Effective_action
場の量子論では、量子有効作用は、最小作用の原理が適用されることを保証しながら、量子補正を考慮した古典的作用の修正された式です。つまり、有効作用を極限化すると、場の量子論。有効作用は、1粒子の既約相関関数の母関数としても機能します。効果的な行動の潜在的な要素は、効果的な可能性と呼ばれます、真の真空の期待値は古典的なポテンシャルではなくこのポテンシャルの最小値であるため、自発的対称性の破れを研究するために重要になります。
これは、1962年にジェフリーゴールドストーンとスティーブンワインバーグによって最初に摂動的に定義され、1963年にブライスドウィットによって、1964年にジョヴァンニヨナラシニオによって独立して導入されました。
、単一のスカラー場に対する効果的なアクションについて説明していますが、複数のスカラー場またはフェルミオン場に対しても同様の結果が存在します。
コンテンツ
1 汎関数の生成
2 効果的なアクションを計算する方法
3 対称性
4 凸性
5 も参照してください
6 参考文献
7 参考文献
汎関数の生成
これらの生成汎関数は、統計力学や情報理論にも応用できますが、 I { i}
規約に署名します。
アクションを伴う場の量子論 S [ ϕ ] { S }
分配関数を使用した経路積分形式で完全に記述できます Z [ J] = ∫ D
φφe I S
[ φφ] + I ∫ d4
φφ（（ X
）。 J （（ X
）。 { Z = int { mathcal {D}} varphi e ^ {iS + i int d ^ {4} x varphi（x）J（x）}。}
これは、古典的な外部電流の存在下での真空から真空への遷移に対応するためです。 J （（ X ）。 { J（x）}
、接続および切断されたすべてのファインマン図の合計として摂動的に評価できます。また、相関関数の母関数でもあります⟨ ϕ ^（（ X 1 ）。… ϕ ^（（ X n ）。⟩ =（（ − I ）。 n1 [ J] δ
n Z [ J ] δ J （（ X 1 ）。… δ J（（ X n ）。| J =
0 { langle { hat { phi}}（x_ {1}） dots { hat { phi}}（x_ {n}） rangle =（-i）^ {n} { frac { 1} {Z }} { frac { delta ^ {n} Z } { delta J（x_ {1}） dots delta J（x_ {n}）}} { bigg |} _ {J = 0}、}
ここで、スカラー場演算子は次のように表されます。ϕ ^（（ X ）。 { { hat { phi}}（x）}
。別の有用な母関数を定義できます W [ J] = − I ln Z [ J ] { W = -i ln Z }
接続された相関関数の生成を担当⟨ ϕ ^（（ X 1 ）。⋯ ϕ ^（（ X n ）。⟩ 欺 =（（ − I ）。n − 1 δ
n W [ J ] δ J （（ X 1 ）。… δ J（（ X n ）。| J =
0 { langle { hat { phi}}（x_ {1}） cdots { hat { phi}}（x_ {n}） rangle _ { text {con}} =（-i）
^ {n-1} { frac { delta ^ {n} W } { delta J（x_ {1}） dots delta J（x_ {n}）}} { bigg |} _ {J = 0}、}
これは、接続されているすべての図の合計として摂動的に計算されます。ここで接続されているのは、クラスター分解定理の意味で解釈されます。つまり、相関関数は、大きな空間のような分離でゼロに近づきます。一般的な相関関数は、接続された相関関数の積の合計として常に記述できます。
量子有効作用は、ルジャンドル変換を使用して定義されます。 W [ J ] { W }
Γ [ ϕ] = W
[ Jϕ ] − ∫ d4X J ϕ（（ X
）。 ϕ （（ X
）。 { Gamma = W – int d ^ {4} xJ _ { phi}（x） phi（x）、}
どこJ ϕ
{ J _ { phi}}
スカラー場が期待値を持つソース電流です ϕ （（ X ）。 { phi（x）}
、しばしば古典場と呼ばれ、の解として暗黙的に定義されます
1粒子既約ではない図の例。
1粒子の既約である図の例。 ϕ （（ X
）。= ⟨ ϕ ^（（ X
）。 ⟩ J= δ W
[ J ] δ J （（ X
）。 { phi（x）= langle { hat { phi}}（x） rangle _ {J} = { frac { delta W } { delta J（x）}}。 }
期待値として、古典場は、電流が存在する場合の量子ゆらぎの加重平均と考えることができます。 J （（ X ）。 { J（x）}
スカラー場を調達します。に関するルジャンドル変換の汎関数微分を取る ϕ （（ X ）。 { phi（x）}
収量J ϕ（（ X
）。= − δ Γ
[ ϕ ] δ ϕ （（ X
）。 { J _ { phi}（x）=-{ frac { delta Gamma } { delta phi（x）}}。}
ソースがない場合J ϕ（（ X
）。= 0
{ J _ { phi}（x）= 0}
、上記は、場の真空期待値が古典的作用ではなく量子有効作用を極限化することを示しています。これは、完全な場の量子論における最小作用の原理にすぎません。場の量子論がこの修正を必要とする理由は、すべての可能な場の構成が経路積分に寄与するのに対し、古典的な場の理論では古典的な構成のみが寄与するため、経路積分の観点から来ています。
効果的なアクションは、1粒子既約（1PI）相関関数の生成関数でも1PIダイアグラムは接続されたグラフであり、1本の内部線を切断しても2つに切断することはできません。したがって、⟨ ϕ ^（（ X 1 ）。… ϕ ^（（ X n ）。⟩ 1 P I =I δ
n Γ [ ϕ ] δ ϕ （（ X 1 ）。… δ ϕ（（ X n ）。| J =
0 { langle { hat { phi}}（x_ {1}） dots { hat { phi}}（x_ {n}） rangle _ { mathrm {1PI}} = i { frac { delta ^ {n} Gamma } { delta phi（x_ {1}） does delta phi（x_ {n}）}} { bigg |} _ {J = 0} 、}
と Γ
[ ϕ ] { Gamma }
すべての1PIファインマン図の合計です。間の密接な関係 W [ J ] { W }
と Γ [ ϕ ] { Gamma }
つまり、それらの相関関数の間には非常に有用な関係がいくつかたとえば、プロパゲーターに他ならない2点相関関数 Δ （（ X y ）。 { Delta（x、y）}
、は1PI2点相関関数の逆関数です Δ （（ X y
）。= δ
2 W [ J ] δ J （（ X
）。δ J（（ y
）。= δ ϕ（（ X ）。 δ J （（ y
）。 = （（ δ J （（ y ）。 δ ϕ （（ X ）。 ）。− 1 = −（（ δ
2 Γ （（ ϕ ）。 δ ϕ （（ X
）。δ ϕ（（ y ）。 ）。− 1 = −
Π 1（（ X y
）。 { Delta（x、y）= { frac { delta ^ {2} W } { delta J（x） delta J（y）}} = { frac { delta phi （x）} { delta J（y）}} = { bigg（} { frac { delta J（y）} { delta phi（x）}} { bigg）} ^ {-1} =-{ bigg（} { frac { delta ^ {2} Gamma（ phi）} { delta phi（x） delta phi（y）}} { bigg）} ^ {-1 } =- Pi ^ {-1}（x、y）。}
効果的なアクションを計算する方法
効果的なアクションを計算する直接的な方法 Γ [ ϕ 0] { Gamma }
1PIダイアグラムの合計は、シフトされたアクションから導出されたファインマンルールを使用して取得されたすべての1PI真空ダイアグラムを合計することです。 S [ ϕ+ ϕ 0]
{ S [ phi + phi _ {0}]}
。これは、どこでも機能するためですϕ 0
{ phi _ {0}}
プロパゲーターまたは頂点のいずれかに表示される場所は、外部 ϕ { phi}
線を付けることができます。これは、有効アクションの計算にも使用できるバックグラウンドフィールドメソッドと非常によく似ています。
あるいは、アクションの1ループ近似は、古典的な真空期待値フィールド構成の周りの分配関数の展開を考慮することによって見つけることができます。 ϕ （（ X
）。= ϕ cl （ X ）。+ δ ϕ（（ X ）。 { phi（x）= phi _ { text {cl}}（x）+ delta phi（x）}
、 を生成します Γ [ ϕl ] = S
[ ϕl ] + I 2 Tr [ ln S [ ϕ ] δ ϕ （（ X
）。δ ϕ（（ y
）。| ϕ =
ϕcl ] +
⋯ { Gamma [ phi _ { text {cl}}] = S [ phi _ { text {cl}}] + { frac {i} {2}} { text {Tr}} { bigg [} ln { frac { delta ^ {2} S } { delta phi（x） delta phi（y）}} { bigg |} _ { phi = phi _ { text {cl}}} { bigg]} + cdots。}
対称性
古典的な作用の対称性 S [ ϕ ] { S }
量子有効作用の自動的な対称性ではありません Γ [ ϕ ] { Gamma }
。古典的な作用がいくつかの汎関数に依存して連続対称性を持っている場合 F { F }
ϕ （（ X
）。 ϕ （（ X
）。+ ϵ F
{ phi（x） rightarrow phi（x）+ epsilon F 、}
次に、これは直接制約を課します0 = ∫ d 4X
⟨F ⟩ J ϕ δ Γ [ ϕ ] δ ϕ （（ X
）。 { 0 = int d ^ {4} x langle F rangle _ {J _ { phi}} { frac { delta Gamma } { delta phi （X）}}。}
このアイデンティティは、Slavnov–Taylorアイデンティティの例です。これは、対称変換の下で有効なアクションが不変であるという要件と同じです。 ϕ （（ X
）。 ϕ （（ X
）。+ ϵ ⟨ F ⟩ J ϕ { phi（x） rightarrow phi（x）+ epsilon langle F rangle _ {J _ { phi}}。}
この対称性は、重要なクラスの線形対称性の元の対称性と同じです。F = a（（ X
）。+ ∫ d 4 y b （（ X y
）。 ϕ （（ y
）。 { F = a（x）+ int d ^ {4} y b（x、y） phi（y）}
非線形汎関数の場合、非線形汎関数の平均は平均の汎関数と同等ではないため、2つの対称性は一般に異なります。
凸性
見かけの有効ポテンシャル V 0（（ ϕ）。
{ V_ {0}（ phi）}
摂動論によって得られたものは、真の実効ポテンシャルに補正する必要があります V （（ ϕ）。
{ V（ phi）}
、2つが一致しない領域の破線で示されています。
ボリュームのある時空のためにV 4
{ { mathcal {V}} _ {4}}
、実効ポテンシャルは次のように定義されます V （（ ϕ
）。= − Γ
[ ϕ] / V 4
{ V（ phi）=- Gamma / { mathcal {V}} _ {4}}
。ハミルトニアンと H { H}
、有効ポテンシャル V （（ ϕ ）。 { V（ phi）}
で ϕ （（ X ）。 { phi（x）}
常にエネルギー密度の期待値の最小値を与えます⟨ Ω | H |Ω ⟩
{ langle Omega | H | Omega rangle}
一連の状態| Ω ⟩
{ | Omega rangle}
満足⟨ Ω | ϕ ^| Ω ⟩ = ϕ （（ X ）。 { langle Omega | { hat { phi}} | Omega rangle = phi（x）}
。それぞれが特定のソース電流に対応する複数の異なる状態が同じ期待値をもたらす可能性があるため、複数の状態に対するこの定義が必要です。さらに、実効ポテンシャルは必然的に凸関数であることを示すことができます。
V ″ （（ ϕ
）。≥ 0
{ V ”（ phi） geq 0}
。
実効ポテンシャルを摂動的に計算すると、2つの極小値を持つポテンシャルなど、非凸の結果が得られる場合がただし、真の実効電位は依然として凸状であり、見かけの実効電位が凸状にならない場合はほぼ線形になります。矛盾は、真空が不安定な状況を扱っているときに発生しますが、摂動論は必然的に真空が安定していると仮定します。たとえば、見かけの有効ポテンシャルを考えてみましょうV 0（（ ϕ ）。 { V_ {0}（ phi）}
期待値が2つの極小値を持つϕ 1
{ phi _ {1}}
とϕ 2
{ phi _ {2}}
状態の期待値です
| 1
{ | Omega _ {1} rangle}
と
| 2
{ | Omega _ {2} rangle}
、 それぞれ。その後、任意の ϕ { phi}
の非凸領域でV 0（（ ϕ ）。 { V_ {0}（ phi）}
一部のために取得することもできますλ ∈
[ 0 1 ] { lambda in }
を使用して | Ω⟩ ∝ λ
| Ω 1⟩ + 1 − λ
| Ω 2
⟩ { | Omega rangle propto { sqrt { lambda}} | Omega _ {1} rangle + { sqrt {1- lambda}} | Omega _ {2} rangle。}
ただし、この状態のエネルギー密度はλ V 0（（ ϕ
1）。 + （（ 1− λ
）。V 0（（ ϕ
2）。< V 0（（ ϕ ）。 { lambda V_ {0}（ phi _ {1}）+（1- lambda）V_ {0}（ phi _ {2}）
意味V 0（（ ϕ ）。 { V_ {0}（ phi）}
で正しい有効ポテンシャルになることはできません ϕ { phi}
それはエネルギー密度を最小化しなかったからです。むしろ真の効果的な可能性 V （（ ϕ ）。 { V（ phi）}
は、この線形構造以下であり、凸性を復元します。
も参照してください
背景フィールド法
相関関数
経路積分の定式化
くりこみ群
自発的対称性の破れ
参考文献
^ ワインバーグ、S。; ゴールドストーン、J。（1962年8月）。「壊れた対称性」。物理学 Rev。 _ 127（3）：965–970。土井：10.1103 /PhysRev.127.965 。2021-09-06を取得。
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^ Kleinert、H。（2016）。「22」（PDF）。粒子と場の量子論。世界科学出版。p。1257. ISBN 9789814740920。
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^ ペスキン、私; Schroeder、DV（1995）。場の量子論入門。ウェストビュープレス。p。368-369。ISBN
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参考文献
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シュワルツ、MD：場の量子論と標準模型、ケンブリッジ大学出版局2014
トムズ、DJ：シュウィンガー行動原理と効果的な行動、ケンブリッジ大学出版局2007
Weinberg、S。：The Quantum Theory of Fields、Vol.II、Cambridge University Press 1996″