますが、本質的には、慣性力に加えられた力が加わった場合、力のシステムは平衡状態にあることを意味します。この原理は、滑り摩擦などの不可逆的な変位には適用されず、不可逆性のより一般的な仕様が必要です。ダランベールの原理は、座標と時間のみに依存し、速度には依存しないホロノミック制約に制限されないため、ハミルトンの原理よりも一般的です。
ジャン・ル・ロン・ダランベールによる
ダイナミクの裏切り、1743年。その中で、フランスの学者は、「ダランベールの原理」としても知られる、運動量の原理を発表しました。
ジャン・ダランベール(1717–1783)
内容
1 原則の声明
2 派生
2.1 可変質量の一般的なケース 2.2 一定質量の特殊なケース
3 ダランベールの慣性力の原理
4 動的平衡
5 参考文献
原則の声明
原則状態間の差の合計こと力塊状粒子の系に作用し、時間誘導体の運動量任意上自体が投影システムの仮想変位システムの制約と一致はゼロです。したがって、数学表記では、ダランベールの原理は次のように記述されます。 ∑ 私
(( F私 − m 私 v ˙ 私 −m ˙ 私 v 私 ) ⋅ δr 私 = 0 { 画像注釈 sum _ {i}( mathbf {F} _ {i} -m_ {i} { dot { mathbf {v}}} _ {i}-{ dot {m}} _ {i } mathbf {v} _ {i}) cdot delta mathbf {r} _ {i} = 0、}
  どこ : 私 { 画像注釈 i}

システム内の特定の粒子に対応する変数を(下付き文字で)示すために使用される整数です。 F 私
{ 画像注釈 mathbf {F} _ {i}}

に加えられた力(拘束力を除く)の合計です。 私 { 画像注釈 i}

 -番目の粒子、
m 私 { 画像注釈 m_ {i} scriptstyle}

の質量です 私 { 画像注釈 i}

 -番目の粒子、 v 私
{ 画像注釈 mathbf {v} _ {i}}

の速度です 私 { 画像注釈 i}

 -番目の粒子、
δ r 私
{ 画像注釈 delta mathbf {r} _ {i}}

の仮想変位です 私 { 画像注釈 i}

 -制約と一致するth番目のパーティクル。
ニュートンのドット表記は、時間に関する導関数を表すために使用されます。この上記の方程式は、しばしばダランベールの原理と呼ばれますが、最初はジョセフ・ルイ・ラグランジュによってこの変分形式で書かれました。ダランベールの貢献は、動的システム全体で拘束力が消滅することを実証することでした。つまり、一般化された力 Q j
{ 画像注釈 { mathbf {Q}} _ {j}}

 拘束力を含める必要はありません。これは、やや面倒なガウスの最小制約の原則に相当します。
派生
可変質量の一般的なケース
ダランベールの原理の一般的な声明は「時間言及デリバティブの運動量システムのを。」ニュートンの第2法則により、運動量の最初の導関数は力です。の勢い 私 { 画像注釈 i}

 -番目の質量は、その質量と速度の積です。p 私 = m 私 v 私 { 画像注釈 mathbf {p} _ {i} = m_ {i} mathbf {v} _ {i}}
  そしてその時間微分はp ˙ 私 = m ˙ 私 v私 + m 私 v ˙ 私 { 画像注釈 { dot { mathbf {p}}} _ {i} = { dot {m}} _ {i} mathbf {v} _ {i} + m_ {i} { dot { mathbf {v}}} _ {i}}

 。
多くのアプリケーションでは、質量は一定であり、この方程式は次のようになります。p ˙ 私 = m 私 v ˙私 = m 私 A 私 { 画像注釈 { dot { mathbf {p}}} _ {i} = m_ {i} { dot { mathbf {v}}} _ {i} = m_ {i} mathbf {a} _ {私}}

 、
これは上記の式に表示されます。ただし、一部のアプリケーションでは、質量の変更が必要になります(たとえば、チェーンが巻き上げられたり、展開されたりします)。その場合、両方の用語が使用されます。m ˙ 私v 私 { 画像注釈 { dot {m}} _ {i} mathbf {v} _ {i}}

  そして
m 私 v ˙ 私
{ 画像注釈 m_ {i} { dot { mathbf {v}}} _ {i}}

  存在し続ける必要があります ∑ 私
(( F私 − m 私 A 私 − m˙ 私 v 私 ) ⋅ δ r 私 = 0。 { 画像注釈 sum _ {i}( mathbf {F} _ {i} -m_ {i} mathbf {a} _ {i}-{ dot {m}} _ {i} mathbf {v} _ {i}) cdot delta mathbf {r} _ {i} = 0。}
  一定質量の特殊なケース
一定の質量の粒子のシステムに関するニュートンの法則を考えてみましょう。 私 { 画像注釈 i}

 。各粒子にかかる力の合計はです。 F 私
(( T) = m 私 A 私 { 画像注釈 mathbf {F} _ {i} ^ {(T)} = m_ {i} mathbf {a} _ {i}、}
  どこ F 私
(( T ) { 画像注釈 mathbf {F} _ {i} ^ {(T)}}

システムの粒子に作用する力の合計です。
m 私 A 私 { 画像注釈 m_ {i} mathbf {a} _ {i}}

  
総力から生じる慣性力です。
慣性力を左に動かすと、準静的平衡を表すと見なすことができる式が得られますが、これは実際にはニュートンの法則の小さな代数的操作にすぎません。 F 私
(( T) − m 私 A 私 = 0 { 画像注釈 mathbf {F} _ {i} ^ {(T)}-m_ {i} mathbf {a} _ {i} = mathbf {0}。}
  仮想仕事を考えると、 δ W
{ 画像注釈 delta W}

 、任意の仮想変位を介して合計力と慣性力が一緒に行われ、δ r 私 { 画像注釈 delta mathbf {r} _ {i}}

 関係する力の合計が各粒子でゼロになるため、システムの、は単位元がゼロになります。δ W = ∑ 私 F 私 (( T) ⋅ δ r 私 − ∑ 私m 私 A 私 ⋅ δ r 私 = 0
{ 画像注釈 delta W = sum _ {i} mathbf {F} _ {i} ^ {(T)} cdot delta mathbf {r} _ {i}- sum _ {i} m_ { i} mathbf {a} _ {i} cdot delta mathbf {r} _ {i} = 0}
  元のベクトル方程式は、作業式が任意の変位に対して保持される必要があることを認識することによって復元できます。全力を加えられた力に分離し、 F 私
{ 画像注釈 mathbf {F} _ {i}}

 、および拘束力、 C 私
{ 画像注釈 mathbf {C} _ {i}}

 、収量δ W = ∑ 私 F 私 ⋅δ r 私 + ∑ 私 C 私⋅ δ r 私 − ∑ 私 m私 A 私 ⋅ δ r 私 = 0。 { 画像注釈 delta W = sum _ {i} mathbf {F} _ {i} cdot delta mathbf {r} _ {i} + sum _ {i} mathbf {C} _ {i } cdot delta mathbf {r} _ {i}- sum _ {i} m_ {i} mathbf {a} _ {i} cdot delta mathbf {r} _ {i} = 0。 }
  任意の仮想変位が拘束力に直交する方向にあると想定される場合(通常はそうではないため、この導出は特殊な場合にのみ機能します)、拘束力は機能しません。
∑ 私 C 私 ⋅δ r 私= 0 { 画像注釈 sum _ {i} mathbf {C} _ {i} cdot delta mathbf {r} _ {i} = 0}

 。このような変位は、制約と一致していると言われます。これは、動的システムに加えられた力と慣性力の差が仮想仕事を行わないことを示すダランベールの原理の定式化につながります。δ W = ∑ 私 (( F私 − m 私 A 私 ) ⋅δ r 私 = 0。
{ 画像注釈 delta W = sum _ {i}( mathbf {F} _ {i} -m_ {i} mathbf {a} _ {i}) cdot delta mathbf {r} _ {i } = 0。}
  加えられた力の仮想仕事の原理と呼ばれる静的システムに対応する原理も
ダランベールの慣性力の原理
D’Alembertは、いわゆる「慣性力」と「慣性トルク」またはモーメントを追加することにより、加速する剛体を同等の静的システムに変換できることを示しました。慣性力は重心を介して作用する必要があり、慣性トルクはどこにでも作用できます。このシステムは、この「慣性力とモーメント」と外力を受ける静的システムとまったく同じように分析できます。利点は、同等の静的システムでは、(重心だけでなく)任意の点についてモーメントをとることができることです。これにより、モーメント方程式を適用する適切なポイントを選択することで、モーメント方程式から力を(順番に)排除できるため、計算が簡単になることがよくあります(モーメントの合計=ゼロ)。機械のダイナミクスと運動学の基礎の過程でさえ、この原理は、メカニズムが動いているときにメカニズムのリンクに作用する力を分析するのに役立ちます。工学力学の教科書では、これはダランベールの原理と呼ばれることも
動的平衡
ダランベールの仮想仕事の原理の形式は、適用された力と慣性力の合計の仮想仕事がシステムの仮想変位に対してゼロである場合、剛体のシステムは動的平衡にあると述べています。したがって、m個の一般化座標を持つn個の剛体のシステムの動的平衡は、δ W = (( Q1 + Q 1 ∗ ) δ q1 + … + (( Qm + Q m ∗ ) δ q m =
0 { 画像注釈 delta W =(Q_ {1} + Q_ {1} ^ {*}) delta q_ {1} + ldots +(Q_ {m} + Q_ {m} ^ {*}) delta q_ {m} = 0、}
  仮想変位の任意のセットに対してδ q j { 画像注釈 delta q_ {j}}

 。この条件により、m個の方程式が得られます。Q j + Q j ∗ = 0 j = 1 … m { 画像注釈 Q_ {j} + Q_ {j} ^ {*} = 0、 quad j = 1、 ldots、m、}
  これは次のように書くこともできます d dt ∂ T∂q ˙ j − ∂ T∂q j = Q j j = 1 … m { 画像注釈 { frac {d} {dt}} { frac { partial T} { partial { dot {q}} _ {j}}}-{ frac { partial T} { partial q_ {j}}} = Q_ {j}、 quad j = 1、 ldots、m。}
  結果は、剛体システムのダイナミクスを定義するm個の運動方程式のセットです。
参考文献
^ Cornelius Lanczos(1970)。p。90。ISBN 978-0-486-65067-8。
^ Udwadia、FE; カラバ、RE(2002)。「分析ダイナミクスの基礎について」(PDF)。国際 旅する。非線形力学。37(6):1079-1090。Bibcode:2002IJNLM..37.1079U。CiteSeerX 10.1.1.174.5726。土井:10.1016 / S0020-7462(01)00033-6。2010年6月13日にオリジナル(PDF)からアーカイブされました。   ^ ランチョス、コルネリウス(1970)。力学の変分原理(第4版)。ニューヨーク:Dover PublicationsInc.p。92. ISBN
 978-0-486-65067-8。
^ Arnold Sommerfeld(1956)、 Mechanics:Lectures on Theoretical Physics、Vol 1、p。53
^ a b c d e Torby、ブルース(1984)。「エネルギー法」。エンジニアのための高度なダイナミクス。機械工学のHRWシリーズ。アメリカ合衆国:CBSカレッジパブリッシング。ISBN
 978-0-03-063366-9。
^ Jong、Ing-Chang(2005)。「材料力学の改善」。静力学における学生の仕事と仮想仕事の方法の指導:実例を用いた指導戦略。2005年米国工学教育協会年次会議および博覧会。

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