効果代数 – 日本語百科事典辞書

Effect_algebra
効果代数は、量子力学で観察できるイベントの（部分的な）代数的特性を抽象化する偏代数です。効果代数に相当する構造は、1980年代後半から1990年代初頭にかけて、理論物理学または数学の3つの異なる研究グループによって導入されました。それ以来、それらの数学的特性と物理的および計算上の重要性は、理論物理学、数学、およびコンピューターサイエンスの研究者によって研究されてきました。

コンテンツ
1 歴史2 動機 3 意味
4 プロパティ
4.1 注文プロパティ
5 例
5.1 整形外科 5.2 MV-代数 5.3 単一のC *-代数の効果のセット
6 効果代数の種類
7 射
7.1 正の演算子値の測定値
8 参考文献
9 外部リンク

歴史
1989年、GiuntiniとGreulingは、不鮮明な特性を研究するための構造を導入しました。これは、発生する確率が厳密に0から1の間である（したがって、どちらか一方のイベントではない）量子イベントを意味します。 1994年、ChovanecとKôpkaは、半順序演算を使用した半順序集合としてD-ポーズを導入しました。同じ年に、Bennet and FoulisEffect代数と不鮮明な量子論理による論文が発表されました。効果代数という用語を最初に使用したのはこの最後の論文でしたが、 3つの構造すべてが同等であることが示されました。 D-半順序集合と効果代数のカテゴリーの同型の証明は、例えばDvurecenskijとPulmannovaによって与えられます。

動機
量子力学への運用アプローチは、物理システムの構成概念として、観察可能な（実験的な）結果のセットを取ります。つまり、物理システムは、発生する可能性のあるイベントの集合と見なされ、現実に測定可能な影響を及ぼします。このようなイベントはエフェクトと呼ばれます。この視点は、システムを説明する数学的構造にすでにいくつかの制約を課しています。各効果に確率を関連付けることができる必要が
ヒルベルト空間形式では、効果は、次の半順序で恒等演算子の下にある正の半確定自己随伴作用素に対応します。A ≤ B
{ A leq B}
${$
場合に限りB − A
{ BA}

正の半確定です。正の半確定であるという条件は、期待値が非負であることを保証し、恒等演算子を下回ると確率が得られます。これで、ヒルベルト空間効果に対して2つの操作を定義できます。A ′
：=I − A
{ A ‘：= IA}

とA + B
{ A + B}

もしもA + B ≤ I
{ A + B leq I}

、どこ I { I}

恒等演算子を示します。ご了承くださいA ′
{ A ‘}

正の半確定以下です I { I}

以来 A { A}

したがって、常に定義されます。人は考えることができますA ′
{ A ‘}

の否定として A { A}

。その間A + B
{ A + B}

は常に正の半確定であり、すべてのペアに対して定義されているわけではありません。合計が同一性を下回っている効果のペアの定義域を制限する必要がこのようなペアは直交と呼ばれます。直交性は、オブザーバブルの同時測定可能性を反映しています。

意味
効果代数は、集合からなる偏代数です。 E { E}

、定数 0 { 0}

と 1 { 1}

の E { E}

、総単項演算′ ： E E
{ ‘：E rightarrow E}

、バイナリ関係⊥ ⊆ E
×× E { bot subseteq E times E}

、および二項演算⊕ ： ⊥ E
{ oplus： bot rightarrow E}

、以下がすべてに当てはまるように
a b c∈ E
{ a、b、c in E}

：
可換性：ifa ⊥ b
{ a perp b}

、それからb ⊥ a
{ b perp a}
と a ⊕ b =b ⊕ a
{ a oplus b = b oplus a}

、
結合性：ifa ⊥ b
{ a perp b}

と（（ a⊕ b
）。⊥ c
{（a oplus b） perp c}

、それからb ⊥ c
{ b perp c}
と a ⊥（（ b⊕ c ）。 { a perp（b oplus c）}

としても（（ a⊕ b
）。⊕ c = a ⊕（（ b⊕ c
）。 {（a oplus b） oplus c = a oplus（b oplus c）、}
オルソサプリメント：a ⊥ a ′
{ a perp a ‘}
と a ⊕ a ′ 1 { a oplus a ‘= 1}

、で、もしa ⊥ b
{ a perp b}

そのようなa ⊕ b = 1
{ a oplus b = 1}

、それからb = a ′
{ b = a ‘}

、
ゼロワン法則：ifa ⊥ 1
{ a perp 1}

、それからa = 0
{ a = 0}

。
単項演算 ′ { ‘}

オルソサプリメントと呼ばれ、a ′
{ a ‘}

のオルソサプリメント a { a}

。定義域 ⊥ { bot}

の ⊕ { oplus}

の直交関係と呼ばれます E { E}

、とa b ∈ E
{ a、b in E}

直交と呼ばれるのは、a ⊥ b
{ a perp b}

。操作 ⊕ { oplus}

直交和または単に和と呼ばれます。

プロパティ
以下は、任意の要素に対して表示できます a b { a、b}

と c { c}

効果代数のa ⊥ b c
{ a perp b、c}

：a ″= a { a ” = a}
、 0 ′ 1 { 0 ‘= 1}
、 a ⊥ 0
{ a perp 0}

、とa ⊕ 0 = a
{ a oplus 0 = a}
、 a ⊕ b = 0 { a oplus b = 0}

示すa = b = 0
{ a = b = 0}
、 a ⊕ b =a ⊕ c
{ a oplus b = a oplus c}

示すb = c
{ b = c}

。

注文プロパティ
すべての効果代数 E { E}

次のように半順序です。a ≤ b
{ a leq b}

ある場合にのみc ∈ E
{ c in E}

そのようなa ⊥ c
{ a perp c}

とa ⊕ c = b
{ a oplus c = b}

。この半順序は以下を満たします。
a≤ b
{ a leq b}

場合に限り
b ′ ≤a ′
{ b ‘ leq a’}
、 a ⊥ b
{ a perp b}

場合に限りa ≤ b ′
{ a leq b ‘}

。

例

整形外科
効果代数の定義の最後の公理が次のように置き換えられた場合：
もしもa ⊥ a
{ a perp a}

、それからa = 0
{ a = 0}

、
オルソ代数の定義を取得します。この公理は、（他の公理が存在する場合の）効果代数の最後の公理を意味するため、すべてのオルソ代数は効果代数です。オルソ代数（したがって効果代数）の例には、次のものが
オルソサプリメントとして否定を持ち、和として互いに素な要素に制限された結合を持つブール代数
オルソモジュラー半順序集合、
オルソモジュラーラティス、
オルソ補足としての補完と、和としての互いに素な要素に制限された和集合を持つσ代数
オルソサプリメントを使用したヒルベルト空間射影と、ヒルベルト空間効果の場合と同様に定義された合計。

MV-代数
すべてのMV代数は、単項演算をオルソ補足として、二項演算を合計として直交要素に制限した効果代数です（ただし、一般に、オルソ代数ではありません）。MV代数のコンテキストでは、要素のペアの直交性 a b { a、b}

と定義されているa ′ ⊕ b ′= 1
{ a ‘ oplus b’ = 1}

。これは、MV代数を効果代数と見なした場合の直交性と一致します。
MV代数の重要な例は、単位区間です。
[ 0 1 ] { }

操作付きa ′ = 1 − a { a ‘= 1-a}

とa ⊕ b =
最大（（ a+ b 1 ）。 { a oplus b = max（a + b、1）}

。効果代数として見ると、単位区間の2つの要素は、次の場合にのみ直交します。a + b ≤ 1
{ a + b leq 1}

その後a ⊕ b = a+ b
{ a oplus b = a + b}

。

単一のC *-代数の効果のセット
ヒルベルト空間効果の動機付けの例を少し一般化して、単位的多元環に対する一連の効果を取り上げます。 A { { mathfrak {A}}}

、すなわち要素a ∈ A
{ a in { mathfrak {A}}}

満足0 ≤ a ≤ 1
{ 0 leq a leq 1}

。の加算演算a b ∈
[ 0 1] A
{ a、b in _ { mathfrak {A}}}

が定義されるときa + b ≤ 1
{ a + b leq 1}

その後a ⊕ b = a+ b
{ a oplus b = a + b}

。オルソサプリメントはによって与えられますa ′ = 1 − a { a ‘= 1-a}

。

効果代数の種類
研究されてきた効果代数にはさまざまな種類が
区間として発生する区間効果代数
[ 0 u] G
{ _ {G}}

いくつかの順序付けられたアーベル群の G { G}

。
凸効果代数には、実単位区間の作用があります
[ 0 1 ] { }

代数について。Gudderの表現定理は、これらすべてが実際の順序ベクトル空間の区間効果代数として発生することを示しています。
秩序構造が格子を形成する格子効果代数。
Riesz分解特性を満たす効果代数： MV代数は、正確にはRiesz分解特性を持つ格子効果代数です。
シーケンシャル効果代数には、 C *-代数でLüders積をモデル化する追加のシーケンシャル積演算が
効果モノイドは、効果代数のカテゴリーのモノイドです。これらは、追加の結合法則の分配法則の乗算演算を持つ効果代数です。

射
効果代数からの射 E { E}

効果代数に F { F}

関数によって与えられますf ： E F
{ f：E rightarrow F}

そのような f （（ 1
）。= 1
{ f（1）= 1}

そしてすべてのためにa b ∈ E
{ a、b in E}
a ⊥ b
{ a perp b}

示す f （（ a
）。⊥ f（（ b ）。 { f（a） perp f（b）}
と f（（ a⊕ b
）。= f（（ a
）。⊕ f（（ b ）。 { f（a oplus b）= f（a） oplus f（b）}

。
その結果、射はオルソサプリメントを保存します。
このような射を備えた効果代数は、次の特性を持つカテゴリを形成します。
ブール代数のカテゴリは、効果代数のカテゴリの完全なサブカテゴリです。
すべての効果代数は、有限ブール代数の極限です。

正の演算子値の測定値
量子論の概念を表現するために効果代数がどのように使用されるかの例として、正の演算子値測度の定義は、次のように効果代数射の観点からキャストすることができます。させて E （（ H ）。 { { mathcal {E}}（H）}

ヒルベルト空間の効果の代数になる H { H}

、そして Σ { Sigma}

σ代数である。正の演算子値測度（POVM）は、効果代数射です。Σ E （ H ）。
{ Sigma rightarrow { mathcal {E}}（H）}

可算チェーンの結合を保持します。POVMは、その画像がヒルベルト空間上の射影のオルソ代数に含まれている場合の正確な射影値測度です。 H { H}

。

参考文献
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外部リンク
nLabの効果代数”